Friday, 21 June 2019

Επαγωγική vs παραγωγική μέθοδος ή μαύρα κοράκια, άσπρα πρόβατα και άγιος ο θεός

Στον αδερφό μου Δημήτρη, ο οποίος σε μικρή ηλικία μου δίδαξε μεταξύ άλλων την αξία του να σκέφτεται κανείς ορθά, αλλά και του να σκέφτεται κανείς, σκέτα!


Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την πρόταση «όλα τα κοράκια είναι μαύρα». Ο μόνος τρόπος για να το αποδείξουμε αυτό είναι να καταφέρουμε να δούμε όλα τα κοράκια του κόσμου και να εξετάσουμε το χρώμα τους. Αν έστω και ένα κοράκι δεν είναι μαύρο, τότε η πρόταση είναι ψευδής. Αν όλα τα κοράκια είναι μαύρα, τότε είναι αληθής. Επειδή στην πράξη είναι αδύνατο να εντοπίσουμε όλα τα κοράκια και να ελέγξουμε το χρώμα τους, αρκούμαστε στο εργαλείο που μας προσφέρει η λογική, την επαγωγική μέθοδο, τη μέθοδο δηλαδή που από ένα σύνολο επαληθευτικών στιγμιότυπων μιας πρότασης, επάγει την καθολική αλήθεια αυτής της πρότασης.

Την επαγωγική μέθοδο χρησιμοποιούμε πολύ συχνά, τις περισσότερες φορές υποσυνείδητα, ώστε να αποφαινόμαστε για προβλήματα που αφορούν στην καθημερινότητά μας και να παίρνουμε αποφάσεις που αν και περιέχουν ένα ρίσκο αβεβαιότητας, μας επιτρέπουν να πορευόμαστε στη ζωή μας. Χαρακτηριστικό είναι το επόμενο παράδειγμα. Στην ερώτηση «αύριο θα ανατείλει ο ήλιος;», μάλλον όλοι θα απαντούσαμε «φυσικά και θα ανατείλει». Τι μας κάνει όμως να είμαστε τόσο σίγουροι; Μάλλον το ότι αυτό συνέβαινε κάθε πρωί από τη μέρα που γεννηθήκαμε, αλλά και όλα τα χρόνια πριν γεννηθούμε, όπως μας διαβεβαιώνουν οι πρόγονοί μας. 

Όπως φαίνεται από το παραπάνω παράδειγμα, η αδυναμία της επαγωγικής μεθόδου είναι ότι πηγαίνει από το ειδικό στο γενικό. «Ο ήλιος μέχρι σήμερα κάθε πρωί ανέτελλε, άρα ο ήλιος κάθε πρωί ανατέλλει». Η αντίθετη μέθοδος είναι η παραγωγική, η οποία πηγαίνει από το γενικό στο ειδικό. Στην παραγωγική μέθοδο, η συμπερασματική πρόταση αποτελεί υποσύνολο μιας καθολικής αληθούς πρότασης και συνεπώς κληρονομεί την τιμή αληθείας της καθολικής πρότασης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της παραγωγικής μεθόδου αποτελεί το αρχετυπικό αριστοτελικό σχήμα, το οποίο από δύο προκείμενες προτάσεις και έναν κανόνα παραγωγής εξάγει ένα συμπέρασμα. Το κλασικό παράδειγμα εφαρμογής του αριστοτελικού σχήματος απεικονίζεται στην Εικόνα 1 και διατείνεται ότι ο Σωκράτης είναι θνητός, επειδή όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί και ο Σωκράτης αποτελεί ειδική περίπτωση του γενικού συνόλου όλων των ανθρώπων.


Εικόνα 1. Το κλασικό παράδειγμα εφαρμογής του αριστοτελικού σχήματος εξαγωγής συμπερασμάτων.


Το παραπάνω αριστοτελικό σχήμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι αποτελεί το εκμαγείο από το οποίο προήλθαν οι δύο παρακάτω κανόνες συμπερασματολογίας, γνωστοί στη σύγχρονη ορολογία του προτασιακού λογισμού ως modus ponens και modus tollens.

modus ponens: $p \rightarrow q, \,\, p \,\, \vdash q$
modus tollens: $p \rightarrow q, \,\, \neg q \,\, \vdash \neg p$

Ο modus ponens με απλά λόγια λέει ότι δοθείσης της πρότασης «$p$ συνεπάγεται $q$», αν γνωρίζουμε ότι ισχύει η $p$, τότε μπορούμε με ασφάλεια να συμπεράνουμε ότι ισχύει και η $q$. Αν και το αποτέλεσμα αυτό δείχνει να είναι τετριμμένο, το αντίστοιχο αποτέλεσμα του modus tollens ενδέχεται κάποιους να τους ξενίσει. Ο modus tollens ουσιαστικά αποτελεί τη «δυϊκή» προσέγγιση του modus ponens και με απλά λόγια λέει ότι δοθείσης της πρότασης «$p$ συνεπάγεται $q$», αν γνωρίζουμε ότι ισχύει η άρνηση της $q$, τότε μπορούμε με ασφάλεια να συμπεράνουμε ότι ισχύει και η άρνηση της $p$. Αυτό μπορεί να γίνει καλύτερα αντιληπτό μέσα από το επόμενο παράδειγμα το οποίο δανείζεται για λίγο το μούσι του Σωκράτη... 

Έστω η πρόταση «αν ο Σωκράτης είναι σπανός, τότε δεν έχει γένια», η οποία είναι προφανώς της μορφής «$p$ συνεπάγεται $q$». Αν γνωρίζουμε λοιπόν ότι ο Σωκράτης είναι σπανός, τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι αποκλείεται να έχει γένια (modus ponens). Μπορούμε όμως να είμαστε το ίδιο σίγουροι και ότι αν ο Σωκράτης έχει γένια τότε δεν είναι σπανός, δηλαδή ότι «η άρνηση της $q$ συνεπάγεται την άρνηση της $p$» (modus tollens). Τα αποτελέσματα αυτά βρίσκονται συγκεντρωμένα στην Εικόνα 2


Εικόνα 2. Εφαρμογή του modus ponens και του modus tollens στο μούσι του Σωκράτη.

Στο σημείο αυτό, αν και δεν θα μας απασχολήσει στα επόμενα, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν ισχύει απαραίτητα και «η άρνηση του $p$ συνεπάγεται την άρνηση του $q$», που στο παράδειγμά μας μεταφράζεται ως «αν ο Σωκράτης δεν είναι σπανός τότε έχει γένια». Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που δεν είναι σπανοί και παρόλα αυτά έχουν αποφασίσει να μην αφήσουν γένια. Εκτός κι αν η αρχική πρόταση μετατραπεί σε «αν ο Σωκράτης είναι σπανός, τότε δεν μπορεί να βγάλει γένια», οπότε η ιδιότητα «είμαι σπανός» ταυτίζεται με την ιδιότητα «δεν μπορώ να βγάλω γένια». Κατά συνέπεια σε αυτή την περίπτωση η πρόταση «η άρνηση του $p$ συνεπάγεται την άρνηση του $q$» μεταφράζεται σε «αν ο Σωκράτης δεν είναι σπανός, τότε μπορεί να βγάλει γένια» και αποκτά και αυτή ισχύ.

