Saturday, 26 January 2019

Κορώνα ή Γράμματα;

- Αν ένα κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τι θα ποντάρατε ότι θα φέρει στην ενδέκατη ρίψη; 

Η σωστή απάντηση δεν είναι καθόλου προφανής. Η πλειοψηφία τείνει να ποντάρει στην κορώνα, σε αυτό δηλαδή που έχει καιρό να εμφανιστεί. Ο λόγος είναι η λάθος ερμηνεία του περίφημου ισχυρού Νόμου των Μεγάλων ΑριθμώνΟ νόμος αυτός λέει το εξής: 

Έστω ότι ένα πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται $N$ φορές και έστω ότι η θεωρητική (a priori) πιθανότητα κάποιου γεγονότος $A$ είναι $p_Α$. Ορίζουμε ως σχετική συχνότητα πραγματοποίησης του $A$ το πηλίκο $f_A = \frac{N_A}{N}$, όπου $N_A$ συμβολίζει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το γεγονός $A$ στις $N$ επαναλήψεις του πειράματος. Τότε, καθώς το $N$ τείνει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα $f_A$ συγκλίνει στην τιμή $p_A$. Με άλλα λόγια, όσο περισσότερες φορές επαναλαμβάνεται το πείραμα, τόσο αναμένουμε η τιμή $f_A$ να πλησιάσει την τιμή $p_A$. 


Αρχικά, για να λύσουμε το πρόβλημα, είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι διαδοχικές ρίψεις του κέρματος είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι πιθανότητες δηλαδή για κορώνα ή γράμματα δεν μεταβάλλονται από τη μία ρίψη στην άλλη. Εδώ είναι άλλωστε και το σημείο στο οποίο ξεκινούν οι παρανοήσεις και τα σφάλματα, καθώς πολλοί θεωρούν ότι τα προηγούμενα αποτελέσματα επηρεάζουν με κάποιον «μεταφυσικό» τρόπο την επόμενη ρίψη. Κανένα κέρμα όμως, σε κανένα σημείο του πλανήτη δεν έχει μνήμη. Συνεπώς, το τι έφερε ένα κέρμα στο παρελθόν δεν επηρεάζει σε τίποτα το τι θα φέρει στο μέλλον. Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι δεσμευμένες (a posteriori) πιθανότητες, δεδομένου του αποτελέσματος μίας ρίψης, ταυτίζονται με τις a priori

Λόγω ακριβώς της ανεξαρτησίας των διαδοχικών επαναλήψεων, για να μπορέσουμε να αποφανθούμε που συμφέρει να ποντάρουμε, το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η a priori πιθανότητα για κάθε ενδεχόμενο. Στα επόμενα θεωρούμε τις a priori πιθανότητες $p_K$ και $p_{\Gamma}$, το κέρμα να φέρει κορώνα και γράμματα, αντίστοιχα. Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

Γνωστές a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η ιδανική εκδοχή. Η γνώση των a priori πιθανοτήτων κάποιου πειράματος συνήθως βασίζεται στους νόμους της φυσικής ή σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αν γνωρίζουμε τα $p_K$ και $p_{\Gamma}$, τότε φυσικά ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. 

α) Αν $p_K = p_{\Gamma}$, αν δηλαδή η πιθανότητα το κέρμα να φέρει γράμματα ισούται με την πιθανότητα να φέρει κορώνα, τότε δεν έχει σημασία που θα ποντάρουμε, αφού σε κάθε περίπτωση προσδοκούμε να κερδίσουμε με πιθανότητα $50\%$. Σε αυτήν την περίπτωση το κέρμα λέγεται δίκαιο. Πολλοί θεωρούν ότι εφόσον το κέρμα έφερε 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, κατά κάποιον τρόπο «οφείλει» να φέρει κάποια στιγμή κορώνα ώστε οι σχετικές συχνότητες των γεγονότων «κορώνα» και «γράμματα» να πλησιάσουν την αναμενόμενη τιμή $50\%$. Και όντως, περιμένουμε κάποια στιγμή να φέρει κορώνα, όχι όμως λόγω του παρελθόντος, αλλά για τον απλούστατο λόγο ότι το $50\%$ αποτελεί μεγάλη τιμή πιθανότητας. Για να συμβεί τώρα η σύγκλιση των σχετικών συχνοτήτων, το μόνο που «οφείλει» το κέρμα είναι να συνεχίσει να φέρνει in perpetuum κορώνα ή γράμματα με πιθανότητα $50\%$ το καθένα. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό αν υποθέσουμε για παράδειγμα ότι στις επόμενες 999990 φορές το κέρμα φέρει 499995 φορές κορώνα και 499995 φορές γράμματα. Τότε, παρότι στην αρχή είχαμε $f_K = 0\%$ και $f_{\Gamma} = 100\%$, στο τέλος οι τιμές αυτές ανανεώνονται στις $f_K = \frac{499995}{1000000} = 49.9995\%$ και $f_{\Gamma} = \frac{1000005}{1000000} = 50.0005\%$ αντίστοιχα. Και οι δύο δηλαδή πλησιάζουν πάρα πολύ τη θεωρητική τιμή $50\%$.

β) Στην πραγματικότητα, πολλές φορές κάνουμε κάποιες θεωρητικές παραδοχές οι οποίες δεν ισχύουν απαραίτητα και στην πράξη. Το κέρμα δηλαδή μπορεί να μην είναι και τόσο δίκαιο όσο θα περιμέναμε. Για παράδειγμα, το ανάγλυφο σχήμα του, έστω και ανεπαίσθητα καταστρέφει την ομοιομορφία του κέρματος, με αποτέλεσμα να στρεβλώνεται το ισοπίθανο των δύο όψεων. Στην περίπτωση αυτή φυσικά συμφέρει να ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Αν για παράδειγμα, $p_{\Gamma} > p_K$, τότε πρέπει να ποντάρουμε ξανά στα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι τις 10 τελευταίες φορές ήρθαν γράμματα.

