Thursday, 3 June 2021

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι στρόγγυλοι: Ένας εναλλακτικός ορισμός των πρώτων αριθμών

Αν η μεζούρα μου έχει ακρίβεια εκατοστού (cm), έχει νόημα να πω ότι το ύψος μου είναι \(1784\) χιλιοστά (mm);

Στο άρθρο «Η τάξη μεγέθους και το μέγεθος της τάξης» παρουσιάσαμε μια ειδική μορφή στρογγυλοποίησης, η οποία μας επιτρέπει να εκτιμούμε την τάξη μεγέθους ενός συνόλου ή αντικειμένου. Είδαμε επίσης ότι η τάξη μεγέθους είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε. Στο άρθρο αυτό, θα δούμε άλλη μια χρήσιμη εφαρμογή της (συνήθους αυτή τη φορά) στρογγυλοποίησης, με τη βοήθεια της οποίας θα καταλήξουμε σε έναν εναλλακτικό ορισμό των πρώτων φυσικών αριθμών.

Στις φυσικές επιστήμες, για την έκφραση κάποιου μεγέθους, σημαντικότατο ρόλο παίζει η ακρίβεια του οργάνου μέτρησης, η οποία αναφέρεται πολλές φορές και ως διακριτική ικανότητα. Οποιαδήποτε απόδοση μιας μέτρησης με μονάδες μικρότερες της διακριτικής ικανότητας του οργάνου είναι ανούσια, καθώς ενέχει την πιθανότητα σφάλματος. Σε τέτοιες περιπτώσεις συνήθως καταφεύγουμε στη συνήθη διαδικασία της στρογγυλοποίησης η οποία περιγράφεται παρακάτω:

Αλγόριθμος στρογγυλοποίησης

  • Βήμα 1ο: Προσδιορίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. (Στη δική μας περίπτωση, η τάξη αυτή καθορίζεται από τη διακριτική ικανότητα της μεζούρας)
  • Βήμα 2ο: Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης
    • Περίπτωση 1η: Αν είναι μικρότερο του \( 5 \), τότε προχωράμε στο Βήμα 3ο
    • Περίπτωση 2η: Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του \( 5 \), τότε το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1
  • Βήμα 3ο: Τα ψηφία όλων των τάξεων που είναι μικρότερες της τάξης στρογγυλοποίησης μηδενίζονται

Στην δική μας περίπτωση, η μεζούρα είναι βαθμονομημένη σε cm και άρα δεν μπορεί να «διακρίνει» μήκη μικρότερα του ενός cm. Γι αυτόν τον λόγο οφείλουμε να κάνουμε στρογγυλοποίηση στην τάξη των cm. Καθώς το ψηφίο \(4\) που ανήκει στην τάξη των mm είναι μικρότερο του \(5\), η μέτρηση στρογγυλοποιείται σε \(1780\). Έτσι, είναι ορθότερο να πω ότι το ύψος μου είναι \(1780\) mm ή απλούστερα \(178\) cm.

Βασισμένοι τώρα στην έννοια της στρογγυλοποίησης, θα δώσουμε έναν εναλλακτικό ορισμό των πρώτων ακεραίων αριθμών. Για το σκοπό αυτό, δίνουμε τον επόμενο τετριμμένο ορισμό:

Ορισμός 1: Ένας ακέραιος αριθμός καλείται στρόγγυλος όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι το μηδέν.

Στο φως αυτού του ορισμού, ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην επόμενη ερώτηση:

Ποιοι από τους επόμενους φυσικούς αριθμούς είναι στρόγγυλοι;

\( 0, 5, 9, 10, 19, 20, 97, 100 \)

Δεν νομίζω να υπάρχει αμφιβολία ότι η αυθόρμητη απάντηση είναι ότι στρόγγυλοι αριθμοί είναι οι \( 0 , 10, 20 \) και \( 100 \). Τα πράγματα όμως δεν είναι τόσο απλά. Για να απαντηθεί το ερώτημα, είναι κρίσιμης σημασίας το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε. Στο δεκαδικό σύστημα, ασφαλώς οι στρόγγυλοι αριθμοί του παραπάνω συνόλου είναι οι \( 0, 10, 20 \) και \( 100 \). Ο αριθμός \( 9 \) σαφώς δεν είναι στρόγγυλος στο 10-δικό, ωστόσο είναι στρόγγυλος στο 3-δικό αφού εκεί γράφεται ως \( 100 \). Επίσης, είναι στρόγγυλος προφανώς και στο 9-δικό σύστημα, όπου γράφεται ως \( 10 \). Όμοια, το \( 19 \), που είναι και πρώτος αριθμός, είναι ένας ολοστρόγγυλος αριθμός στο 19-δικό σύστημα, αφού γράφεται ως \( 10 \). 

Από τα παραπάνω, μπορούμε να καταλήξουμε σε μερικές πολύτιμες παρατηρήσεις:

Παρατήρηση 1: Κάθε φυσικός αριθμός, στο αριθμητικό σύστημα με βάση τον εαυτό του, γράφεται ως \( 10 \). Συνεπώς, για κάθε φυσικό αριθμό, υπάρχει ένα τουλάχιστον αριθμητικό σύστημα, στο οποίο αυτός είναι στρόγγυλος! Κατά κάποιον τρόπο, θα μπορούσαμε να πούμε ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι στρόγγυλοι, αρκεί να τους δούμε από την κατάλληλη «αριθμητική οπτική γωνία».

Παρατήρηση 2: Μια ακόμη παρατήρηση που πηγαίνει κόντρα στη διαίσθηση είναι ότι το \( 10 \) μπορεί να είναι πρώτος αριθμός! Πράγματι, όπως είδαμε παραπάνω, το \( 10 \) στο 19-δικό σύστημα είναι πρώτος αριθμός.