Η παραγωγική μέθοδος λόγω της αυστηρότητας και ακρίβειας της στην εξαγωγή συμπερασμάτων είναι το αδιαμφισβήτητο μαθηματικό εργαλείο. Αντιθέτως, η επαγωγική μέθοδος - εδώ δεν θα πρέπει να γίνει σύγχυση με τη μαθηματική επαγωγή, η οποία είναι επίσης μια αυστηρή αποδεικτική μέθοδος - αποτελεί μια πιθανοκρατική αποδεικτική προσέγγιση η οποία δεν είναι ικανή να αποδείξει αυστηρά προτάσεις όπως «κάθε πρωί ο ήλιος ανατέλλει». Από πρακτική άποψη όμως, ορισμένες φορές είναι ανούσιο να μπούμε στη διαδικασία αμφισβήτησης μιας πρότασης, όπως η προηγούμενη, δεδομένης της απειροελάχιστης πιθανότητας να μην ισχύει. Στις περιπτώσεις αυτές, η παραγωγική μέθοδος μπορεί να αποδειχτεί εντελώς... αντιπαραγωγική. Σχετικά με αυτό παραθέτω μια γνωστή παραβολή που διακωμωδεί την εμμονή κάποιων μαθηματικών στην παραγωγική μέθοδο1.

Ένας μηχανικός, ένας φυσικός και ένας μαθηματικός έκαναν περίπατο στην ύπαιθρο κομπάζοντας ο καθένας για την επιστήμη του. Κάποια στιγμή, καθώς περπατούσαν σε ένα λιβάδι εμφανίζεται μπροστά τους ένα λευκό πρόβατο. Μόλις το βλέπει ο μηχανικός αναφωνεί:

- Ένα λευκό πρόβατο! Αγαπητοί συνάδελφοι, θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι τα πρόβατα αυτής της περιοχής είναι λευκά!


Αμέσως τον διακόπτει ο φυσικός λέγοντας:


- Αγαπητέ συνάδελφε θα διαφωνήσω μαζί σου! Το μόνο που μπορούμε να συμπεράνουμε είναι ότι αυτό το πρόβατο είναι λευκό!


Γυρίζουν τότε και οι δυο στο μαθηματικό και τον ρωτάνε:


- Εσύ συνάδελφε τι λες; 


Και τότε, ο μαθηματικός που τους ακούει όλη αυτή την ώρα στωικά αποκρίνεται:

- Αγαπητοί συνάδελφοι θα διαφωνήσω εντελώς και με τους δυο σας! Το μόνο που μπορούμε να συμπεράνουμε είναι ότι αυτή η πλευρά του προβάτου είναι λευκή!

Στην παραβολή αυτή βλέπουμε ότι αρχικά, στη θέα ενός λευκού προβάτου, ο μηχανικός κάνει ένα ακραίο επαγωγικό άλμα που τον οδηγεί στο πολύ γενικό συμπέρασμα ότι η περιοχή έχει λευκά πρόβατα. Ο φυσικός, χρησιμοποιώντας με μεγαλύτερη μετριοπάθεια την επαγωγική μέθοδο, συμπεραίνει ότι και η έτερη πλευρά είναι λευκή και αποφαίνεται ότι το συγκεκριμένο πρόβατο είναι λευκό. Τέλος, ο μαθηματικός, δείχνοντας την εμμονή του στην παραγωγική μέθοδο αρνείται να μετέλθει οποιονδήποτε επαγωγικό συλλογισμό και αρκείται στο συμπέρασμα ότι μόνο η συγκεκριμένη πλευρά του προβάτου, αυτή δηλαδή που βλέπει μπροστά του, είναι λευκή. Από πρακτική άποψη, το συμπέρασμα του μηχανικού είναι σαφέστατα λάθος και θα πρέπει να απορριφθεί. Από την άλλη, το συμπέρασμα του μαθηματικού είναι επιστημονικά το μόνο απόλυτα ορθό με βάση τα δεδομένα. Ωστόσο, με όρους της καθημερινότητας, το πιο χρήσιμο συμπέρασμα μάλλον ανήκει στο φυσικό.



Ας αφήσουμε όμως τώρα ήσυχα τα πρόβατα και ας γυρίσουμε στα κοράκια. «Όλα τα κοράκια είναι μαύρα». Όπως είδαμε, η επαγωγική μέθοδος, όταν στηρίζεται σε πληθώρα επιμέρους τεκμηρίων, μπορεί να αποτελέσει μια ισχυρή αποδεικτική μέθοδο. Εφαρμόζοντας λοιπόν την επαγωγική μέθοδο βγαίνουμε στο σεργιάνι και κάθε φορά που συναντάμε ένα μαύρο κοράκι, το καταγράφουμε και νοιώθουμε περισσότερο βέβαιοι για το αληθές της πρότασης που πάμε να αποδείξουμε. Ασφαλώς με αυτόν τον τρόπο δεν θα καταφέρουμε ποτέ να αποδείξουμε αυστηρά την πρότασή μας. Όσα μαύρα κοράκια κι αν έχουμε συναντήσει, κανείς δεν μπορεί να μας διαβεβαιώσει ότι και το επόμενο κοράκι που θα δούμε θα είναι μαύρο. Ωστόσο, κάθε επιπλέον μαύρο κοράκι που προστίθεται στη λίστα μας, απομακρύνει  περισσότερο την αμφιβολία μας.

Μέχρι εδώ, όλα καλά. Ας αναλύσουμε τώρα λίγο περισσότερο την κατάσταση. Αρχικά, η πρόταση «όλα τα κοράκια είναι μαύρα» είναι φανερά ταυτόσημη με την πρόταση «οτιδήποτε είναι κοράκι, είναι μαύρο». Η τελευταία αυτή όμως πρόταση είναι της μορφής «$p$ συνεπάγεται $q$», όπου $p$: «το x είναι κοράκι» και $q$: «το x είναι μαύρο». Σύμφωνα όμως με τον κανόνα modus tollens, η πρόταση «$p$ συνεπάγεται $q$» είναι ισοδύναμη με την πρόταση «η άρνηση του $q$ συνεπάγεται την άρνηση του $p$», δηλαδή με την πρόταση «οτιδήποτε δεν είναι μαύρο, δεν είναι κοράκι». Και δεν φαίνεται να υπάρχει τίποτα το περίεργο σε αυτό, ώσπου να σκεφτούμε ότι αυτή η ισοδυναμία μας επιτρέπει να κάνουμε το εξής εκπληκτικό. Αντί να βγούμε έξω να ψάχνουμε κοράκια για να αποδείξουμε ότι είναι μαύρα, καθόμαστε στο δωμάτιό μας, παρατηρούμε γύρω μας αντικείμενα τα οποία δεν είναι μαύρα και απλώς διαπιστώνουμε ότι δεν είναι κοράκια! Για παράδειγμα, η παρατήρηση ότι το στυλό που έχω στο γραφείο μου είναι μπλε και φυσικά δεν είναι κοράκι ενισχύει την πρόταση «οτιδήποτε δεν είναι μαύρο, δεν είναι κοράκι» η οποία αυτόματα ενισχύει και την πρόταση «οτιδήποτε είναι κοράκι είναι μαύρο»! 

Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό και ως «το παράδοξο του Hempel»ή ως «Raven paradox». Πώς είναι δυνατόν να αποδείξει κανείς κάτι για τα κοράκια, χωρίς να παρατηρήσει ούτε ένα κοράκι; Στο πλαίσιο του modus ponens, για να καταρριφθεί η πρόταση θα πρέπει να αναζητήσουμε τουλάχιστον ένα κοράκι το οποίο δεν είναι μαύρο. Όμοια, στο πλαίσιο του modus tollens, θα πρέπει να αναζητήσουμε ένα τουλάχιστον αντικείμενο που δεν είναι μαύρο και παρόλα αυτά είναι κοράκι. Φανερά όμως η δεύτερη αναζήτηση είναι μακράν πιο κοπιαστική, αφού μας υπαγορεύει να παρατηρήσουμε όλα τα αντικείμενα του σύμπαντος που δεν είναι μαύρου χρώματος. Αυτό που συμβαίνει στην πραγματικότητα είναι ότι το δωμάτιό μας αποτελεί ένα εντελώς ασήμαντο ποσοστό του παρατηρήσιμου σύμπαντος και κατά συνέπεια οι παρατηρήσεις μας δεν είναι αρκετές για να στηρίξουν την επαγωγική μας διαδικασία. Μάλιστα, ακόμη κι αν επεκτείνουμε τον χώρο των παρατηρήσεών μας έξω από το δωμάτιό μας, π.χ. στη γειτονιά μας, στην πόλη μας ή στη χώρα μας, ούτε τότε θα μπορούμε να στηρίξουμε επαρκώς το συμπέρασμά μας.

Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, όσο προκλητικό κι αν ακούγεται, είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε με σιγουριά αν όντως όλα τα κοράκια είναι μαύρα! Η ακριβής διατύπωση της πρότασης που ισχύει είναι «όλα τα κοράκια που έχουμε συναντήσει όλοι οι άνθρωποι μέχρι σήμερα είναι μαύρα». Εκτός κι αν η ιδιότητα «μαύρος» περιέχεται στον ορισμό του κορακιού. Στην περίπτωση αυτή, με όρους της καντιανής φιλοσοφικής γλώσσας, έχουμε να κάνουμε με μία αναλυτική πρόταση, οπότε είμαστε αυτόματα βέβαιοι ότι όλα τα κοράκια είναι μαύρα, εξ ορισμού! Σε κάθε περίπτωση πάντως, αν σας προκαλέσουν να στοιχηματίσετε για το χρώμα του επόμενου κορακιού που θα συναντήσετε, θα σύστηνα ανεπιφύλακτα να στοιχηματίσετε υπέρ του μαύρου.

Χρησιμοποιώντας τώρα τη μέθοδο του Hempel προχωρούμε να αποδείξουμε την περίφημη αντιρατσιστική φράση «God, she is black» που μεταφράζεται ως «ο Θεός είναι μαύρη», μεταφέροντας την υπόρρητη δήλωση ότι ο Θεός είναι μαύρου χρώματος και θηλυκού γένους. Ισοδύναμη αυτής της πρότασης είναι η «οτιδήποτε δεν είναι μαύρο ή θηλυκού γένους δεν είναι Θεός». Πολύ απλά λοιπόν, παρατηρούμε γύρω μας τα έμψυχα και άψυχα αντικείμενα που είτε είναι αρσενικού γένους είτε δεν είναι μαύρα. Αυτή τη στιγμή που γράφω για παράδειγμα, κοιτάζοντας έξω από το παράθυρό μου παρατηρώ έναν παππού που με εξαίρεση το λευκό του μούσι σε τίποτα άλλο δεν μου κάνει για Θεός... Το ίδιο συνέβη και χθες που σουλατσάριζαν απ' έξω διάφοροι άνδρες, αλλά και προχθές και αντιπροχθές, κ.ο.κ. Αυτό, με βάση την παραπάνω επαγωγική προσέγγιση συνηγορεί ότι ο θεός δεν είναι αρσενικού και άρα είναι θηλυκού γένους. Επίσης, αυτή τη στιγμή δίπλα μου βρίσκονται πεταμένα στο πάτωμα τα πολύχρωμα τουβλάκια της κόρης μου. Κόκκινα, κίτρινα, πράσινα, μπλε, πάντως όχι μαύρα. Παρά τη δημιουργική τους χρήση από την κόρη μου, ούτε σε αυτά μου είναι δυνατό να διακρίνω κάποια θεία φύση. Συνεπώς, καθένα από αυτά τα «μη μαύρα» αντικείμενα αποτελεί τεκμήριο ότι ο Θεός είναι μαύρος. Συνοψίζοντας, ο θεός είναι θηλυκού γένους και μαύρος, συνεπώς «God, she is black»! 

1Την παραβολή αυτή άκουσα για πρώτη φορά από τα χείλη του αδερφού μου Δημήτρη. 

2Hempel, Carl Gustav (8 Ιανουαρίου 1905 - 9 Νοεμβρίου 1997): Γερμανός συγγραφέας και φιλόσοφος, κύριος εκφραστής του λογικού εμπειρισμού, του φιλοσοφικού κινήματος του 20ού αιώνα που αναζητούσε τη λογική ανάλυση της έγκυρης γνώσης και την εμπειρική θεμελίωση της επιστήμης. 

Wednesday, 22 May 2019

4ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές»


Για τέταρτη συνεχόμενη χρονιά, φέτος, ολοκληρώθηκε με επιτυχία ο μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές», την Κυριακή 19 Μαΐου 2019. Ο διαγωνισμός φιλοξενήθηκε για δεύτερη χρονιά από τα εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη, παράλληλα με το 5ο παιδικό τουρνουά, το 5ο ομαδικό πρωτάθλημα ακαδημιών «Θεοφάνης Δρόσος» και το 2ο παιδικό Grand Prix της Σκακιστικής Ακαδημίας Συκεών Νεάπολης. Τα παιδιά αγκάλιασαν και φέτος το μαθηματικό διαγωνισμό, με τις συμμετοχές τους να φτάνουν τις 44, αριθμό που αποτελεί σημαντικό ποσοστό των συνολικών συμμετοχών στα παραπάνω σκακιστικά γεγονότα. 

Πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο διεξαγωγής και τους στόχους του διαγωνισμού μπορείτε να βρείτε στον παρακάτω σύνδεσμο:
Τα θέματα και οι λύσεις του φετινού διαγωνισμού βρίσκονται στους επόμενους συνδέσμους: 

Θέματα Α' & Β' Δημοτικού
Λύσεις Α' & Β' Δημοτικού

Θέματα Γ' & Δ' Δημοτικού
Λύσεις Γ' & Δ' Δημοτικού

Θέματα Ε' & ΣΤ' Δημοτικού
Λύσεις Ε' & ΣΤ' Δημοτικού

Παρακάτω ακολουθούν οι διακριθέντες ανά τάξη με το αντίστοιχο ποσοστό επιτυχίας στα θέματα σε παρένθεση:

Α' Δημοτικού: Σίσκου Εύα (90%)
Β' Δημοτικού: Μποπότας Ανδρέας (90%)
Γ' Δημοτικού: Μπαλαφούτας Αλέξανδρος (77%)
Δ' Δημοτικού: Νακίτσας Στέργιος (92%)
Ε' Δημοτικού: Αλευρίδης Ιωάννης (87%)
ΣΤ' Δημοτικού: Χειλαδάκης Βασίλης (87%)

Οι επίσημες βραβεύσεις θα γίνουν στα εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη την Κυριακή 26 Μαΐου 2019, μετά την ολοκλήρωση του σκακιστικού τουρνουά.