Άγνωστες a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η πιο ρεαλιστική εκδοχή. Η a priori πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν είναι σε όλα τα πειράματα γνωστή. Υπάρχουν για παράδειγμα πειράματα, στα οποία δεν μπορούμε να κάνουμε καμία υπόθεση βασιζόμενοι σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αυτό που γίνεται συχνά στην πράξη είναι η εκτίμηση των a priori πιθανοτήτων των γεγονότων μέσα από την επανάληψη του πειράματος τύχης. Με κάθε επανάληψη του πειράματος μοντελοποιούμε καλύτερα τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου χρησιμοποιώντας τις σχετικές συχνότητες ως εκτιμητές. Στην περίπτωση αυτή συνεπώς, αν και οι προηγούμενες ρίψεις δεν επηρεάζουν τις επόμενες, μας παρέχουν πολύτιμη πληροφορία ώστε να εκτιμήσουμε μέσα σε συγκεκριμένα διαστήματα εμπιστοσύνης τις άγνωστες a priori πιθανότητες των δύο γεγονότων. 

Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τις a priori πιθανότητες των ενδεχομένων κορώνα και γράμματα, αν το κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τότε μία καλή τακτική είναι να ποντάρουμε και την ενδέκατη φορά στα γράμματα! Οι 10 προηγούμενες φορές υποδεικνύουν μία τάση (bias) του κέρματος να φέρνει περισσότερες φορές γράμματα. Αν για τις 10 ρίψεις το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται παράλογο, αρκεί να σκεφτούμε ένα κέρμα το οποίο έχει φέρει 1000000 συνεχόμενες φορές γράμματα! Τότε, σίγουρα όλοι θα σκεφτόμασταν ότι το γεγονός αυτό μάλλον δεν είναι καθόλου τυχαίο και με μεγάλη βεβαιότητα θα περιμέναμε και στην εκατομμυριοστή πρώτη ρίψη το κέρμα να φέρει γράμματα. 

Φυσικά το αποτέλεσμα αυτό δεν έχει να κάνει με τις συνεχόμενες ρίψεις, αλλά με τη γνώση που έχουμε για το πλήθος εμφάνισης του κάθε ενδεχομένου. Αν δηλαδή, στις προηγούμενες 100 ρίψεις το κέρμα έφερνε 90 φορές κορώνα και 10 φορές γράμματα, τότε θα έπρεπε να αλλάξουμε γνώμη και να ποντάρουμε στην κορώνα, παρά το γεγονός ότι στις δέκα τελευταίες ρίψεις έφερε γράμματα!


Ερώτηση bonus: Αν ένα κέρμα έχει φέρει τις τελευταίες 100 φορές τις επόμενες ενδείξεις με τη σειρά που αναγράφονται παρακάτω, τότε πού θα ποντάρατε στην 101η ρίψη;

Για να δείτε την απάντηση πατήστε «Read more»


Wednesday, 5 December 2018

Η μεταμόρφωση του Πύργου, ο Κάφκα και η σημειολογία στο σκάκι

Ένα από τα πρώτα βήματα στο σκάκι είναι η εκμάθηση των κινήσεων των κομματιών. Στη διαδικασία αυτή, αναμφίβολα προκαλεί έκπληξη η γνωριμία με την "αλλόκοτη" κίνηση του Ίππου. Μαθαίνουμε ότι ο Ίππος είναι το μόνο κομμάτι που μπορεί να υπερπηδά με το άλμα του τα υπόλοιπα κομμάτια. Συνεπώς, ο μόνος τρόπος για να πραγματοποιήσει άλμα κάποιο άλλο κομμάτι είναι να μεταμορφωθεί σε Ίππο... Μια τέτοια μεταμόρφωση διηγούμαι παρακάτω.

Πριν από περίπου 15 χρόνια, όταν τελείωνα τον πρώτο τόμο του Σιαπέρα με τίτλο «το σκάκι, πλήρης ανάπτυξις της θεωρίας και η πρακτική της εφαρμογή» (βλ. επόμενη εικόνα αριστερά), που ήταν και το πρώτο μου βιβλίο γενικά στο σκάκι, στις τελευταίες σελίδες βρέθηκα αντιμέτωπος με μία εκπληκτική θέση. Ομολογώ βέβαια ότι ακόμη δεν έχω καταλάβει αν είναι θέση από πραγματική παρτίδα ή καλλιτεχνική σπουδή, καθώς κάτι τέτοιο δεν αναφέρεται ρητά στο βιβλίο και όσο κι αν έψαξα δεν κατάφερα να το ανακαλύψω ποτέ. Με βάση τα συμφραζόμενα του βιβλίου υποψιάζομαι ότι είναι μία από τις πολλές σπουδές του δαιμόνιου G. Kasparian. Μπροστά στην απαράμιλλη ομορφιά της θέσης όμως, αυτή η λεπτομέρεια πλέον με αφήνει αδιάφορο. 


         

Ας δούμε τη θέση. Στο Διάγραμμα 1 παίζουν τα λευκά και κερδίζουν. Για όσους δεν έχουν ξανασυναντήσει τη θέση οφείλω να προειδοποιήσω ότι δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται. 

Διάγραμμα 1.

1. f8=Q


Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι με την πρώτη ματιά όλοι σκεφτόμαστε αυτή την κίνηση. Τα λευκά έχουν μια "ολοκαίνουργια" Βασίλισσα και η νίκη φαντάζει εύκολη υπόθεση. Είναι σειρά όμως του μαύρου να παίξει.


1...Rg1+, 2. Rd1


Κίνηση φορσέ για τα λευκά.