Παρατήρηση 3: Στην πραγματικότητα, για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχουν τόσα αριθμητικά συστήματα στα οποία αυτός είναι στρόγγυλος, όσοι και οι φυσικοί του διαιρέτες, εξαιρουμένου του 1. Πιο συγκεκριμένα, αν \( d \) είναι ένας φυσικός διαιρέτης του φυσικού αριθμού \( a \) διάφορος του 1, τότε ο \( a \) είναι στρόγγυλος στο d-δικό σύστημακαι αντιστρόφως. Για παράδειγμα, το \( 12 \) είναι στρόγγυλος αριθμός σε \( 5 \) αριθμητικά συστήματα: στο 2-δικό, στο 3-δικό, στο 4-δικό, στο 6-δικό και στο 12-δικό, καθώς οι φυσικοί διαιρέτες του \( 12 \) είναι οι \( 1, 2, 3, 4, 6 \) και \( 12 \). Δια του λόγου το αληθές παρατίθενται οι εκφράσεις του \( 12 \) σε όλα τα αριθμητικά συστήματα με βάση από το \( 2 \) έως το \( 12 \):

Στα συστήματα με βάση μεγαλύτερη του \( 12 \) είναι προφανές ότι το \( 12 \) παύει να είναι στρόγγυλος αριθμός.

Συνδυάζοντας τις τρεις προηγούμενες παρατηρήσεις μπορούμε να καταλήξουμε στο επόμενο θεώρημα, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί και ως ένας εναλλακτικός ορισμός των πρώτων αριθμών. 

Θεώρημα (Εναλλακτικός ορισμός των πρώτων αριθμών): Πρώτος είναι ένας φυσικός αριθμός \(p\), για τον οποίο ισχύει ότι η ελάχιστη αριθμητική βάση στην οποία είναι στρόγγυλος είναι το \(p\).

Απόδειξη:

Με βάση την Παρατήρηση 1 και 2, ο \(p\) στο αριθμητικό σύστημα με βάση \(p\) είναι στρόγγυλος. Από την Παρατήρηση 3 όμως εγκαθιδρύεται μια πλήρης αντιστοιχία ανάμεσα στους διαιρέτες του \(p\) και στις αριθμητικές βάσεις στις οποίες ο \(p\) είναι στρόγγυλος. Με άλλα λόγια, το \(d\) είναι διαιρέτης του \(p\) αν και μόνο αν ο \(p\) είναι στρόγγυλος στο \(d\)-δικό σύστημα. Με βάση τα παραπάνω, προχωράμε στην απόδειξη του θεωρήματος:

(\( \Rightarrow \)): Έστω \(p\) ένας πρώτος αριθμός. Από τον ορισμό των πρώτων, οι μόνοι διαιρέτες του \(p\) είναι το \(1\) και το \(p\). Εφόσον ο \(p\) δεν έχει διαιρέτες που να είναι μικρότεροι του \(p\) και ταυτόχρονα μεγαλύτεροι του \(1\), ο \(p\) δεν είναι στρόγγυλος σε καμία αριθμητική βάση \(d\) με \( 2 \le d \le p-1 \). Συνεπώς, η ελάχιστη αριθμητική βάση στην οποία ο \(p\) είναι στρόγγυλος είναι το \(p\).

(\( \Leftarrow \)): Αντιστρόφως. Έστω ότι η ελάχιστη αριθμητική βάση στην οποία ο \(p\) είναι στρόγγυλος είναι το \(p\). Ας υποθέσουμε ότι ο \(p\) δεν είναι πρώτος, άρα έχει έναν τουλάχιστον διαιρέτη \(d\) με \( 2 \le d \le p-1 \). Αυτό σημαίνει ότι ο \(p\) είναι στρόγγυλος στο αριθμητικό σύστημα με βάση \(d\). Συνεπώς, το \(p\) δεν είναι η ελάχιστη βάση στην οποία ο \(p\) είναι στρόγγυλος. Καταλήγουμε δηλαδή σε άτοπο, το οποίο σημαίνει ότι ο \(p\) είναι πρώτος αριθμός.

Κλείνοντας, παρέχουμε μερικές επιπλέον χρήσιμες παρατηρήσεις καθώς και μερικά παραδείγματα στα οποία γίνεται χρήση του θεωρήματος αυτού:

Παρατήρηση 4: Προφανώς, κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του \( 2 \) είναι στρόγγυλος στο δυαδικό σύστημα, συνεπώς δεν είναι πρώτος. 

Παρατήρηση 5: Η έκφραση κάθε αριθμού \( a \) σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα με βάση \( b \), τέτοια ώστε \( \frac{a}{2} < b < a \) είναι \( (1 (a-b))_b \). Για παράδειγμα, η έκφραση του \( a=13 \) στο \(8\)-δικό είναι \( 15 \), δεδομένου ότι \( a-b=5 \). Στην προσπάθεια να διαπιστώσουμε αν ένας αριθμός \( a \) είναι πρώτος, η παρατήρηση αυτή μας επιτρέπει να εξετάσουμε αν ο αριθμός αυτός είναι στρόγγυλος στα αριθμητικά συστήματα με βάση από \( 2 \) έως τον μεγαλύτερο φυσικό που είναι μικρότερος του \( \frac{a}{2} \). Φυσικά, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι ακόμη καλύτερα, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα της θεωρίας αριθμών, η διαδικασία εύρεσης μιας βάσης στην οποία ο \( a \) είναι στρόγγυλος μπορεί να περιοριστεί στο διάστημα φυσικών από \( 2 \) έως και \( \sqrt{a} \). 

