Wednesday, 21 September 2016

Ασύμμετρη σύγκριση

Άρρητοι ή ασύμμετροι λέγονται οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν στη μορφή κλάσματος, σε αντίθεση με τους ρητούς που μπορούν. Υπάρχει όμως και ένας ακόμη, εξίσου απλός και κομψός τρόπος να διακρίνει κανείς τους άρρητους από τους ρητούς. Ρητοί είναι οι αριθμοί των οποίων τα ψηφία, από ένα σημείο και πέρα, παρουσιάζουν μια περιοδικότητα. Για παράδειγμα ρητός είναι ο αριθμός $2,\!5$ αφού αυτός γράφεται και ως $2,\!500\!\underline{0}\dots$ με το μηδέν να επαναλαμβάνεται επ' αόριστο, αλλά και ο $2,\!546546546\underline{546} \dots$ Άρρητοι είναι αυτοί που δεν είναι ρητοί. Οι αριθμοί δηλαδή τα ψηφία των οποίων δεν εμφανίζουν κάποια περιοδικότητα. Είναι ενδιαφέρον ότι οι ρητοί, λόγω της περιοδικότητάς τους, μπορούν να εκφραστούν με τη χρήση πεπερασμένου πλήθους μαθηματικών συμβόλων, σε αντίθεση με τους άρρητους που χρειάζονται άπειρα σύμβολα για να εκφραστούν με απόλυτη ακρίβεια.

Δυο από τους γνωστότερους άρρητους αριθμούς είναι οι $e$ και $\pi$. Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζονται σχεδόν παντού στα μαθηματικά και συνδέονται με μυστηριώδη τρόπο μέσα από απίστευτα πολλές και όμορφες σχέσεις. Ο αριθμός $e$ ορίζεται ως $e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ και η τιμή του προσεγγιστικά είναι $e=2,71828\dots$. Ο αριθμός $\pi$ ορίζεται ως ο λόγος της περιμέτρου προς τη διάμετρο ενός οποιουδήποτε κύκλου και η τιμή του προσεγγιστικά είναι $\pi = 3,14159\dots$

Το ερώτημα που μας απασχολεί σε αυτό εδώ το άρθρο είναι το εξής: Ποιος από τους αριθμούς $e^{\pi}$ και $\pi^e$ είναι μεγαλύτερος;
Υπάρχουν διάφορες λύσεις αυτού του προβλήματος. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η επόμενη.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f: [e,\pi] \rightarrow \mathbb{R}, \,\,\,\, f(x) = x^{\frac{1}{x}}$. 

Τότε $\ln \left( f(x) \right) = \ln x^{\frac{1}{x}} \Leftrightarrow \ln \left( f(x) \right) = \frac{1}{x} \ln x$

από όπου παραγωγίζοντας κατά μέλη παίρνουμε $\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} \left(1 - \ln x \right)$

και συνεπώς $f'(x) = x^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x^2} \left(1 - \ln x \right)$.

Όμως $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = e$ και για $x \in (e,\pi], \,\,\,\, f'(x) < 0$. Άρα η $f(x)$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $x = e$ κι επομένως $f(x) < f(e), \,\,\,\, \forall x \in (e,\pi]$. Βάζοντας λοιπόν όπου $x = \pi$ έχουμε $f(\pi) < f(e)$, το οποίο σημαίνει ότι $\pi^{\frac{1}{\pi}} < e^{\frac{1}{e}} \Leftrightarrow \pi^e < e^{\pi}$.

Friday, 2 September 2016

Αλεξίσφαιρα ματ...

Η επόμενη ανέκδοτη ιστορία εκτυλίσσεται στη διάρκεια ενός πραγματικού γεγονότος, ωστόσο περιέχει στοιχεία μυθοπλασίας και υπερβολής με τη βοήθεια των οποίων παρουσιάζεται μια απίστευτης πολυπλοκότητας σπουδή του ίσως μεγαλύτερου συνθέτη σκακιστικών προβλημάτων Sam Loyd. Το παρακάτω απόσπασμα είναι παρμένο από το βιβλίο του A. Kostyev "From beginner to expert in 40 lessons" [1].


Sam Loyd (30 Ιανουαρίου 1841 - 10 Απριλίου 1911).