2...Rg2!


Ξαφνικά τα μαύρα απειλούν ματ με 3...Rc2#! Αν 3. Rd2 τότε απλά 3...Rg1+, 4. Rd1 Rg2 ξαναφέρνοντας την ίδια θέση. Επίσης αν 3. Qc5 (ή 3. Qf6+ ή 3. Qf5 ή 3. Rh1) b2+, οπότε

3. Qa3+ Ra2

Διάγραμμα 2.

Περιέργως φαίνεται ότι τα μαύρα καταφέρνουν να επιβιώσουν. Ο μαύρος Πύργος απειλεί την Βασίλισσα, η οποία δεν μπορεί να οπισθοχωρήσει αφού θα επιτρέψει στα μαύρα είτε να πετύχουν ισοπαλία είτε ακόμη χειρότερα να δώσουν αυτά τελικά το ματ. Για παράδειγμα, αν 4. Qb4?? Rc2#, ενώ αν 4. Qc5 Rh2! (και όχι βέβαια 4...b2+, 5. Kd2+ b1=Q+, 6. Ke1 και τα λευκά κερδίζουν την καρφωμένη μαύρη Βασίλισσα). Με το 4...Rh2! τα μαύρα απειλούν 5...b2# και εξαναγκάζουν τη συνέχεια 5. Qa3+ Ra2 επαναφέροντας την ίδια θέση και διεκδικώντας την ισοπαλία. Επίσης, δεν είναι αρκετό ούτε το 4. Qxa2+ Kxa2 (φυσικά όχι 4...bxa2??, 5. Kc2#), 5. Rd2+ Ka1, ισοπαλία. 

Τι συμβαίνει λοιπόν; Κερδίζουν τελικά τα λευκά; Στο Διάγραμμα 2, παρατηρούμε ότι αν μπορούσε ο λευκός Πύργος να πηδήξει επάνω από τον Βασιλιά του και να βρεθεί στο τετράγωνο b1 θα έδινε ματ! Όπως είπαμε όμως στην αρχή, το μόνο κομμάτι που έχει την ιδιότητα να κάνει άλματα είναι ο Ίππος. Εκτός κι αν συμβεί η μεταμόρφωση που λέγαμε...

4. Rd2!!

Διάγραμμα 3.

Η αρχή της μεταμόρφωσης! Τα λευκά αδιαφορούν για την Βασίλισσά τους και πιέζουν τον μαύρο Πύργο, ο οποίος είναι απόλυτα καρφωμένος!

4...Rxa3 


Και τώρα λίγη μαγεία... 

5. Rb2!! 


Zugzwang! Τα μαύρα είναι υποχρεωμένα να παίξουν τη μοναδική επιτρεπτή κίνηση στη θέση!

5...Ra2 


μετά την οποία ακολουθεί 

6. Rb1#! 

Διάγραμμα 4.

Αν συγκρίνουμε τα Διαγράμματα 2 και 4 βλέπουμε ότι ο λευκός Πύργος ως εκ θαύματος μεταμορφώθηκε σε Ίππο και με ένα επιβλητικό άλμα d1-d2-b2-b1 βρέθηκε στο τετράγωνο b1, από το οποίο έδωσε ματ στο μαύρο Βασιλιά! Τέτοιο άλμα σίγουρα θα το ζήλευε ακόμη κι ο original Ίππος...

Στο σημείο αυτό θα ήθελα να αναφέρω ότι η επαφή μου με αυτή τη "σκακιστική" μεταμόρφωση του Πύργου, εντελώς σημειολογικά με είχε γυρίσει πίσω στα σχολικά μου χρόνια, όταν είχαν πέσει στα χέρια μου δύο σπουδαία βιβλία του Franz Kafka, «η Μεταμόρφωση» και «ο Πύργος». Στη μεταμόρφωση θυμάμαι, ο πρωταγωνιστής Γκρέγκορ Σάμσα, όταν ξύπνησε ένα πρωινό από κακό όνειρο, βρέθηκε στο κρεβάτι του μεταμορφωμένος σε ένα ανθρωπίνων διαστάσεων έντομο, προσπαθώντας έντρομος να συνειδητοποιήσει τι είναι αυτό που του συμβαίνει. Σε πολύ γενικές γραμμές, η μεταμόρφωση του Σάμσα συμβολίζει, εκτός των άλλων, την απώθηση που αισθάνεται το άτομο από τους ανθρώπους γύρω του και που το οδηγεί στην πλήρη κοινωνική απομόνωση. Από την άλλη, στον Πύργο, ο κύριος Κ, σαν ένας σύγχρονος Σίσυφος, προσπαθούσε να πλησιάσει και να μπει στο απομακρυσμένο κτίριο της δημόσιας διοίκησης και κάθε τόσο συναντούσε ανυπέρβλητα εμπόδια που δεν του το επέτρεπαν. Η διήγηση του Πύργου σκιαγραφεί την αλλοτρίωση του ατόμου, η οποία οφείλεται στη διαρκή και κοπιώδη προσπάθεια επίτευξης μίας σειράς ανεκπλήρωτων στόχων μέσα στην απρόσωπη βιομηχανική κοινωνία του 20ού αιώνα.

Διαβάζοντας αυτά τα δύο βιβλία, μου είχε τότε γεννηθεί το όνειρο να σταματήσει πια να μεταμορφώνεται καθημερινά ο άνθρωπος και με κάποιον ανατρεπτικό τρόπο να συμβεί η μεταμόρφωση του Πύργου, η αλλαγή δηλαδή της κοινωνίας από μηχανισμό ανθρώπινης αποξένωσης σε μια ουτοπία απαλλαγμένη από τεχνητές ανάγκες. Η πρώτη φορά που μου δόθηκε έστω και αλληγορικά η εντύπωση ότι το όνειρο αυτό, η μεταμόρφωση δηλαδή του Πύργου, πραγματοποιείται ήταν ετούτη εδώ η θέση επάνω στη σκακιέρα. 