Παράδειγμα 1: Έστω ο αριθμός \( 13 \) του δεκαδικού συστήματος. Οι εκφράσεις του \( 13 \) στα διάφορα συστήματα είναι οι εξής:

Είναι φανερό ότι για καμία βάση μικρότερη του \( 13 \), ο αριθμός \( 13 \) δεν είναι στρόγγυλος. Συνεπώς, με βάση τον Ορισμό 2, το \( 13 \) είναι πρώτος αριθμός.

Παράδειγμα 2: Έστω τέλος ο αριθμός \( 15 \) του δεκαδικού συστήματος. Οι εκφράσεις του \( 15 \) στα διάφορα συστήματα είναι οι εξής:

Παρατηρούμε ότι το \( 15 \) είναι στρόγγυλος στα αριθμητικά συστήματα με βάση το \( 3 \) και το \( 5 \), συνεπώς είναι σύνθετος αριθμός.


1 Το 1 εξαιρείται καθώς δεν νοείται αριθμητικό σύστημα με βάση το 1.

Saturday, 20 March 2021

Η τάξη μεγέθους και το μέγεθος της τάξης

Υπάρχει ένα σύντομο μαθηματικό ανέκδοτο που λέει το εξής1:

Ένας φαντάρος φυλάει σκοπιά στον λόχο του. Κάποια στιγμή διακρίνει στον ορίζοντα μια ένοπλη εχθρική ομάδα να πλησιάζει και τρέχει αμέσως να το αναφέρει στον Λοχαγό του:

«Κύριε Λοχαγέ, δεχόμαστε επίθεση από εχθρούς!»

«Πόσοι είναι;»

«Περίπου 1003!»

Είθισται στην καθημερινή μας πρακτική, όταν θέλουμε να εκτιμήσουμε την τάξη μεγέθους ενός συνόλου, να χρησιμοποιούμε τις δυνάμεις του \( 10 \). Έτσι, για παράδειγμα, μπορούμε χοντρικά να πούμε ότι το πλάτος της ανθρώπινης παλάμης είναι «περίπου» \( 10 \) εκατοστά. Ένα μεγάλο προτέρημα της τάξης μεγέθους είναι ότι μας επιτρέπει να κάνουμε γρήγορες συγκρίσεις ανάμεσα σε δύο ή περισσότερα σύνολα ή αντικείμενα. Αύξηση κατά μία τάξη μεγέθους σημαίνει πολλαπλασιασμό επί \( 10 \), ενώ μείωση κατά μία τάξη μεγέθους σημαίνει διαίρεση δια \( 10 \). Γενικά, αύξηση (μείωση) κατά \( n \) τάξεις μεγέθους σημαίνει πολλαπλασιασμό επί (διαίρεση δια) \( 10^n. \) Για παράδειγμα, η μέση ταχύτητα μετακίνησης από μία πόλη στην άλλη με αυτοκίνητο είναι \( 100 \, km/h \), ενώ αντίστοιχα η μέση ταχύτητα με κάρο είναι \( 10 \, km/h \). Αυτό σημαίνει ότι η εμφάνιση του αυτοκινήτου στον σύγχρονο κόσμο αύξησε τη μέση ταχύτητα μετακίνησης κατά μία τάξη μεγέθους, δηλαδή δεκαπλασίασε περίπου την ταχύτητα σε σχέση με εκείνη του παλαιού κόσμου.

Τυπικά, η τάξη μεγέθους ενός αριθμού \( a \) υπολογίζεται ως εξής: Εκφράζουμε τον αριθμό \( a \) στη μορφή: 

\( a = m \cdot 10^r \), όπου \( \frac{\sqrt{10}}{10} \le m < \sqrt{10} \). 

Η τάξη μεγέθους του \( a \) είναι τότε ίση με \( 10^r \).

Παρατηρούμε ότι η τάξη μεγέθους ενός αριθμού συνιστά μια ειδική μορφή στρογγυλοποίησης. Σε αντίθεση με τη συνήθη στρογγυλοποίηση, για τη μετάβαση από μία τάξη μεγέθους (\( 10^r \)) στην επόμενη (\( 10^{r+1} \)) χρησιμοποιείται ως κατώφλι η τιμή \( \sqrt{10} \cdot 10^r \approx 3.162 \cdot 10^r, \) που είναι ο γεωμετρικός μέσος2 των τιμών \( 10^r \) και \( 10^{r+1} \). Έτσι, η τάξη μεγέθους του \( 316 \) είναι \( 10^2=100 \), ενώ του \( 317 \) είναι \( 10^3=1000 \), καθώς \( 316 = 3.16 \cdot 10^2 \), ενώ \( 317 = 0.317 \cdot 10^3 \). Προσέξτε ότι δεν θα μπορούσαμε να γράψουμε \( 316 = 0.316 \cdot 10^3 \), διότι \( 0.316 < \frac{\sqrt{10}}{10} \). Επίσης, δεν θα μπορούσαμε να γράψουμε \( 317 = 3.17 \cdot 10^2 \), διότι \( \sqrt{10} < 3.17 \).

Ας επιστρέψουμε όμως στο ανέκδοτο. Αν και απεχθάνομαι την εξήγηση του λόγου για τον οποίο ένα ανέκδοτο είναι αστείο, χάριν του άρθρου θα πρέπει να κάνω μια εξαίρεση. Αυτό λοιπόν που κάνει αστείο το παραπάνω ανέκδοτο (ήδη αισθάνομαι τσακισμένος από αυτό που επιχειρώ να κάνω) είναι ότι ο φαντάρος προσπαθεί να δώσει την τάξη μεγέθους του πλήθους των εχθρών «στρογγυλοποιώντας» τον εκτιμώμενο αριθμό στη «μη-στρόγγυλη» τιμή \( 1003 \). Όμως, υπάρχει κάτι σημαντικό εδώ. Το ανέκδοτο είναι αστείο μόνο εφόσον σκεφτόμαστε στο δεκαδικό σύστημα και εξηγώ αμέσως τι εννοώ.

