Tuesday, 9 October 2018

Δυαδικό σύστημα και ορθός τρόπος γραφής

Ποια είναι η σωστή έκφραση του αριθμού $1101$ στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης;

Η απάντηση φαίνεται απλή:

$(1101)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$.

Κρύβει όμως μια παραξενιά. Στην παραπάνω αληθή σχέση χρησιμοποιούνται αριθμητικά σύμβολα του δεκαδικού συστήματος και δεν υπάρχει τίποτα το μεμπτό σε αυτό. Ας φανταστούμε όμως ότι ζούμε σε ένα δυαδικό κόσμο. Τότε, ασφαλώς θα αδυνατούσαμε να κατανοήσουμε σύμβολα όπως το 2, το 3, κτλ., αφού τα μόνα αριθμητικά σύμβολα σε έναν τέτοιο κόσμο θα ήταν το 0 και το 1. Είναι φανερό λοιπόν ότι αποκλείεται η παραπάνω σχέση να αποτελεί έκφραση στο δυαδικό σύστημα.

Ας προσπαθήσουμε να βάλουμε τα πράγματα στη θέση τους. Για το σκοπό αυτό είναι σημαντικό να διαχωρίσουμε τις έννοιες έκφραση και ανάλυση. Η έκφραση αφορά στα τυπικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τη γραφή μιας σχέσης, ενώ η ανάλυση αναφέρεται στα δομικά συστατικά του αριθμητικού συστήματος που χρησιμοποιούνται για να κατασκευαστεί η εν λόγω σχέση1.

Με βάση τα παραπάνω, γίνεται φανερό ότι η αρχική ερώτηση «ποια είναι η σωστή έκφραση του αριθμού $1101$ στο δυαδικό σύστημα» είναι ελλιπής και κατά συνέπεια η απάντηση είναι σχετική. Στα επόμενα δίνονται οι διάφορες περιπτώσεις ξεχωριστά.

Περίπτωση 1α: 

$(1101)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$


Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού $1101$ στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, εκφρασμένη στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. 

Περίπτωση 1β:

$(1101)_2 = 1 \times 10^{11} + 1 \times 10^{10} + 0 \times 10^1 + 1 \times 10^0$

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού  $1101$ στο δυαδικό σύστημα, εκφρασμένη επίσης στο δυαδικό σύστημα. Θα πρέπει να επισημάνουμε φυσικά ότι $(11)_2 = (3)_{10}$ και $(10)_2 = (2)_{10}$.

Περίπτωση 2α:

$(1101)_{10} = 1 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 1 \times 10^0$

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού $1101$ στο δεκαδικό σύστημα, εκφρασμένη στο δεκαδικό σύστημα.

Περίπτωση 2β:

$(1101)_{10} = 1 \times 1010^{11} + 1 \times 1010^{10} + 0 \times 1010^1 + 0 \times 1010^0$ 

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού $1101$ στο δεκαδικό σύστημα, εκφρασμένη στο δυαδικό σύστημα.

Κλείνοντας, δεν θα μπορούσα να παραλείψω την πανέξυπνη ρήση του μαθηματικού Ian Stewart: 


Σε ελληνική μετάφραση: "Υπάρχουν 10 είδη ανθρώπων στον κόσμο: αυτοί που κατανοούν τους δυαδικούς αριθμούς και εκείνοι που δεν τους κατανοούν".


1 Εξ όσων γνωρίζω ή «to the best of my knowledge», όπως συνηθίζουν να λένε οι αγγλοσάξονες, η προσέγγιση αυτή είναι καθαρά δική μου και σε καμία περίπτωση δεν αξιώνει ευρεία αποδοχή από τη μαθηματική κοινότητα.