Γυρνώντας τώρα πίσω στο Διάγραμμα 3, θα ήταν παράλειψη να μην αναφέρω την ενδιαφέρουσα εναλλακτική συνέχεια με 4...b2+ (βλ. Διάγραμμα 5), αντί για το 4...Rxa3 που εξετάσαμε παραπάνω. 

Διάγραμμα 5.

Παρεμπιπτόντως, για κάποιον άγνωστο λόγο ο Σιαπέρας στο βιβλίο του παραλείπει αυτή τη βαριάντα, η οποία μάλιστα προβάλει πιο σθεναρή αντίσταση και απαιτεί μεγάλη ακρίβεια από τα λευκά ώστε να κερδίσουν τη θέση. Η σωστή συνέχεια είναι 

5. Qxb2+ Rxb2, 6. Rxb2


6...a3 


μοναδική κίνηση η οποία κρύβει και μια παγίδα. Αν ο Πύργος ανέβει στη στήλη b, π.χ. 7. Rb8 τότε τα μαύρα απαντούν 7...a2 


και το πατ είναι αναπόφευκτο ό,τι κι αν παίξουν τα λευκά! Παρόμοια είναι η κατάσταση αν ο Πύργος διατηρηθεί στη γραμμή 2. Για παράδειγμα, 7. Rh2 a2, 8. Kd2 (ή 8. Kc2 πατ) Kb2 ισοπαλία. Η μοναδική κίνηση που δίνει τη νίκη στα λευκά είναι 

7. Rb1+! Ka2


και μόνο τότε 

8. Rb8 Ka1, 9. Kc2! a2


10. Kb3!!


Στο σημείο αυτό γινόμαστε μάρτυρες μιας δεύτερης μεταμόρφωσης, αυτή τη φορά του Βασιλιά σε Ίππο. Προσέξτε τη διαδρομή του λευκού Βασιλιά σε σχήμα «Γ» c1-c2-b3! Με αυτόν τον τρόπο, ο λευκός Βασιλιάς μπαίνει μπροστά στον Πύργο του για να ανοίξει το δρόμο στο μαύρο ομόλογό του αποφεύγοντας το πατ!

10...Kb1, 11. Rh8!


Τώρα, αν 11...a1=Q, 12. Rh1#!


οπότε 

11...a1=N+! 



Τραγική ειρωνεία. Τα μαύρα προάγουν σε Ίππο, στο κομμάτι δηλαδή του οποίου τις αλτικές ικανότητες έκλεψαν Πύργος και Βασιλιάς! Αυτό δεν είναι αρκετό όμως για να τα σώσει.

12. Kc3 Ka2, 13. Re8! 


οδηγεί πιο γρήγορα από κάθε άλλη κίνηση στο ματ!

13...Kb1, 14. Re2! Nb3, 15. Kxb3 Kc1, 16. Kc3 Kb1, 17. Re1+ Ka2, 18. Rc1 Ka3, 19. Ra1#.

Κάπως έτσι λοιπόν, με αυτή τη σπουδή ολοκληρώθηκε το πρώτο μου βιβλίο. Άντε μετά να μην κολλήσεις με το σκάκι...

Tuesday, 9 October 2018

Δυαδικό σύστημα και ορθός τρόπος γραφής

Ποια είναι η σωστή έκφραση του αριθμού $1101$ στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης;

Η απάντηση φαίνεται απλή:

$(1101)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$.

Κρύβει όμως μια παραξενιά. Στην παραπάνω αληθή σχέση χρησιμοποιούνται αριθμητικά σύμβολα του δεκαδικού συστήματος και δεν υπάρχει τίποτα το μεμπτό σε αυτό. Ας φανταστούμε όμως ότι ζούμε σε ένα δυαδικό κόσμο. Τότε, ασφαλώς θα αδυνατούσαμε να κατανοήσουμε σύμβολα όπως το 2, το 3, κτλ., αφού τα μόνα αριθμητικά σύμβολα σε έναν τέτοιο κόσμο θα ήταν το 0 και το 1. Είναι φανερό λοιπόν ότι αποκλείεται η παραπάνω σχέση να αποτελεί έκφραση στο δυαδικό σύστημα.

Ας προσπαθήσουμε να βάλουμε τα πράγματα στη θέση τους. Για το σκοπό αυτό είναι σημαντικό να διαχωρίσουμε τις έννοιες έκφραση και ανάλυση. Η έκφραση αφορά στα τυπικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τη γραφή μιας σχέσης, ενώ η ανάλυση αναφέρεται στα δομικά συστατικά του αριθμητικού συστήματος που χρησιμοποιούνται για να κατασκευαστεί η εν λόγω σχέση1.

Με βάση τα παραπάνω, γίνεται φανερό ότι η αρχική ερώτηση «ποια είναι η σωστή έκφραση του αριθμού $1101$ στο δυαδικό σύστημα» είναι ελλιπής και κατά συνέπεια η απάντηση είναι σχετική. Στα επόμενα δίνονται οι διάφορες περιπτώσεις ξεχωριστά.

Περίπτωση 1α: 

$(1101)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$


Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού $1101$ στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, εκφρασμένη στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. 

Περίπτωση 1β:

$(1101)_2 = 1 \times 10^{11} + 1 \times 10^{10} + 0 \times 10^1 + 1 \times 10^0$

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού  $1101$ στο δυαδικό σύστημα, εκφρασμένη επίσης στο δυαδικό σύστημα. Θα πρέπει να επισημάνουμε φυσικά ότι $(11)_2 = (3)_{10}$ και $(10)_2 = (2)_{10}$.