Ας μεταφέρουμε το σκηνικό με τον φαντάρο και τον Λοχαγό σε έναν υποτιθέμενο πλανήτη, στον οποίο κατοικεί ένας πολιτισμός που υιοθετεί το 17-δικό σύστημα αρίθμησης. Στο 17-δικό σύστημα ο αριθμός \( 1003 \) εκφράζεται ως \( 380 \), αφού εύκολα προκύπτει ότι 

\( (1003)_{17} = 3 \times 17^2 + 8 \times 17^1 + 0 \times 17^0 \) 

Σε αυτή την περίπτωση, ο διάλογος μετατρέπεται στον εξής:

«Κύριε Λοχαγέ, δεχόμαστε επίθεση από εχθρούς!»

«Πόσοι είναι;»

«Περίπου 380!»

Αναμφίβολα, στον πλανήτη αυτό, το ανέκδοτο χάνει λίγη από την αίγλη του.

Παρόμοια είναι η κατάσταση αν ο πολιτισμός υιοθετεί το 59-δικό σύστημα. Τότε, καθώς 

\( (1003)_{59} = 17 \times 59^1 + 0 \times 59^0 \) 

ο διάλογος μετατρέπεται στον εξής: 

Άλλη μια φορά τη σκηνή. Φώτα! Κάμερα! Πάμε:

«Κύριε Λοχαγέ, δεχόμαστε επίθεση από εχθρούς!»

«Πόσοι είναι;»

«Περίπου 170!»3

Τέλος αν ο πολιτισμός αυτός υιοθετεί το 1003-δικό σύστημα, τότε ο διάλογος γίνεται ο εξής: 

Πάμε μια τελευταία φορά το γύρισμα:

«Κύριε Λοχαγέ, δεχόμαστε επίθεση από εχθρούς!»

«Πόσοι είναι;»

«Περίπου 10!»

Φυσικά,

\( (1003)_{1003} = 1 \times 1003^1 + 0 \times 1003^0 \)

και το ανέκδοτο παύει πλέον να είναι ανέκδοτο. 

Από τα παραπάνω διαπιστώνουμε μια άμεση εξάρτηση της αίσθησης του χιούμορ από το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε! Η πιο σημαντική διαπίστωση όμως είναι ότι η ίδια η έννοια της τάξης μεγέθους εξαρτάται τελικά άρρηκτα από το αριθμητικό σύστημα. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι αριθμοί \( 10 \) και \( 100 \) διαφέρουν μία τάξη μεγέθους στο 10-δικό σύστημα. Οι ίδιοι αριθμοί όμως στο δυαδικό σύστημα μεταφράζονται σε \( (1010)_2 \) και \( (1100100)_2 \), που προσεγγιστικά είναι οι \( (1000)_2 \) και \( (10000000)_2 \), οι οποίοι διαφέρουν τέσσερις τάξεις μεγέθους! Στην καθημερινότητά μας συνεπώς κάθε φορά που μιλάμε για την τάξη μεγέθους ενός αντικειμένου, ουσιαστικά κάνουμε τη σιωπηρή υπόθεση ότι αναφερόμαστε στο προσφιλές σε όλους μας 10-δικό σύστημα. 

Είμαστε πλέον σε θέση να δώσουμε τον γενικό ορισμό της τάξης μεγέθους για οποιαδήποτε βάση \( b \). 

Αν εκφράσουμε έναν αριθμό \( a \) στη μορφή:

\( a = m \cdot b^r \), όπου \( \frac{\sqrt{b}}{b} \le m < \sqrt{b} \)

τότε η τάξη μεγέθους του \( a \) ως προς τη βάση \( b \) είναι ίση με \( b^r \).

Για παράδειγμα, στην περίπτωση του δυαδικού συστήματος, ήτοι για \( b=2 \), έχουμε \( \sqrt{2} \approx (1.01101)_2 \), συνεπώς ο αριθμός \( (10110)_2 \) που αντιστοιχεί με το \( 22 \) στο 10-δικό, έχει τάξη μεγέθους \( 4 \), αφού \( (10110)_2 = (1.0110)_2 \cdot 2^4 \), ενώ ο αριθμός \( (10111)_2 \) που αντιστοιχεί με το \( 23 \) στο 10-δικό, έχει τάξη μεγέθους \( 5 \), αφού \( (10111)_2 = (0.10111)_2 \cdot 2^5 \). 

Στον επόμενο πίνακα παραθέτω ενδεικτικά παραδείγματα της «δεκαδικής» τάξης μεγέθους διαφόρων αντικειμένων και αποστάσεων στο Σύμπαν, διατρέχοντας όλο το φάσμα των μεγεθών, από τον μικρόκοσμο στον μακρόκοσμο.

Η τάξη μεγέθους διαφόρων αντικειμένων και αποστάσεων στο Σύμπαν.