Για μια ακόμη χρονιά θα ήθελα να ευχαριστήσω τα παιδιά και τους γονείς που με μοναδικό κίνητρο την αγάπη για τα μαθηματικά και το πάθος για το «ευ αγωνίζεσθαι» στηρίζουν με την παρουσία τους αυτόν το θεσμό. Επίσης, οφείλω ένα τεράστιο ευχαριστώ στα εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη που μας παραχώρησαν τις εγκαταστάσεις τους, αποδεικνύοντας έμπρακτα για άλλη μια φορά ότι είναι πάντα ανοιχτά σε τέτοιου είδους πνευματικά εγχειρήματα.

Κλείνοντας, για όσους ενδιαφέρονται, τα θέματα μαζί με τις λύσεις από τους αντίστοιχους διαγωνισμούς των προηγούμενων ετών βρίσκονται στους παρακάτω συνδέσμους:

1ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές» 2016

2ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές» 2017

3ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές» 2018

Επικοινωνία:
Τηλ.: 6970081310
email: amaronidis@gmail.com

Friday, 22 March 2019

Ο Δούρειος Πύργος


«Φοβού τους Δαναούς και δώρα φέροντας». Πρόκειται για την περίφημη φράση που ξεστόμισε ο Τρώας ιερέας Λαοκόων μπροστά στη θέα του Δούρειου Ίππου, προειδοποιώντας τους συμπατριώτες του για τα δεινά που τους περίμεναν εάν αποδέχονταν το πονηρό δώρο των Αχαιών. Οι Τρώες βέβαια, όπως γνωρίζουμε, δεν άκουσαν τη συμβουλή του Λαοκόοντα κι έπεσαν στην παγίδα. Απελπισμένος ο Λαοκόων πέταξε το ακόντιό του στο ξύλινο άλογο, εξοργίζοντας τον θεό Ποσειδώνα, ο οποίος μέχρι εκείνη τη στιγμή ήταν με το μέρος των Ελλήνων στον τρωϊκό πόλεμο. Για αντίποινα, ο Ποσειδώνας έστειλε δύο θαλάσσια φίδια τα οποία έπνιξαν τον Λαοκόοντα. Η εν λόγω περιγραφή του Βιργίλιου στο έπος της Αινειάδας ενέπνευσε τους τρεις Ρόδιους γλύπτες Αγήσανδρο, Αθηνόδωρο και Πολύδωρο να φιλοτεχνήσουν το διάσημο γλυπτό έργο «Σύμπλεγμα του Λαοκόοντος», το οποίο απεικονίζεται στην Εικόνα 1. 


Εικόνα 1. Σύμπλεγμα του Λαοκόοντος.

Το εντυπωσιακό σημείο στην ιστορία, πέρα από την κατασκευή του πελώριου ξύλινου αλόγου, είναι το πώς κατόρθωσαν οι Αχαιοί να το μετακινήσουν. Το τεχνικό αυτό πρόβλημα έλυσε ο πολυμήχανος Οδυσσέας τοποθετώντας ρόδες στη βάση του αλόγου. Και αν η μεταφορά του Δούρειου Ίππου φαντάζει δύσκολη φανταστείτε πόσο πιο δύσκολη θα ήταν η μεταφορά ενός «Δούρειου Πύργου». Ακόμη και στις μέρες μας, σας διαβεβαιώνω ότι η μεταφορά ενός πύργου για δώρο στοιχίζει πολλά μεταφορικά, εκτός κι αν η μεταφορά γίνει «μεταφορικά», οπότε τα μεταφορικά δεν στοιχίζουν. Στην επόμενη παρτίδα, λειτουργώντας ως γνήσιος Δαναός, δώρισα όχι έναν, αλλά δυο πύργους στον αντίπαλό μου με σκοπό να εισβάλω στη θέση του. Η παρτίδα παίχτηκε στο τοπικό πρωτάθλημα Θεσσαλονίκης - Χαλκιδικής το 2010. Παίζω με τα λευκά.

C11 French Defense: Classical Variation, Steinitz Variation

1. e4 e6, 2. d4 d5, 3. Nc3 Nf6, 4. e5 Nfd7, 5. Nce2 



Η ιδέα του ανοίγματος είναι η γρήγορη ενίσχυση της διάταξης των πιονιών στο κέντρο με c3. 

5...c5, 6. c3 Nc6, 7. f4 



Ισχυροποιεί ακόμη περισσότερο το κέντρο πριν παιχτεί Nf3. 

7...cxd4, 8. Nxd4 Bc5, 9. Ngf3 Nb6?!



Σίγουρα όχι η καλύτερη κίνηση. Ο μαύρος θέλει να εγκαταστήσει τον Ίππο του στο c4, όμως είναι φανερό ότι τα κομμάτια του δεν είναι αρμονικά τοποθετημένα.

10. Bd3 Bd7, 11. Be3 Qe7?!



Ανακρίβεια. Τα μαύρα θέλουν να αντιμετωπίσουν την απειλή των λευκών να κερδίσουν κομμάτι με 12. Nxc6 Bxc6, 13. Bxc5. Καλύτερο ήταν όμως το 11...Bxd4, 12. Nxd4 Nc4, 13. Bxc4 dxc4, 14. Nb5 O-O, 15. Nd6 b5!, 16. Bc5 (Αν 16. Nxb5 Nxe5 κτλ.) Ne7, 17. O-O Qc7, 18. Qd4 Rfd8 κτλ.

12. b4 



Παρότι το Stockfish 9 εδώ δίνει 12. b3, προσωπικά προτιμώ τη φορσέ συνέχεια με b4 που επέλεξα, η οποία αναγκάζει τα μαύρα να αποχωριστούν τον καλό τους Αξιωματικό. 

12...Bxd4, 13. Nxd4 Nxd4, 14. Bxd4 



Τα λευκά έχουν το ισχυρό ζεύγος των Αξιωματικών σε μία θέση που είναι έτοιμη να εκραγεί από στιγμή σε στιγμή. Η θεματική κίνηση f5 βρίσκεται ante portas.

14...Nc4, 15. Qe2?!



Μικρή ανακρίβεια με χάσιμο τέμπο. Προτιμότερο ήταν το 15. Qg4, δεδομένου ότι ούτως ή άλλως αργότερα στην παρτίδα η Βασίλισσα πήγε εκεί.

15...b5? 



Σοβαρό στρατηγικό σφάλμα που νεκρώνει τελείως το μαύρο λευκοτετράγωνο Αξιωματικό.

16. O-O a5, 17. a3 



Απλή κίνηση που αποτρέπει οποιαδήποτε δραστηριότητα του μαύρου στην πτέρυγα της Βασίλισσας. Καλό ήταν επίσης το 17. Bc5 που στερεί οριστικά από τον μαύρο το δικαίωμα του ροκέ.

17...Qd8 



Ο μαύρος πασχίζει να βρει τρόπο ώστε να κάνει ροκέ, το οποίο με τη Βασίλισσα στο e7 είναι ανέφικτο λόγω του 17...Ο-Ο, 18. Bc5 που σουβλίζει τη Βασίλισσα και τον Πύργο. Τα μαύρα είναι ήδη πολύ άσχημα. 