Περίπτωση 2α:

$(1101)_{10} = 1 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 1 \times 10^0$

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού $1101$ στο δεκαδικό σύστημα, εκφρασμένη στο δεκαδικό σύστημα.

Περίπτωση 2β:

$(1101)_{10} = 1 \times 1010^{11} + 1 \times 1010^{10} + 0 \times 1010^1 + 0 \times 1010^0$ 

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού $1101$ στο δεκαδικό σύστημα, εκφρασμένη στο δυαδικό σύστημα.

Κλείνοντας, δεν θα μπορούσα να παραλείψω την πανέξυπνη ρήση του μαθηματικού Ian Stewart: 


Σε ελληνική μετάφραση: "Υπάρχουν 10 είδη ανθρώπων στον κόσμο: αυτοί που κατανοούν τους δυαδικούς αριθμούς και εκείνοι που δεν τους κατανοούν".


1 Εξ όσων γνωρίζω ή «to the best of my knowledge», όπως συνηθίζουν να λένε οι αγγλοσάξονες, η προσέγγιση αυτή είναι καθαρά δική μου και σε καμία περίπτωση δεν αξιώνει ευρεία αποδοχή από τη μαθηματική κοινότητα.

Wednesday, 8 August 2018

Ο περίπατος του Abel

Στον λατρεμένο μου Abel


Το όνομα Abel για το μεγαλύτερο τμήμα του πληθυσμού παραπέμπει στο μεγάλο μαθηματικό του 19ου αιώνα Niels Henrik Abel (1802-1829). Για μένα, εδώ και τριάμισι χρόνια, στο όνομα Abel ακούει το αγαπημένο μου λαμπραντοράκι που απεικονίζεται στην Εικόνα 1. 


Εικόνα 1. Abel.

Ο Abel (ο δικός μου ευτυχώς...) αγαπάει τη γυναίκα μου δύο φορές όσο εμένα και δεν χάνει ευκαιρία να το αποδεικνύει με κάθε τρόπο. Ακόμη και στις βόλτες έχει έναν πολύ ιδιαίτερο τρόπο να το δείχνει. Όταν βγαίνουμε οι τρεις μας, φροντίζει πάντα να κρατάει διπλάσια απόσταση από εμένα σε σχέση με τη γυναίκα μου. Ένα μέτρο από τη γυναίκα μου; Δύο από μένα. Δύο μέτρα από τη γυναίκα μου; Τέσσερα από μένα. 

Στη χθεσινή μας απογευματινή βόλτα, κάποια στιγμή, εξαντλημένοι όλοι από τη ζέστη στεκόμαστε κάτω από ένα δέντρο για να πάρουμε μια ανάσα. Ο Abel λαχανιασμένος σωριάζεται ανάμεσά μας με τη γλώσσα έξω, κρατώντας όπως πάντα το γνωστό λόγο 2 προς 1 των αποστάσεων (βλ. Εικόνα 2). Ξαφνικά, ενώ ξαποσταίνουμε, σκάει μύτη μια γάτα στο απέναντι πεζοδρόμιο. Δεν περνάν πάνω από δύο δευτερόλεπτα ώσπου αντιλαμβάνεται ο Abel τη γατούλα. Στα επόμενα δύο, αφού έχει ήδη φερμάρει, ξεχνάει στη στιγμή τη ζέστη και την κούραση και αρχίζει να τρέχει σαν τρελός. Είναι εκείνη ακριβώς η στιγμή που μένω εμβρόντητος, αφού διαπιστώνω το μέγεθος της νοημοσύνης του σκύλου μου. Ο Abel, παραμερίζοντας το ένστικτο υπέρ της λογικής, καταφέρνει να διαγράψει τέτοια τροχιά ώστε να μην παραβιάσει ούτε στιγμή το λόγο των αποστάσεων ανάμεσα σε μένα και τη γυναίκα μου!


Εικόνα 2.

Τι τροχιά διέγραψε ο Abel;

Αν και υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να λύσουμε το πρόβλημα αυτό, εδώ θα παρουσιάσω τη λύση με χρήση διανυσματικού λογισμού που μου πρότεινε ο ίδιος ο Abel στη χθεσινοβραδινή μας κουβέντα, στην οποία του εξέθεσα την απορία μου πώς τα καταφέρνει τόσο καλά με τα μαθηματικά... 

Ας θεωρήσουμε ότι εγώ βρίσκομαι στο σημείο $A$ και η γυναίκα μου στο σημείο $O$, το οποίο και θέτουμε ως αρχή των αξόνων του καρτεσιανού επιπέδου που ταυτίζεται με το επίπεδο της γης. Έστω επίσης $T$ το σημείο στο οποίο βρίσκεται το δέντρο, έτσι ώστε η απόσταση $(OT)$ του δέντρου από τη γυναίκα μου να ισούται με το $\frac{1}{3}$ της απόστασης $(OA)$ της γυναίκας μου από μένα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 2. Για παράδειγμα, ας είναι $(OA) = 3m$ και $(OT) = 1m$. Αν συμβολίσουμε με $K$ το σημείο στο οποίο βρίσκεται ο Abel, ουσιαστικά αναζητάμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει $\| \vec{AK} \| = 2 \| \vec{OK} \|$. Τότε έχουμε:

$\| \vec{AK} \| = 2 \| \vec{OK} \| \Leftrightarrow \| \vec{AK} \|^2 = 4 \| \vec{OK} \|^2 \Leftrightarrow (\vec{AK})^2 = 4 (\vec{OK})^2$

$\Leftrightarrow (\vec{OK} - \vec{OA})^2 = 4 (\vec{OK})^2 \Leftrightarrow (\vec{OK})^2 - 2 \vec{OK} \vec{OA} + (\vec{OA})^2 = 4 (\vec{OK})^2$