Κλείνοντας, θα ήθελα να διηγηθώ μια μικρή ιστοριούλα από τα σχολικά μου χρόνια. Σε μία ονειροπόληση του μυαλού μου, κατά τη διάρκεια ενός μαθήματος το οποίο προφανώς δεν κατάφερε να κερδίσει την προσοχή μου, αναρωτήθηκα πόσο να ζυγίζει άραγε ο αέρας που βρίσκεται μέσα σε μία άδεια τάξη. Φυσικά, δεν με ενδιέφερε να μάθω το ακριβές βάρος του αέρα, αλλά να εκτιμήσω την τάξη μεγέθους του. Είναι της τάξης των γραμμαρίων, του ενός κιλού, των δέκα κιλών, των εκατό κιλών ή μήπως του ενός τόνου; Επειδή ασφαλώς δεν θυμάμαι τις πράξεις που είχα κάνει τότε, θα δοκιμάσω να επαναλάβω εκ νέου την εκτίμησή μου:

Έστω ότι οι διαστάσεις μιας συνηθισμένης τάξης είναι \( 8 \, m \times 8 \, m \times 3 \, m \). Ο όγκος αυτής της τάξης είναι τότε \( 192 \, m^3 \). Χάριν ευκολίας και δεδομένου ότι κάνουμε χονδρικές υποθέσεις ας στρογγυλοποιήσουμε αυτόν τον όγκο στα \( 200 \, m^3 \) ή ισοδύναμα \( 200000 \, lt \). Η γραμμομοριακή μάζα του ατμοσφαιρικού αέρα σε ιδανικές συνθήκες (STP4) εκτιμάται στα \( 28,96 \, g/mole \), δηλαδή περίπου \( 30 \, g/mole \), ενώ ο γραμμομοριακός του όγκος είναι \( 22,4 \, lt/mole \), δηλαδή περίπου \( 20 \, lt/mole \). Με απλά λόγια, ένα mole ατμοσφαιρικού αέρα ζυγίζει \( 30 \, g \) και καταλαμβάνει \( 20 \, lt \). Από αυτά τα δεδομένα προκύπτει ότι η τάξη περιέχει \( 200000 \, lt : 20 \, lt/mole = 10000 \, mole \) αέρα, ο οποίος ζυγίζει \( 10000 \, mole \cdot 30 \, g/mole = 300000 \, g = 300 \, Kg = 3 \cdot 10^2 \, Kg \). Διόλου αμελητέο! Βέβαια, αξίζει να σημειώσουμε ότι αν είχε έρθει αντιμέτωπος με την ερώτηση «πόσο ζυγίζει ο αέρας σε μία άδεια τάξη» ο Δημόκριτος, η απάντηση που θα έδινε θα ήταν μάλλον «μηδέν», αφού σε μία άδεια τάξη δεν υπάρχει αέρας!



1 Το ανέκδοτο αυτό το άκουσα για πρώτη φορά από τον καλό μου φίλο Δημήτρη Γκαρίπη.

2 Ο Γεωμετρικός Μέσος δύο αριθμών \( a \) και \( b \) είναι ο \( \sqrt{a \cdot b} \).

3 Για την ακρίβεια, η ορθή έκφραση είναι \( \theta 0 \), αφού το \( 17 \) στο 59-δικό σύστημα συμβατικά συμβολίζεται με \( \theta \). Ωστόσο, στο κείμενο, χάριν ευφωνίας χρησιμοποιείται το κατά τα άλλα λανθασμένο \( 170 \).

4 Standard Temperature and Pressure (STP) είναι οι πρότυπες συνθήκες για τη θερμοκρασία T και την πίεση P και ορίζονται ως εξής: Τ: \( 0^{\circ} \)C, P: \( 0,98692 \, atm \).

Sunday, 3 January 2021

Οι προπαίδειες

Από μικρή ηλικία μαθαίνουμε την προπαίδεια, τη «μία και μοναδική» προπαίδεια. Για την προπαίδεια έχουν γραφτεί χαριτωμένα παιδικά ποιηματάκια και τραγουδάκια, έχουν δημιουργηθεί όμορφες και εύπεπτες εικόνες, έχουν επινοηθεί έξυπνα τεχνάσματα που χρησιμοποιούν διάφορα μέσα, όπως για παράδειγμα τα δάχτυλα των χεριών, τεμνόμενες γραμμές, κτλ. Όλα αυτά με σκοπό να μάθουν τα παιδιά εύκολα και γρήγορα αυτό το πολύτιμο εργαλείο που θα τους επιτρέψει αργότερα να προχωρήσουν στα μαθηματικά. Ένα πράγμα όμως που άθελά μας παραβλέπουμε είναι ότι η προπαίδεια δεν είναι τελικά «μία και μοναδική». Απεναντίας, υπάρχουν τόσες προπαίδειες, όσοι είναι και οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή άπειρες! Το ότι μαθαίνουμε μόνο μία, οφείλεται αποκλειστικά στο γεγονός ότι εντελώς αυθαίρετα, το ανθρώπινο είδος, ανάμεσα από τα άπειρα αριθμητικά συστήματα, καθένα από τα οποία έχει ως βάση έναν φυσικό αριθμό, έχει επιλέξει να πορευτεί με το δεκαδικό σύστημα, το σύστημα δηλαδή που έχει ως βάση το δέκα.

Για τη διαδικασία εξαγωγής της προπαίδειας με οποιαδήποτε αριθμητική βάση είναι απαραίτητο το επόμενο Θεώρημα και ο επόμενος Ορισμός της Θεωρίας Αριθμών: 

Θεώρημα: Αν b είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1, τότε κάθε φυσικός αριθμός n>0 έχει μια μονοσήμαντη παράσταση της μορφής 

\[n = n_0 + n_1 b + n_2 b^2 + \dots + n_m b^m\]

όπου \( n_m \ne 0 \) και \( 0 \le n_k < b \) για \( 0 \le k \le m \)

Ορισμός: Η έκφραση του αριθμού n στο b-δικό αριθμητικό σύστημα είναι:

\[n = (n_m n_{m-1} \dots n_1 n_0)_b\]

Για παράδειγμα ο αριθμος 24 στο 7-δικό σύστημα μεταφράζεται ως εξής: 

\[(24)_7 = 2 \times 7^1 + 4 \times 7^0=2 \times 7 + 4\]

όπως φαίνεται εύκολα αν στις σχέσεις του Θεωρήματος και του Ορισμού θέσουμε \(b=7, m=1, n_0=4, n_1=2\). Αξίζει να σημειωθεί ότι στο δεκαδικό σύστημα, χάριν απλότητας παραλείπεται η βάση, ώστε αντί για \( (n_m n_{m-1} \dots n_1 n_0)_{10} \) γράφουμε απλώς \( n_m n_{m-1} \dots n_1 n_0 \). Έτσι για παράδειγμα, αντί για \( (24)_{10} \) γράφουμε απλώς \( 24 \).