Το 1713, στη διάρκεια του Σουηδοτουρκικού πολέμου, ο βασιλιάς Κάρολος ο 12ος της Σουηδίας βρέθηκε πολιορκημένος από τον εχθρό στο φρούριο Μπεντεράκ. Ο Κάρολος περνούσε τον καιρό του οργανώνοντας την άμυνα και παίζοντας σκάκι. Ο συχνότερος αντίπαλος του ήταν ο πρωθυπουργός Κ. Γκρότουζεν. Μια μέρα έφτασαν στη θέση του διαγράμματος.



Ο Κάρολος ανήγγειλε ματ σε 3 κινήσεις. Δεν πρόλαβε όμως να το εκτελέσει πάνω στη σκακιέρα και μία σφαίρα μπήκε από το παράθυρο κομματιάζοντας το λευκό Ίππο. Χωρίς να σταματήσει το παιχνίδι ή να δώσει σημασία στον Γκρότουζεν, ο Κάρολος ζήτησε έναν καινούργιο Ίππο, αμέσως όμως άλλαξε γνώμη και φώναξε: «σου χαρίζω και τον Ίππο, και ματ σε 4!».



Δεν είχε καλά-καλά τελειώσει τα λόγια του, και μια δεύτερη σφαίρα πέρασε σφυρίζοντας μέσα από το δωμάτιο και διέλυσε το πιόνι στο h2. Ο Γκρότουζεν άσπρισε από την τρομάρα του. «Έχεις καινούργιο σύμμαχο, τους Τούρκους, φίλε μου, κι είναι δύσκολο να φανταστώ πώς θα μπορούσα ακόμη και να σε κερδίσω σ' αυτή τη θέση. Παρ' όλα αυτά, να δούμε τι μπορώ να κάνω χωρίς το πιόνι... Το βρήκα! Με χαρά μου σου ανακοινώνω ότι υπάρχει ματ φορσέ σε 5 κινήσεις».


Ακολουθούν οι κύριες βαριάντες για κάθε πρόβλημα.

Ματ σε 3 κινήσεις:


1. Rxg3! Bxg3, 2. Nf3! zugzwang1,




2...B οπουδήποτε, 3. g4#.




Ματ σε 4 κινήσεις:



1. hxg3! Be3, 2. Rg4! απειλεί Rh4# 



2...Bg5, 3. Rh4+! 




3...Bxh4, 4. g4#.

Ματ σε 5 κινήσεις:



1. Rb7 (αν 1. Rd7? Bd4, 2. Rxd4 πατ, ή 1. Re7? Bg1, 2. Re1 Bh2 zugzwang, 3. Rd1 Kh4, 4. Kg6 Bg1)




1... Be3 (ή 1...Bg1, 2. Rb1 Bh2, 3. Re1! Kh4, 4. Kg6! οτιδήποτε, 5. Re4#)



2. Rb1 Bg5, 3. Rh1+ Bh4, εκβιάζοντας το πατ, όμως...




4. Rh2!! Μαγεία! Δίνει κίνηση στο μαύρο αποφεύγοντας το πατ!




4...gxh2, 5. g4#.




Αριστουργηματικό! 


Αυτά από τον δαιμόνιο Loyd. Και τώρα, μια ταπεινή συνεισφορά από μέρους μου. Με έναν επιπλέον λευκό Πύργο, μια λευκή Βασίλισσα (βλ. επόμενο διάγραμμα) και δυο σφαίρες ακόμα, η ιστορία αυτή θα μπορούσε να γίνει λίγο πιο μακροσκελής.




Στη θέση αυτή, τα λευκά παίζουν και κάνουν ματ σε 1 κίνηση:


1. Qg4#.




Η πρώτη σφαίρα λοιπόν διαλύει τη λευκή Βασίλισσα αφήνοντας την επόμενη θέση, στην οποία παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 2 κινήσεις:




1. Rg5+




1...hxg5, 2. Rh8# 




ή 1...Kh4, 2. Nf3#.




Φυσικά, η δεύτερη σφαίρα διαλύει τον Πύργο στο g8 και φτάνουμε έτσι στην αρχική θέση του Loyd. Τέσσερις σφαίρες λοιπόν και ματ σε 1, 2, 3, 4 και 5 κινήσεις. Καθόλου άσχημο...


1zugzwang (γερμ.) είναι η κατάσταση στην οποία ένας παίκτης αν και θα προτιμούσε να πάει πάσο είναι αναγκασμένος να παίξει καταστρέφοντας τη θέση του.

[1] Πρώτη έκδοση στη Σοβιετική Ένωση το 1980. Πρώτη αγγλική έκδοση το 1984 (μετάφραση από τον Jon Speelman). Ελληνική μετάφραση από τις εκδόσεις "Κλειδάριθμος", 1994.