$\Leftrightarrow 3 (\vec{OK})^2 + 2 \vec{OK} \vec{OA} - (\vec{OA})^2 = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{OK})^2 + \frac{2}{3} \vec{OK} \vec{OA} - \frac{1}{3} (\vec{OA})^2 = \vec{0}$

$\Leftrightarrow (\vec{OK})^2 + 2 \vec{OK} \frac{1}{3} \vec{OA} + \left( \frac{1}{3} \vec{OA} \right)^2 = \frac{4}{9} (\vec{OA})^2$

$\Leftrightarrow \left( \vec{OK} + \frac{1}{3} \vec{OA} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \vec{OA} \right)^2$ 

$\Leftrightarrow \| \vec{OK} - \left( - \frac{1}{3} \vec{OA} \right) \| = \| \frac{2}{3} \vec{OA} \|$

Η τελευταία αποτελεί εξίσωση κύκλου με ακτίνα $\rho = \frac{2}{3} \| \vec{OA} \|$ και κέντρο με διανυσματική ακτίνα $- \frac{1}{3} \vec{OA}$. Παρατηρούμε ότι το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με τη θέση του δέντρου. Με απλά λόγια, ο Abel διέγραψε τέλειο κύκλο γύρω από το δέντρο! Αυτό επαληθεύεται και εποπτικά από την Εικόνα 3, η οποία αποτελεί κάτοψη της Εικόνας 2. Πράγματι, όσο ο Abel κινείται επί του κύκλου, η απόστασή του από το $A$ είναι διπλάσια της απόστασης από το $O$. Για παράδειγμα, $(AK_1) = 2 (OK_1)$ και $(AK_2) = 2 (OK_2)$, όπου $K_1$ και $K_2$ είναι δύο τυχαία σημεία επί της τροχιάς του Abel. Φυσικά θα πρέπει να πούμε ότι η εξίσωση, όπως ήταν αναμενόμενο επαληθεύεται και από την αρχική θέση $K$ του Abel.


Εικόνα 3.
Με παρόμοιους συλλογισμούς, αποδεικνύεται γενικότερα ότι ανεξάρτητα από το λόγο μεταξύ των αποστάσεων $(AK)$ και $(OK)$, η τροχιά που θα διαγράψει ο Abel είναι πάντοτε κύκλος, δεδομένου ότι ο λόγος αυτός παραμένει σταθερός! Πιο συγκεκριμένα, έστω $\rho = \frac{(AK)}{(OK)}$, με $\rho$ οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό. Τότε χρησιμοποιώντας ακριβώς τα ίδια μαθηματικά τεχνάσματα καταλήγουμε στη σχέση:


$\| \vec{OK} - (- \frac{1}{\rho^2 - 1} \vec{OA} ) \| = | \frac{\rho}{\rho^2 - 1} | \cdot \| \vec{OA} \|$ 

η οποία εκφράζει κύκλο με κέντρο $- \frac{1}{\rho^2 - 1} \vec{OA}$ και ακτίνα $| \frac{\rho}{\rho^2 - 1} | \cdot \| \vec{OA} \|$. Εύκολα μάλιστα διαπιστώνουμε ότι αν θέσουμε $\rho = 2$ στη γενική έκφραση, λαμβάνουμε τη λύση του αρχικού προβλήματος. Παρατηρούμε ότι ενώ για $\rho>1$ το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στα αριστερά του σημείου $O$, όταν $0<\rho<1$ το κέντρο μετακινείται στα δεξιά του σημείου $A$. Πάντως, σε κάθε περίπτωση ο κύκλος διέρχεται από το σημείο $K$. Τέλος, σημειώνουμε ότι αν $\rho = 1$, αν δηλαδή $(AK) = (OK)$, τότε ο Abel κινείται επί της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος $OA$. Εναλλακτικά, με χρήση της γενικής έκφρασης μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στην οριακή αυτή περίπτωση παίρνουμε ως λύση τον κοινό τόπο των δύο κύκλων με άπειρη ακτίνα, εκ των οποίων ο ένας έχει κέντρο στο $-\infty$ (όταν $\rho \rightarrow 1^+$) και ο άλλος στο $+\infty$ (όταν $\rho \rightarrow 1^-$) του άξονα $OA$.

Ο κύκλος στην αρχαιότητα, λόγω απόλυτης συμμετρίας, υπήρξε το σύμβολο της τελειότητας. Αρκεί να θυμηθούμε την ξεχωριστή θέση που καταλάμβανε στον πλατωνικό κόσμο των ιδεών. Επιπλέον, με τη μεταφορική έννοια, για τους πυθαγόρειους συμβόλιζε τη διηνεκή επανάληψη των μετενσαρκώσεων. Παράλληλα, κάποια ζώα μεταξύ των οποίων η γάτα, η αγελάδα αλλά και ο σκύλος υπήρξαν ανά τους αιώνες αντικείμενα λατρείας. Διόλου άδικα αν αναλογιστεί κανείς τις αρετές - και δεν αναφέρομαι στη λογική, αλλά στην ηθική - που συγκεντρώνουν τα ζώα σε αντίθεση με το φαύλο ανθρώπινο είδος. Φανταστείτε τώρα, λαμβάνοντας υπόψιν συλλήβδην τα παραπάνω, τι μπορεί να σημαίνει για μένα ένας σκύλος που διαγράφει κύκλους...!