18. Qg4 



Πιο γρήγορο ήταν το f5. Προτίμησα όμως το Qg4 που προκαλεί αδυναμίες γύρω από το μαύρο Βασιλιά. Υπενθυμίζουμε ότι η Βασίλισσα θα μπορούσε να βρίσκεται στο g4 ήδη από τη 15η κίνηση.

18...g6, 19. Qg3 



Εδώ αξίζει να αναφέρουμε την πρόταση του Stockfish: 19. f5 exf5, 20. Qf4 Be6, 21. Qh6 a4, 22. Bxc4 bxc4, 23. b5 Kd7, 24. b6 Kc8, 25. Rab1 Kb7, 26. Rb5 Qe7, 27. Ra1 Rhc8. Στη συνέχεια αυτή τα λευκά φανερά υπερτερούν, όμως δεν είναι καθόλου ξεκάθαρο πώς θα διεισδύσουν στη θέση του μαύρου.

19...Nd2 



Με την κίνηση αυτή τα μαύρα θέλουν να μεταφέρουν με τέμπο τον Ίππο τους στο b3 με σκοπό να τον αλλάξουν με τον επικίνδυνο λευκό μαυροτετράγωνο Αξιωματικό στο d4! 

20. f5! 



Δωρίζω τον πρώτο Πύργο... Τι αξία έχει ένας Πύργος μπροστά στην ολοσχερή καταστροφή της άμυνας του μαύρου Βασιλιά... Να πούμε βέβαια ότι η κίνηση αυτή παίχτηκε με λίγη καθυστέρηση χωρίς ωστόσο ευτυχώς να στερείται αποτελεσματικότητας.

20...Nxf1, 21. Rxf1 Qc7

Φυσικά όχι 21...gxf5??, 22. Qg7 Rf8 (αν 22...Ke7, 23. Bc5+), 23. Bc5 διαλύοντας τη θέση του μαύρου, ενώ στο 21...exf5?, 22. e6! με διπλή απειλή σε Αξιωματικό και Πύργο.

22. fxg6 hxg6 



Αν 22...fxg6, τότε 23. Qh4 και τα μαύρα είναι κομμένα στα δύο. Ο Βασιλιάς είναι καταδικασμένος στο κέντρο και οι δύο Πύργοι δεν επικοινωνούν μεταξύ τους.

23. Rxf7!



Σωστός Δούρειος Πύργος... Κίνηση κλειδί για τη συνέχιση της επίθεσης. Η θυσία του πρώτου πύργου δικαιώνεται με τη θυσία και του δεύτερου!

23...O-O-O 



Ο μαύρος ακούει αυτή τη φορά τη συμβουλή του Λαοκόοντα και δεν αποδέχεται το δεύτερο δώρο... Φυσικά στο 23...Kxf7 ακολουθεί ματ σε 5 κινήσεις με 24. Bxg6+ Kg8, 25. Bh5+ Kf8, 26. Qf4+ Kg7, 27. Qf6+ Kg8, 28. Qf7#

24. Qxg6 



Εδώ βέβαια θα μπορούσε να παιχτεί και 24. Bxb5 axb4, 25. axb4 Qb7, 26. Be2 Rdf8, 27. Qxg6 Rxf7, 28. Qxf7 κτλ. Ακόμα κι έτσι όμως η θέση μου είναι σαφέστατα ανώτερη.

24...axb4, 25. axb4 Rdg8, 26. Qf6 Qd8, 27. g3?! 



Υπήρχε η δυνατότητα για το 27. Bxb5! Bxb5, 28. Qxe6+ Kb8 (Εάν 28... Bd7, 29. Qa6+ Kb8, 30. Ba7+ Ka8, 31. Bb6+ Kb8, 32. Qa7+ Kc8, Qa8#) 29. Bc5! Rxg2, 30. Kxg2 Qg5+, 31. Kh1 Qc1+, 32. Bg1 Qh6, 33. Rf6 Qg7, 34. Qxd5 κτλ.

27...Qxf6?!



Καλύτερο ήταν το 27...Rf8

28. exf6 Rf8, 29. Rxf8 Rxf8, 30. Bg6 Be8? 



Το τελευταίο λάθος σε μια ούτως ή άλλως χαμένη θέση.

31. Bxe8 Rxe8, 32. Bc5!



και τα μαύρα εγκατέλειψαν, καθώς δεν μπορούν να εμποδίσουν την προαγωγή του λευκού πιονιού.

Saturday, 26 January 2019

Κορώνα ή Γράμματα;

- Αν ένα κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τι θα ποντάρατε ότι θα φέρει στην ενδέκατη ρίψη; 

Η σωστή απάντηση δεν είναι καθόλου προφανής. Η πλειοψηφία τείνει να ποντάρει στην κορώνα, σε αυτό δηλαδή που έχει καιρό να εμφανιστεί. Ο λόγος είναι η λάθος ερμηνεία του περίφημου ισχυρού Νόμου των Μεγάλων ΑριθμώνΟ νόμος αυτός λέει το εξής: 

Έστω ότι ένα πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται $N$ φορές και έστω ότι η θεωρητική (a priori) πιθανότητα κάποιου γεγονότος $A$ είναι $p_Α$. Ορίζουμε ως σχετική συχνότητα πραγματοποίησης του $A$ το πηλίκο $f_A = \frac{N_A}{N}$, όπου $N_A$ συμβολίζει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το γεγονός $A$ στις $N$ επαναλήψεις του πειράματος. Τότε, καθώς το $N$ τείνει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα $f_A$ συγκλίνει στην τιμή $p_A$. Με άλλα λόγια, όσο περισσότερες φορές επαναλαμβάνεται το πείραμα, τόσο αναμένουμε η τιμή $f_A$ να πλησιάσει την τιμή $p_A$. 


Αρχικά, για να λύσουμε το πρόβλημα, είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι διαδοχικές ρίψεις του κέρματος είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι πιθανότητες δηλαδή για κορώνα ή γράμματα δεν μεταβάλλονται από τη μία ρίψη στην άλλη. Εδώ είναι άλλωστε και το σημείο στο οποίο ξεκινούν οι παρανοήσεις και τα σφάλματα, καθώς πολλοί θεωρούν ότι τα προηγούμενα αποτελέσματα επηρεάζουν με κάποιον «μεταφυσικό» τρόπο την επόμενη ρίψη. Κανένα κέρμα όμως, σε κανένα σημείο του πλανήτη δεν έχει μνήμη. Συνεπώς, το τι έφερε ένα κέρμα στο παρελθόν δεν επηρεάζει σε τίποτα το τι θα φέρει στο μέλλον. Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι δεσμευμένες (a posteriori) πιθανότητες, δεδομένου του αποτελέσματος μίας ρίψης, ταυτίζονται με τις a priori

Λόγω ακριβώς της ανεξαρτησίας των διαδοχικών επαναλήψεων, για να μπορέσουμε να αποφανθούμε που συμφέρει να ποντάρουμε, το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η a priori πιθανότητα για κάθε ενδεχόμενο. Στα επόμενα θεωρούμε τις a priori πιθανότητες $p_K$ και $p_{\Gamma}$, το κέρμα να φέρει κορώνα και γράμματα, αντίστοιχα. Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

Γνωστές a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η ιδανική εκδοχή. Η γνώση των a priori πιθανοτήτων κάποιου πειράματος συνήθως βασίζεται στους νόμους της φυσικής ή σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αν γνωρίζουμε τα $p_K$ και $p_{\Gamma}$, τότε φυσικά ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. 