Έστω τώρα ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το γινόμενο \( 3 \times 6 \) στο 7-δικό σύστημα. Ένας τρόπος να βρούμε το αποτέλεσμα είναι με αναγωγή στο 10-δικό σύστημα:  

\[ 3 \times 6 = 18 = 14 + 4 = 2 \times 7 + 4 = 2 \times 7^1 + 4 \times 7^0 = (24)_7 \]

Ένας πιο στοιχειώδης τρόπος, που είναι ανεξάρτητος από το 10-δικό σύστημα είναι ο εξής:

\[ 3 \times 6 = 6 + 6 + 6 = 6 + (1+5) + 6 = (6+1)+5+6=10+5+6= \]

\[ 10+5+(2+4) = 10+(5+2)+4=10+10+4=2 \times 10+4=20+4=24 \]

Άλλωστε, ακόμη κι αν ίσως δεν το έχουμε συνειδητοποιήσει, αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίον γίνεται ο πολλαπλασιασμός και στο 10-δικό σύστημα.

Σε κάθε περίπτωση, βρίσκουμε ότι στο 7-δικό σύστημα \( 3 \times 6 = 24 \). Όσο αυθαίρετο κι αν φαίνεται αυτό το αποτέλεσμα, ας μην ξεχνάμε ότι είναι εξίσου αυθαίρετο με το γεγονός ότι \( 3 \times 6 = 18 \) στο 10-δικό σύστημα. Η «φυσικότητα» του τελευταίου έγκειται καθαρά και μόνο στην τεράστια εξοικείωση που έχουμε με το 10-δικό σύστημα.

Ακολουθώντας την παραπάνω λογική μπορούμε να συμπληρώσουμε την προπαίδεια για όποια βάση επιθυμούμε. Παρακάτω παρουσιάζονται οι προπαίδειες που αντιστοιχούν στα αριθμητικά συστήματα με βάση από το 1 ως το 10.

2-δικό σύστημα.

3-δικό σύστημα.

4-δικό σύστημα.

5-δικό σύστημα.

6-δικό σύστημα.

7-δικό σύστημα.

8-δικό σύστημα.

9-δικό σύστημα.

10-δικό σύστημα.

Φυσικά, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, η λίστα δεν τελειώνει εδώ και θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε με το 11-δικό, το 12-δικό κτλ. Η μόνη διαφορά με τα συστήματα που έχουν βάση μεγαλύτερη του 10 είναι ότι, σε σημειογραφικό επίπεδο, λόγω της εξάντλησης των δέκα γνωστών μας ψηφίων, πρέπει να επινοήσουμε καινούρια σύμβολα για το δέκα, το έντεκα, το δώδεκα, κ.ο.κ. Έτσι, για παράδειγμα, το 10 δεν μπορεί να έχει την έννοια του δέκα στο εντεκαδικό σύστημα, καθώς \( 10 = 1 \times 11 + 0 \), που με όρους δεκαδικού συστήματος είναι το 11. Για αυτό το λόγο, στο εντεκαδικό σύστημα, για το δέκα χρησιμοποιούμε κάποιο νέο σύμβολο, διαφορετικό από τα 0, 1, 2, ..., 9. Είθισται, ως δεξαμενή άντλησης νέων συμβόλων να χρησιμοποιείται το σύνολο των γραμμάτων του αλφαβήτου. Έτσι, για το 10 στο εντεκαδικό σύστημα, είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί το «α», για το 11 στο δωδεκαδικό σύστημα το «β», κ.ο.κ. Ασφαλώς είναι φανερό ότι κάποια στιγμή εξαντλούνται τα γράμματα του αλφαβήτου. Στην περίπτωση αυτή είναι αναπόφευκτο να επινοηθούν νέα σύμβολα. Ωστόσο, συστήματα με τόσο μεγάλη βάση δεν έχουν καμία πρακτική αξία για εμάς. Ενδεικτικά, παρακάτω παρουσιάζεται και η προπαίδεια του 11-δικού συστήματος, όπου το δέκα συμβολίζεται με α.

11-δικό σύστημα.