Tuesday, 31 July 2018

Η σημασία της πρωτοβουλίας στο σκάκι

Η αξία μιας παρτίδας εξαρτάται χωρίς αμφιβολία από τη δύναμη του αντιπάλου. Σύμφωνα με αυτό το κριτήριο, η παρτίδα που παρουσιάζω σε αυτό το άρθρο είναι σίγουρα μία από τις καλύτερες που έχω παίξει μέχρι σήμερα, αφού κατάφερα να κερδίσω ένα ανερχόμενο αστέρι του παγκόσμιου σκακιού. Ο λόγος για τον Σπύρο Ναούμ, ο οποίος παρά το νεαρό της ηλικίας του, είναι ήδη φτασμένος στο χώρο (2335 μονάδες της κλίμακα διαβάθμισης elo, Ιούλιος 2018), με έντονη παρουσία και διακρίσεις σε πολλές διεθνείς διοργανώσεις.

Σεπτέμβριος 2014
Naoum Spyridon - Maronidis Anastasios
D52 - Classical Queen's Gambit

1. d4 Nf6, 2. Nf3 d5, 3. c4 c6, 4. Nc3 e6, 5. Bg5 Nbd7, 6. e3 Bb4, 7. cxd5 cxd5, 8. Qb3 Bxc3+, 9. bxc3 Qa5, 10. Rc1 b6, 11. Bf4?! 



Μετακινεί για δεύτερη φορά το ίδιο κομμάτι χωρίς ιδιαίτερο λόγο.

11...Ne4, 12. Bd3?! 



«Στήνει» τέμπο! Δεύτερη ανακρίβεια που αποδεικνύεται αρκετή ώστε τα μαύρα να αρπάξουν την πρωτοβουλία. Ουσιαστικά, από αυτό το σημείο κι έπειτα, τα λευκά είναι αναγκασμένα να παρακολουθήσουν την εξέλιξη της παρτίδας κρατώντας παθητική στάση. Τα λευκά έπρεπε να διαλέξουν ανάμεσα στο 12. Nd2 και το 12. Ne5.

12...Ba6!, 13. Bxe4 




Αναγκαίο κακό! Το 13. Bxa6 δεν είναι καλύτερο, αφού μετά από 13...Qxa6 τα λευκά αντιμετωπίζουν σοβαρές δυσκολίες: 

α) Ο μαύρος ίππος καταλαμβάνει την εξαιρετική προφυλακή στο e4

β) Η μαύρη Βασίλισσα παίρνοντας τη σκυτάλη από τον απερχόμενο Αξιωματικό στο a6, εξακολουθεί να στερεί το δικαίωμα του ροκέ από τα λευκά 

γ) Τα λευκά θα δυσκολευτούν να παίξουν την απελευθερωτική κίνηση c4. Αν για παράδειγμα επιδιώξουν αμέσως το c4, τότε ο μαύρος απαντά με Rc8 εκμεταλλευόμενος το κάρφωμα του πιονιού, λόγω της θέσης του λευκού πύργου στο c1. 

13...dxe4 




Μοιάζει σαν να έχει καταστραφεί λίγο η δομή των μαύρων πιονιών, όμως το πιόνι στο e4 είναι πανίσχυρο και τα λευκά πρέπει να απαλλαγούν από αυτό το συντομότερο. 

14. Ng5 Bd3




Υπήρχε και η εξής ενδιαφέρουσα δυνατότητα: 14...O-O, 15. Nxe4 e5!, 16. dxe5 Nxe5, 17. Bxe5 Qxe5, 18. f3 (ή 18. Ng3 Rac8 με ασφυκτική πίεση από τα μαύρα.) Bd3, 19. Rd1 Bxe4, 20. fxe4 Qxe4 που οδηγεί σε άσχημη θέση τα λευκά.

15. f3 exf3, 16. Nxf3 Rc8




Ίσως καλύτερο ήταν το 16...O-O, στην παρούσα φάση όμως δεν με ενδιέφερε καθόλου το ροκέ.

17. Kf2 Bc4?!




Κίνηση χωρίς ιδιαίτερο νόημα, χωρίς ωστόσο να καταστρέφει κάτι. Σαφέστατα καλύτερο ήταν το άμεσο 17...Nf6.

18. Qc2 Nf6




Δεν μου άρεσε το 18...Qxa2, 19. Qxa2 Bxa2, 20. Ra1 Bd5, 21. Rxa7 Nf6, 22. Rc1 Ne4+, 23. Ke1 O-O, 24. Bc7 b5, 25. Nd2 Nxd2, 26. Kxd2 Bxg2, 27. Rca1 στο τέλος του οποίου προκύπτει φινάλε ανόμοιων Αξιωματικών με επιπλέον πιόνι για τα μαύρα, με τα λευκά όμως να αποκτούν επικίνδυνη πρωτοβουλία. Μετά το 18...Nf6 η απειλή 19...Qxa2 αποκτά μεγαλύτερη ισχύ, αφού ύστερα από 20. Qxa2 υπάρχει η ενδιάμεση κίνηση 20... Ne4+! που αναγκάζει το λευκό Βασιλιά να πάει στο e1, οπότε μετά από 21. Ke1 Bxa2, 22. Ra1 ακολουθεί το ισχυρό 22...Rxc3 και αν 23. Rxa2 Rc1+ αιχμαλωτίζοντας το λευκό Πύργο στην αρχική του θέση.

19. Nd2 Nd5?!




Αντικειμενικά, εδώ ήταν μια καλή ευκαιρία να κάνω επιτέλους ροκέ, αλλά όπως είπα και πριν, ήμουν αποφασισμένος να το παρατείνω όσο πήγαινε.

20. Bd6 Rc6, 21. e4! Nf6?




Το πιο σοβαρό λάθος μου σε αυτήν την παρτίδα, που ευτυχώς έμεινε ανεκμετάλλευτο από τον αντίπαλό μου. Για πρώτη φορά μετά από αυτήν την κίνηση, τα λευκά στέκουν καλύτερα. Το σωστό ήταν 21...Ba6, 22. exd5 Rxd6, 23. dxe6 Rxe6, 24. Rhe1 O-O, 25. Rxe6 fxe6+, 26. Kg1 Qg5 διατηρώντας την πρωτοβουλία.