α) Αν $p_K = p_{\Gamma}$, αν δηλαδή η πιθανότητα το κέρμα να φέρει γράμματα ισούται με την πιθανότητα να φέρει κορώνα, τότε δεν έχει σημασία που θα ποντάρουμε, αφού σε κάθε περίπτωση προσδοκούμε να κερδίσουμε με πιθανότητα $50\%$. Σε αυτήν την περίπτωση το κέρμα λέγεται δίκαιο. Πολλοί θεωρούν ότι εφόσον το κέρμα έφερε 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, κατά κάποιον τρόπο «οφείλει» να φέρει κάποια στιγμή κορώνα ώστε οι σχετικές συχνότητες των γεγονότων «κορώνα» και «γράμματα» να πλησιάσουν την αναμενόμενη τιμή $50\%$. Και όντως, περιμένουμε κάποια στιγμή να φέρει κορώνα, όχι όμως λόγω του παρελθόντος, αλλά για τον απλούστατο λόγο ότι το $50\%$ αποτελεί μεγάλη τιμή πιθανότητας. Για να συμβεί τώρα η σύγκλιση των σχετικών συχνοτήτων, το μόνο που «οφείλει» το κέρμα είναι να συνεχίσει να φέρνει in perpetuum κορώνα ή γράμματα με πιθανότητα $50\%$ το καθένα. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό αν υποθέσουμε για παράδειγμα ότι στις επόμενες 999990 φορές το κέρμα φέρει 499995 φορές κορώνα και 499995 φορές γράμματα. Τότε, παρότι στην αρχή είχαμε $f_K = 0\%$ και $f_{\Gamma} = 100\%$, στο τέλος οι τιμές αυτές ανανεώνονται στις $f_K = \frac{499995}{1000000} = 49.9995\%$ και $f_{\Gamma} = \frac{1000005}{1000000} = 50.0005\%$ αντίστοιχα. Και οι δύο δηλαδή πλησιάζουν πάρα πολύ τη θεωρητική τιμή $50\%$.

β) Στην πραγματικότητα, πολλές φορές κάνουμε κάποιες θεωρητικές παραδοχές οι οποίες δεν ισχύουν απαραίτητα και στην πράξη. Το κέρμα δηλαδή μπορεί να μην είναι και τόσο δίκαιο όσο θα περιμέναμε. Για παράδειγμα, το ανάγλυφο σχήμα του, έστω και ανεπαίσθητα καταστρέφει την ομοιομορφία του κέρματος, με αποτέλεσμα να στρεβλώνεται το ισοπίθανο των δύο όψεων. Στην περίπτωση αυτή φυσικά συμφέρει να ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Αν για παράδειγμα, $p_{\Gamma} > p_K$, τότε πρέπει να ποντάρουμε ξανά στα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι τις 10 τελευταίες φορές ήρθαν γράμματα.

Άγνωστες a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η πιο ρεαλιστική εκδοχή. Η a priori πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν είναι σε όλα τα πειράματα γνωστή. Υπάρχουν για παράδειγμα πειράματα, στα οποία δεν μπορούμε να κάνουμε καμία υπόθεση βασιζόμενοι σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αυτό που γίνεται συχνά στην πράξη είναι η εκτίμηση των a priori πιθανοτήτων των γεγονότων μέσα από την επανάληψη του πειράματος τύχης. Με κάθε επανάληψη του πειράματος μοντελοποιούμε καλύτερα τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου χρησιμοποιώντας τις σχετικές συχνότητες ως εκτιμητές. Στην περίπτωση αυτή συνεπώς, αν και οι προηγούμενες ρίψεις δεν επηρεάζουν τις επόμενες, μας παρέχουν πολύτιμη πληροφορία ώστε να εκτιμήσουμε μέσα σε συγκεκριμένα διαστήματα εμπιστοσύνης τις άγνωστες a priori πιθανότητες των δύο γεγονότων. 

Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τις a priori πιθανότητες των ενδεχομένων κορώνα και γράμματα, αν το κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τότε μία καλή τακτική είναι να ποντάρουμε και την ενδέκατη φορά στα γράμματα! Οι 10 προηγούμενες φορές υποδεικνύουν μία τάση (bias) του κέρματος να φέρνει περισσότερες φορές γράμματα. Αν για τις 10 ρίψεις το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται παράλογο, αρκεί να σκεφτούμε ένα κέρμα το οποίο έχει φέρει 1000000 συνεχόμενες φορές γράμματα! Τότε, σίγουρα όλοι θα σκεφτόμασταν ότι το γεγονός αυτό μάλλον δεν είναι καθόλου τυχαίο και με μεγάλη βεβαιότητα θα περιμέναμε και στην εκατομμυριοστή πρώτη ρίψη το κέρμα να φέρει γράμματα. 

Φυσικά το αποτέλεσμα αυτό δεν έχει να κάνει με τις συνεχόμενες ρίψεις, αλλά με τη γνώση που έχουμε για το πλήθος εμφάνισης του κάθε ενδεχομένου. Αν δηλαδή, στις προηγούμενες 100 ρίψεις το κέρμα έφερνε 90 φορές κορώνα και 10 φορές γράμματα, τότε θα έπρεπε να αλλάξουμε γνώμη και να ποντάρουμε στην κορώνα, παρά το γεγονός ότι στις δέκα τελευταίες ρίψεις έφερε γράμματα!


Ερώτηση bonus: Αν ένα κέρμα έχει φέρει τις τελευταίες 100 φορές τις επόμενες ενδείξεις με τη σειρά που αναγράφονται παρακάτω, τότε πού θα ποντάρατε στην 101η ρίψη;

Απάντηση: Αν βιαστήκατε να απαντήσετε κορώνα, τότε προφανώς έχετε παρασυρθεί από το μοτίβο των περιοδικών εμφανίσεων των δύο όψεων. Για να απαντήσετε σωστά όμως, αναρωτηθείτε πρώτα δύο πράγματα: 

α) Ισχύει η ανεξαρτησία ανάμεσα στις διαδοχικές ρίψεις του κέρματος; 

Αν το πείραμα επαναλαμβάνεται στον ίδιο χώρο, με σταθερές περιβαλλοντικές συνθήκες και χωρίς τη χρήση κάποιου τεχνάσματος, π.χ. συγκεκριμένη αρχική θέση και ταχύτητα (βλ. παρακάτω), τότε δεν υπάρχει λόγος να απορριφθεί η ανεξαρτησία. Στην περίπτωση αυτή, το μοτίβο των περιοδικών επαναλήψεων εμφανίστηκε εντελώς συμπτωματικά, οπότε πρέπει να αγνοηθεί. Αν κάποια από τις προηγούμενες προϋποθέσεις δεν ισχύει, τότε ενδέχεται να παραβιάζεται η ανεξαρτησία, συνεπώς στην περίπτωση αυτή, το παραπάνω μοτίβο ίσως να υπάγεται σε κάποιου είδους νομοτέλεια η οποία θα πρέπει να ληφθεί σοβαρά υπόψιν στην απόφαση σας.