Με βάση τους παραπάνω πίνακες, αξίζει να κάνουμε μερικές χρήσιμες παρατηρήσεις. 
  1. Αρχικά, μπορεί εύκολα κανείς να καταλήξει στο εσφαλμένο συμπέρασμα ότι υπάρχει τυπογραφικό λάθος, καθώς σε όλους τους πίνακες γράφει επάνω αριστερά 10-δικό. Στην πραγματικότητα όμως δεν υπάρχει κανένα τυπογραφικό λάθος. Το μυστικό είναι ότι σε κάθε σύστημα η βάση εκφράζεται με το 10. Το κάθε σύστημα στην ουσία διαφέρει μόνο στο πλήθος των ψηφίων που χρησιμοποιεί.
  2. Σε όλους τους πίνακες, η δεύτερη γραμμή και η δεύτερη στήλη περιέχει μόνο μηδενικά. Αυτό είναι ασφαλώς συνεπές με το ότι οποιοσδήποτε πολλαπλασιαμός με το 0 μας δίνει 0, ανεξάρτητα από την αριθμητική βάση.
  3. Σε όλους τους πίνακες, η τρίτη γραμμή και η τρίτη στήλη ταυτίζονται με την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη, αντίστοιχα. Αυτό, όπως είναι αναμενόμενο, οφείλεται στο ότι το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, που με απλούστερα λόγια σημαίνει ότι όποιος αριθμός κι αν πολλαπλασιαστεί με το 1, παραμένει αναλλοίωτος. 
  4. Σε όλους τους πίνακες, η τελευταία γραμμή και η τελευταία στήλη έχουν την ίδια μορφή: 0, 10, 20, ..., 100. Η ιδιότητα αυτή είναι επίσης αναμενόμενη αρκεί να αναλογιστεί κανείς ότι όποιος αριθμός n κι αν πολλαπλασιαστεί με την εκάστοτε βάση b=10, το αποτέλεσμα θα είναι \( n \times 10 = (n 0)_b \), όπως προκύπτει από το συνδυασμό του Θεωρήματος, του Ορισμού και της Παρατήρησης 1.
  5. Όλοι οι πίνακες είναι συμμετρικοί ως προς τη κύρια διαγώνιο που ξεκινάει από την επάνω αριστερή γωνία και καταλήγει στην κάτω δεξιά γωνία. Αυτό είναι συνέπεια της αντιμεταθετικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού: \( k \times n = n \times k \).
Αν συγκρίνουμε τώρα την προπαίδεια στο δυαδικό με την προπαίδεια στο δεκαδικό σύστημα είναι ολοφάνερο ότι η πρώτη είναι κατά πολύ απλούστερη, αφού οι πράξεις που πρέπει να αποστηθίσουμε είναι μόνο 9, ενώ στη δεύτερη 121. Φανταστείτε λοιπόν έναν κόσμο στον οποίο οι άνθρωποι έχουν υιοθετήσει το δυαδικό αντί για το δεκαδικό σύστημα. Σε έναν τέτοιο κόσμο τα παιδιά θα ήταν 10 φορές πιο ευτυχισμένα...

Friday, 4 December 2020

Όταν οι πόρτες κλείνουν: Xρόνος και Yπαρξιακή Aπομόνωση

Στον Άρη Κωστόπουλο

Από την ομιλία μου στην παρουσίαση του βιβλίου
«Όταν οι πόρτες κλείνουν, ένα ταξίδι στην ύπαρξη»


Το άρθρο αυτό είναι, με μερικές τροποποιήσεις, η ομιλία που έδωσα στην παρουσίαση1 του καινούργιου βιβλίου του καλού μου φίλου Άρη Κωστόπουλου με τίτλο «Όταν οι πόρτες κλείνουν», από τις εκδόσεις Οσελότος. Ο κεντρικός άξονας του βιβλίου είναι η Κατάθλιψη, την οποία ο συγγραφέας καταφέρνει να παρουσιάσει με ένα γλαφυρό τρόπο, μέσα από την προσωπική του εμπειρία, από την οπτική γωνία τόσο του θεραπευόμενου, όσο και του θεραπευτή. Παρά τον ειδικό του χαρακτήρα, το βιβλίο απευθύνεται σε όλους, καθώς με αφορμή την Κατάθλιψη, θέτει φιλοσοφικούς προβληματισμούς που αφορούν στην ίδια μας την ύπαρξη, όπως άλλωστε ομολογεί και ο υπότιτλος του βιβλίου «Ένα ταξίδι στην ύπαρξη».

Στο άρθρο αυτό, χωρίς να είμαι ειδικός σε θέματα Ψυχολογίας, θα προσπαθήσω σε Φιλοσοφικό επίπεδο, με μία άλλοτε Κοσμολογική και άλλοτε Οντολογική προσέγγιση να εκθέσω κάποιες υπαρξιακές αναζητήσεις που απασχολούν πολλούς από εμάς. Πιο συγκεκριμένα, με αφορμή αποσπάσματα από το βιβλίο, θα παρουσιάσω μέσα από το υποκειμενικό μου πρίσμα τον τρόπο που αντιλαμβάνομαι και ενδεχομένως βιώνω εγώ την Κατάθλιψη, που απορρέει μέσα από δύο πολύ σημαντικά ζητήματα, τον Χρόνο και την Υπαρξιακή Απομόνωση. Φυσικά, θα πρέπει να τονίσω ότι η αναφορά στην Κατάθλιψη γίνεται με την ευρύτερη έννοια του όρου και όχι με την αυστηρά επιστημονική. Ο σκοπός του άρθρου είναι περισσότερο να θέσει προβληματισμούς και να προσφέρει τροφή για περαιτέρω σκέψη γύρω από την Κατάθλιψη, παρά να δώσει συγκεκριμένες απαντήσεις στα ζητήματα αυτά.

Χρόνος 

Τι είναι ο Χρόνος; Είναι η ένδειξη που βλέπουμε στο καντράν του ρολογιού μας ή μήπως είναι οι κόκκοι άμμου που πέφτουν από τη μία μεριά της κλεψύδρας στην άλλη; Τον επινοήσαμε εμείς ή μήπως υπάρχει ανεξάρτητα από τον άνθρωπο; Το Μέλλον υπάρχει ήδη κάπου; Πού έχει πάει το Παρελθόν; Και τι είναι τελοσπάντων το Παρόν; Δυσεπίλυτα προβλήματα που αναμφίβολα βασανίζουν την ανθρώπινη σκέψη. Ο μεγάλος θεωρητικός φυσικός John Wheeler είχε πει «Χρόνος είναι ο τρόπος με τον οποίο η Φύση εμποδίζει να συμβούν τα πάντα την ίδια στιγμή». Οι ρήσεις για τον Χρόνο είναι αρκετές για να γεμίσουν πολλές σελίδες από μόνες τους.