22. e5? 




Τα λευκά σπατάλησαν την ευκαιρία που τους δώθηκε να κάνουν «τεχνητό» ροκέ μετά από 22. Nxc4 Rxc4, 23. Rhe1 Kd7, 24. Kg1! Ουσιαστικά με την τελευταία τους κίνηση, αποκλείουν οικειοθελώς από την άμυνά τους τον Αξιωματικό! 

22...Ng4+!




Ευτυχώς με αυτήν την μοναδική κίνηση διόρθωσα την κατάσταση και απέκτησα εκ νέου την πρωτοβουλία. Η ειδοποιός διαφορά με τη σωστή συνέχεια που παρουσιάστηκε παραπάνω για τα λευκά είναι ότι τώρα το υποχρεωτικό 23. Kg1 μολονότι ισοφαρίζει βραχυπρόθεσμα τη θέση, σφραγίζει τον Πύργο στη γωνιά του, κρατώντας το λευκό ακόμη πιο μακριά από την πρωτοβουλία. 

23. Kf3?




Σοβαρό λάθος που εκθέτει το λευκό Βασιλιά στην επίθεση του μαύρου!

23...f5!




Προφανώς αυτή η κίνηση διέφυγε του λευκού. Τα λευκά τώρα έχουν να επιλέξουν μεταξύ δύο αναγκαίων κακών. 

α) Το 24. exf6 (e.p.) Nxf6 αφήνει το λευκό αντιμέτωπο με διάφορες απειλές, όπως Rxd6 και Qxa2. 

β) Σε οποιαδήποτε άλλη συνέχεια, ο μαύρος Ίππος παραμένει σχεδόν ακλόνητος στο g4. 

24. Nxc4 Qd5+




Ενδιάμεση κίνηση που οδηγεί το λευκό Βασιλιά σε ακόμη πιο άβολη θέση.

25. Kg3 Rxc4 




Εδώ μου ξέφυγε και δεύτερη ενδιάμεση κίνηση 25...h5! που απαιτεί από τα λευκά να βρουν τη σωστή άμυνα 26. h4! για να επιβιώσουν. Ειδάλλως, αν προσπαθήσουν να γλυτώσουν τον Ίππο τους, για παράδειγμα με 26. Nb2, τότε ακολουθεί ματ σε 6 κινήσεις! 26...h4+, 27. Kf4 Rh5!, 28. Be7 Kxe7, 29. Qxf5 exf5, 30. Οτιδήποτε g5+, 31. Kxf5 Nh6#

26. h3 Ne3




Αν συγκρίνουμε το λευκό Αξιωματικό στο d6 με το μαύρο Ίππο στο e3, είναι φανερή η ποιοτική τους διαφορά. Τι στιγμή που ο μαύρος Ίππος έχει εισβάλει για τα καλά στο στρατόπεδο του λευκού, ο δύσμοιρος λευκός Αξιωματικός, τιμωρημένος σε αποκλεισμό έξω από τα τείχη της άμυνας του, παρακολουθεί τις εξελίξεις ανήμπορος να αντιδράσει...

27. Qf2 Qe4



Υπήρχε και το 27...f4+! ακολουθούμενο από 28...g5

28. Kh2 g5, 29. Rhg1 Nd5?!



Άσκοπη οπισθοχώρηση του Ίππου. Ανώτερο ήταν το 29...f4

30. g3? 



Μεγαλύτερες τύχες έδινε το 30. Qb2

30...Kd7, 31. Qb2 a6!



Το Stockfish δίνει ως καλύτερη κίνηση το 31...Rhc8. Εντούτοις, το a6 πιστεύω ότι κερδίζει επάξια το θαυμαστικό ως μια εντελώς «ανθρώπινη» κίνηση που αποτρέπει οποιοδήποτε αντιπαιχνίδι στην πτέρυγα της Βασίλισσας! 

32. Rge1 Qf3, 33. Rf1 Qh5, 34. Qg2 Qg6



Πιο γρήγορο ήταν το προφανές και άμεσο 34...g4

35. Qe2 Rhc8, 36. Rc2



Τα λευκά στερούνται παντελώς σχεδίου! Η θέση τους είναι απελπιστική.

36...f4, 37. gxf4 Nxf4, 38. Qd2 Qh5!, 39. Qe3



Τα λευκά είναι προφανώς χαμένα, με την τελευταία τους κίνηση όμως επιτρέπουν φορσέ ματ σε 9 κινήσεις. 

39...Rxc3!, 40. Rxc3 Rxc3, 41. Rxf4 



Μία απέλπιδα προσπάθεια να ταράξει τα νερά. Φυσικά στο 41. Qxc3 ακολουθεί 41...Qe2+ με ματ στις επόμενες κινήσεις.

41...Rxe3 



και τα λευκά εγκατέλειψαν.

Το κλειδί για τη νίκη μου σε αυτήν την παρτίδα ήταν η διαρκής πρωτοβουλία που απέκτησα από πολύ νωρίς. Η αξία της πρωτοβουλίας είναι τόσο μεγάλη που μπορεί να τυφλώσει τον αντίπαλο. Πράγματι, όπως είδαμε στην κίνηση 21, ο αντίπαλός μου είχε τη δυνατότητα να κερδίσει την υπεροχή, ωστόσο η παθητική στάση που υιοθέτησε λειτούργησε αρνητικά στην ψυχολογία του και δεν του επέτρεψε να δει και να εκμεταλλευτεί αυτήν τη δυνατότητα. Γενικά, η πρωτοβουλία στο σκάκι θεωρείται τόσο σημαντική που ενίοτε αξίζει ακόμη και η θυσία υλικού προκειμένου να την αποκτήσει κανείς.