Παράδειγμα παραβίασης της ανεξαρτησίας αποτελεί η περίπτωση στην οποία η ρίψη ξεκινάει με τη μία από τις δύο όψεις από πάνω και την άλλη από κάτω. Υπάρχει μία βάσιμη θεωρία που διατείνεται ότι η όψη που βρίσκεται από πάνω στην αρχή έχει κατά τι μεγαλύτερη πιθανότητα να εμφανιστεί και στο τελείωμα της ρίψης! Αυτό οφείλεται στον απλούστατο λόγο ότι κατά τη διάρκεια της ρίψης, η όψη αυτή μένει για μεγαλύτερο ή τουλάχιστον ίσο χρονικό διάστημα από πάνω σε σύγκριση με την άλλη όψη. Λογικό, εφόσον η ρίψη ξεκινάει με αυτήν την όψη από πάνω και ή τελειώνει στην ίδια όψη ή αλλάζει όψη με βάση την επόμενη ακολουθία:


Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π ...

όπου με «Π» και «Κ», πάνω και κάτω αντίστοιχα, συμβολίζουμε την κατάσταση στην οποία βρίσκεται η αρχική όψη κάθε χρονική στιγμή. Για αυτόν το λόγο την επόμενη φορά που θα σας προκαλέσει κάποιος σε «κορώνα-γράμματα» απαιτήστε το κέρμα στην αρχή να βρίσκεται σε πλάγια θέση ή ακόμη καλύτερα ζητήστε να ρίξετε εσείς το κέρμα εφόσον πλέον γνωρίζετε πώς να το κάνετε καλύτερα!

β) Γνωρίζετε ή όχι τις a priori πιθανότητες;  

Αν ναι, τότε αγνοήστε τι έφερε το κέρμα τις τελευταίες 100 φορές και ποντάρετε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη a priori. Αν όχι, τότε το μόνο όπλο που έχετε είναι η εκτίμηση των a priori. Καθώς το κέρμα έφερε 60 φορές γράμματα και 40 φορές κορώνα, τότε έχει μια λογική να προτιμήσετε τα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι στις τελευταίες 12 ρίψεις ήρθαν ξανά γράμματα και με βάση το μοτίβο θα έπρεπε να ακολουθήσει κορώνα.

Πολύ ωραία θα πείτε τώρα όλα αυτά. Πώς μπορούμε όμως να είμαστε βέβαιοι ότι γνωρίζουμε ή όχι τις a priori πιθανότητες ή ότι ισχύει η αρχή της ανεξαρτησίας; Αν ρωτάτε εμένα, ή απάντηση είναι απλή. Ρίξτε κέρμα...

Wednesday, 5 December 2018

Η μεταμόρφωση του Πύργου, ο Κάφκα και η σημειολογία στο σκάκι

Ένα από τα πρώτα βήματα στο σκάκι είναι η εκμάθηση των κινήσεων των κομματιών. Στη διαδικασία αυτή, αναμφίβολα προκαλεί έκπληξη η γνωριμία με την "αλλόκοτη" κίνηση του Ίππου. Μαθαίνουμε ότι ο Ίππος είναι το μόνο κομμάτι που μπορεί να υπερπηδά με το άλμα του τα υπόλοιπα κομμάτια. Συνεπώς, ο μόνος τρόπος για να πραγματοποιήσει άλμα κάποιο άλλο κομμάτι είναι να μεταμορφωθεί σε Ίππο... Μια τέτοια μεταμόρφωση διηγούμαι παρακάτω.

Πριν από περίπου 15 χρόνια, όταν τελείωνα τον πρώτο τόμο του Σιαπέρα με τίτλο «το σκάκι, πλήρης ανάπτυξις της θεωρίας και η πρακτική της εφαρμογή» (βλ. επόμενη εικόνα αριστερά), που ήταν και το πρώτο μου βιβλίο γενικά στο σκάκι, στις τελευταίες σελίδες βρέθηκα αντιμέτωπος με μία εκπληκτική θέση. Ομολογώ βέβαια ότι ακόμη δεν έχω καταλάβει αν είναι θέση από πραγματική παρτίδα ή καλλιτεχνική σπουδή, καθώς κάτι τέτοιο δεν αναφέρεται ρητά στο βιβλίο και όσο κι αν έψαξα δεν κατάφερα να το ανακαλύψω ποτέ. Με βάση τα συμφραζόμενα του βιβλίου υποψιάζομαι ότι είναι μία από τις πολλές σπουδές του δαιμόνιου G. Kasparian. Μπροστά στην απαράμιλλη ομορφιά της θέσης όμως, αυτή η λεπτομέρεια πλέον με αφήνει αδιάφορο. 


         

Ας δούμε τη θέση. Στο Διάγραμμα 1 παίζουν τα λευκά και κερδίζουν. Για όσους δεν έχουν ξανασυναντήσει τη θέση οφείλω να προειδοποιήσω ότι δεν είναι τόσο απλή όσο φαίνεται. 

Διάγραμμα 1.

1. f8=Q


Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι με την πρώτη ματιά όλοι σκεφτόμαστε αυτή την κίνηση. Τα λευκά έχουν μια "ολοκαίνουργια" Βασίλισσα και η νίκη φαντάζει εύκολη υπόθεση. Είναι σειρά όμως του μαύρου να παίξει.


1...Rg1+, 2. Rd1


Κίνηση φορσέ για τα λευκά.

2...Rg2!


Ξαφνικά τα μαύρα απειλούν ματ με 3...Rc2#! Αν 3. Rd2 τότε απλά 3...Rg1+, 4. Rd1 Rg2 ξαναφέρνοντας την ίδια θέση. Επίσης αν 3. Qc5 (ή 3. Qf6+ ή 3. Qf5 ή 3. Rh1) b2+, οπότε

3. Qa3+ Ra2

Διάγραμμα 2.

Περιέργως φαίνεται ότι τα μαύρα καταφέρνουν να επιβιώσουν. Ο μαύρος Πύργος απειλεί την Βασίλισσα, η οποία δεν μπορεί να οπισθοχωρήσει αφού θα επιτρέψει στα μαύρα είτε να πετύχουν ισοπαλία είτε ακόμη χειρότερα να δώσουν αυτά τελικά το ματ. Για παράδειγμα, αν 4. Qb4?? Rc2#, ενώ αν 4. Qc5 Rh2! (και όχι βέβαια 4...b2+, 5. Kd2+ b1=Q+, 6. Ke1 και τα λευκά κερδίζουν την καρφωμένη μαύρη Βασίλισσα). Με το 4...Rh2! τα μαύρα απειλούν 5...b2# και εξαναγκάζουν τη συνέχεια 5. Qa3+ Ra2 επαναφέροντας την ίδια θέση και διεκδικώντας την ισοπαλία. Επίσης, δεν είναι αρκετό ούτε το 4. Qxa2+ Kxa2 (φυσικά όχι 4...bxa2??, 5. Kc2#), 5. Rd2+ Ka1, ισοπαλία. 

Τι συμβαίνει λοιπόν; Κερδίζουν τελικά τα λευκά; Στο Διάγραμμα 2, παρατηρούμε ότι αν μπορούσε ο λευκός Πύργος να πηδήξει επάνω από τον Βασιλιά του και να βρεθεί στο τετράγωνο b1 θα έδινε ματ! Όπως είπαμε όμως στην αρχή, το μόνο κομμάτι που έχει την ιδιότητα να κάνει άλματα είναι ο Ίππος. Εκτός κι αν συμβεί η μεταμόρφωση που λέγαμε...

4. Rd2!!

Διάγραμμα 3.

Η αρχή της μεταμόρφωσης! Τα λευκά αδιαφορούν για την Βασίλισσά τους και πιέζουν τον μαύρο Πύργο, ο οποίος είναι απόλυτα καρφωμένος!

4...Rxa3 


Και τώρα λίγη μαγεία... 

5. Rb2!! 


Zugzwang! Τα μαύρα είναι υποχρεωμένα να παίξουν τη μοναδική επιτρεπτή κίνηση στη θέση!

5...Ra2 


μετά την οποία ακολουθεί 

6. Rb1#! 

Διάγραμμα 4.

Αν συγκρίνουμε τα Διαγράμματα 2 και 4 βλέπουμε ότι ο λευκός Πύργος ως εκ θαύματος μεταμορφώθηκε σε Ίππο και με ένα επιβλητικό άλμα d1-d2-b2-b1 βρέθηκε στο τετράγωνο b1, από το οποίο έδωσε ματ στο μαύρο Βασιλιά! Τέτοιο άλμα σίγουρα θα το ζήλευε ακόμη κι ο original Ίππος...

Στο σημείο αυτό θα ήθελα να αναφέρω ότι η επαφή μου με αυτή τη "σκακιστική" μεταμόρφωση του Πύργου, εντελώς σημειολογικά με είχε γυρίσει πίσω στα σχολικά μου χρόνια, όταν είχαν πέσει στα χέρια μου δύο σπουδαία βιβλία του Franz Kafka, «η Μεταμόρφωση» και «ο Πύργος». Στη μεταμόρφωση θυμάμαι, ο πρωταγωνιστής Γκρέγκορ Σάμσα, όταν ξύπνησε ένα πρωινό από κακό όνειρο, βρέθηκε στο κρεβάτι του μεταμορφωμένος σε ένα ανθρωπίνων διαστάσεων έντομο, προσπαθώντας έντρομος να συνειδητοποιήσει τι είναι αυτό που του συμβαίνει. Σε πολύ γενικές γραμμές, η μεταμόρφωση του Σάμσα συμβολίζει, εκτός των άλλων, την απώθηση που αισθάνεται το άτομο από τους ανθρώπους γύρω του και που το οδηγεί στην πλήρη κοινωνική απομόνωση. Από την άλλη, στον Πύργο, ο κύριος Κ, σαν ένας σύγχρονος Σίσυφος, προσπαθούσε να πλησιάσει και να μπει στο απομακρυσμένο κτίριο της δημόσιας διοίκησης και κάθε τόσο συναντούσε ανυπέρβλητα εμπόδια που δεν του το επέτρεπαν. Η διήγηση του Πύργου σκιαγραφεί την αλλοτρίωση του ατόμου, η οποία οφείλεται στη διαρκή και κοπιώδη προσπάθεια επίτευξης μίας σειράς ανεκπλήρωτων στόχων μέσα στην απρόσωπη βιομηχανική κοινωνία του 20ού αιώνα.

Διαβάζοντας αυτά τα δύο βιβλία, μου είχε τότε γεννηθεί το όνειρο να σταματήσει πια να μεταμορφώνεται καθημερινά ο άνθρωπος και με κάποιον ανατρεπτικό τρόπο να συμβεί η μεταμόρφωση του Πύργου, η αλλαγή δηλαδή της κοινωνίας από μηχανισμό ανθρώπινης αποξένωσης σε μια ουτοπία απαλλαγμένη από τεχνητές ανάγκες. Η πρώτη φορά που μου δόθηκε έστω και αλληγορικά η εντύπωση ότι το όνειρο αυτό, η μεταμόρφωση δηλαδή του Πύργου, πραγματοποιείται ήταν ετούτη εδώ η θέση επάνω στη σκακιέρα. 

Γυρνώντας τώρα πίσω στο Διάγραμμα 3, θα ήταν παράλειψη να μην αναφέρω την ενδιαφέρουσα εναλλακτική συνέχεια με 4...b2+ (βλ. Διάγραμμα 5), αντί για το 4...Rxa3 που εξετάσαμε παραπάνω. 

Διάγραμμα 5.

Παρεμπιπτόντως, για κάποιον άγνωστο λόγο ο Σιαπέρας στο βιβλίο του παραλείπει αυτή τη βαριάντα, η οποία μάλιστα προβάλει πιο σθεναρή αντίσταση και απαιτεί μεγάλη ακρίβεια από τα λευκά ώστε να κερδίσουν τη θέση. Η σωστή συνέχεια είναι 

5. Qxb2+ Rxb2, 6. Rxb2


6...a3 


μοναδική κίνηση η οποία κρύβει και μια παγίδα. Αν ο Πύργος ανέβει στη στήλη b, π.χ. 7. Rb8 τότε τα μαύρα απαντούν 7...a2 


και το πατ είναι αναπόφευκτο ό,τι κι αν παίξουν τα λευκά! Παρόμοια είναι η κατάσταση αν ο Πύργος διατηρηθεί στη γραμμή 2. Για παράδειγμα, 7. Rh2 a2, 8. Kd2 (ή 8. Kc2 πατ) Kb2 ισοπαλία. Η μοναδική κίνηση που δίνει τη νίκη στα λευκά είναι 

7. Rb1+! Ka2


και μόνο τότε 

8. Rb8 Ka1, 9. Kc2! a2


10. Kb3!!


Στο σημείο αυτό γινόμαστε μάρτυρες μιας δεύτερης μεταμόρφωσης, αυτή τη φορά του Βασιλιά σε Ίππο. Προσέξτε τη διαδρομή του λευκού Βασιλιά σε σχήμα «Γ» c1-c2-b3! Με αυτόν τον τρόπο, ο λευκός Βασιλιάς μπαίνει μπροστά στον Πύργο του για να ανοίξει το δρόμο στο μαύρο ομόλογό του αποφεύγοντας το πατ!

10...Kb1, 11. Rh8!


Τώρα, αν 11...a1=Q, 12. Rh1#!


οπότε 

11...a1=N+! 



Τραγική ειρωνεία. Τα μαύρα προάγουν σε Ίππο, στο κομμάτι δηλαδή του οποίου τις αλτικές ικανότητες έκλεψαν Πύργος και Βασιλιάς! Αυτό δεν είναι αρκετό όμως για να τα σώσει.

12. Kc3 Ka2, 13. Re8! 


οδηγεί πιο γρήγορα από κάθε άλλη κίνηση στο ματ!

13...Kb1, 14. Re2! Nb3, 15. Kxb3 Kc1, 16. Kc3 Kb1, 17. Re1+ Ka2, 18. Rc1 Ka3, 19. Ra1#.

Κάπως έτσι λοιπόν, με αυτή τη σπουδή ολοκληρώθηκε το πρώτο μου βιβλίο. Άντε μετά να μην κολλήσεις με το σκάκι...