Υπάρχουν διάφορα είδη Χρόνου. Για παράδειγμα, υπάρχει ο Φυσικός Χρόνος, ο οποίος νοείται ως ένα από τα τρία θεμελιώδη μεγέθη στη Φυσική, τα άλλα δύο είναι ο Χώρος και η Μάζα. Το είδος του Χρόνου που κυρίως θα μας απασχολήσει σε αυτό το άρθρο είναι ο Ψυχολογικός ή Υπαρξιακός, ας μου επιτραπεί ο όρος, Χρόνος, ο Χρόνος δηλαδή όπως τον αντιλαμβάνεται και τον βιώνει ο Άνθρωπος. 

Ο συγγραφέας στο βιβλίο κάνει αναφορά στην έννοια του χρόνου, είτε άμεση είτε έμμεση, περίπου 80 φορές! Αυτό, πέρα από κάθε αμφιβολία, δείχνει τον τεράστιο ρόλο που διαδραματίζει ο Χρόνος στην Κατάθλιψη. 

«Τα δευτερόλεπτα που πέρασαν μέχρι να πατήσει το κουδούνι τού φάνηκαν αιώνας», αναφέρει σε κάποιο σημείο. «Καθώς περπατούσε αργά, ο χρόνος φαινόταν να είχε σταματήσει», λέει κάπου αλλού. Τα αποσπάσματα αυτά εγείρουν τον εξής προβληματισμό, που συνδέεται με την Κατάθλιψη: Είναι σταθερός ο ρυθμός με τον οποίο κυλάει ο Χρόνος; Είναι ο ρυθμός αυτός ανεξάρτητος από τον ψυχισμό του Ανθρώπου; Στον χώρο των Φυσικών κυκλοφορεί ο εξής αστεϊσμός: «Η ταχύτητα του Χρόνου είναι ένα δευτερόλεπτο ανά δευτερόλεπτο». Η αυτοαναφορά αυτή θέλει να δείξει το αδιέξοδο στην προσπάθεια να ορίσει κανείς το ρυθμό του Χρόνου. Ο Albert Einstein όταν κάποτε του ζητήσανε να εξηγήσει τη σχετικότητα του Χρόνου με απλά λόγια είχε πει: «Αν ακουμπήσεις με το χέρι σου μια αναμμένη σόμπα για ένα λεπτό θα σου φανεί σαν μία ώρα. Αν καθήσεις δίπλα σε μία όμορφη γυναίκα για μία ώρα θα σου φανεί σαν ένα λεπτό». Είναι σαφές ότι η έννοια του Χρόνου δεν είναι οικουμενική. Όλοι έχουμε νιώσει το Χρόνο να κυλάει άλλοτε πιο γρήγορα και άλλοτε πιο αργά. Ο μεγάλος προσωκρατικός φιλόσοφος Πρωταγόρας είχε πει κάποτε τη ρήση: «Πάντων χρημάτων μέτρον άνθρωπος», δηλαδή ο άνθρωπος είναι το μέτρο των πάντων. Άρα και του Χρόνου.

«Πόσο αστεία έννοια ο χρόνος. Αρχίζει με αργά βήματα και στη συνέχεια επιταχύνει. Χάνεται σε στιγμές, ακολουθεί διαφορετικό ρυθμό πότε σε μία περίπτωση και πότε σε άλλη». Είναι διαδεδομένη η πεποίθηση ότι καθώς μεγαλώνουμε, αισθανόμαστε ότι ο χρόνος κυλάει ολοένα και γρηγορότερα. Είναι αυτό πραγματικότητα ή ψευδαίσθηση; Το επόμενο παράδειγμα είναι προς αυτή την κατεύθυνση. 

Είναι το διάστημα μίας ημέρας μεγάλο; Έστω ότι γεννηθήκατε μόλις χθες και άρα η ηλικία σας είναι μίας ημέρας. Την επόμενη μέρα θα έχετε γίνει δύο ημερών, ο συνολικός χρόνος της ζωής σας δηλαδή θα έχει διπλασιαστεί. Όσο είχατε ζήσει μέχρι σήμερα, άλλο τόσο θα έχετε ζήσει μέχρι αύριο! Έστω τώρα ότι είστε 36 ετών. Αυτό χονδρικά ισοδυναμεί με 13140 περίπου μέρες. Αύριο συνεπώς θα είστε 13141 ημέρας, μία αύξηση του χρόνου ζωής σας της τάξεως του 0,008%. Με βάση την ηλικίας σας, που καθορίζει και την εμπειρία σας στη ζωή, στην πρώτη περίπτωση, η διάρκεια μίας μέρας είναι ένα εξαιρετικά μεγάλο χρονικό διάστημα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση, για εσάς τον ίδιο, η διάρκεια μίας μέρας γίνεται ένα εντελώς αμελητέο χρονικό διάστημα. Πράγματι λοιπόν, με αυτόν τον τρόπο φαίνεται σαν ο χρόνος να επιταχύνεται όσο μεγαλώνουμε. 

Στο σημείο αυτό, νιώθω την ανάγκη να διηγηθώ μια προσωπική μου ιστορία από τα παιδικά μου χρόνια. Στην ηλικία περίπου των 6 ετών, αφού δηλαδή άρχισα να αντιλαμβάνομαι την έννοια του χρόνου, είχαμε στο σπίτι μας ένα στερεοφωνικό συγκρότημα, που έπαιζε κασέτες, με μαγνητική ταινία. Θυμάμαι λοιπόν ότι κάθε κασέτα, στο οπισθώφυλλό της είχε συγκεντρωμένους τους τίτλους των τραγουδιών και τη διάρκειά τους. Ένα μέσο κομμάτι είχε διάρκεια περίπου 3 λεπτά, και το χρονικό αυτό διάστημα μου φαινόταν ασύλληπτα μεγάλο. Να ακούσω για ολόκληρα 3 λεπτά ένα τραγούδι... Αδιανόητο! Εγώ, μέσα σε 3 λεπτά θα μπορούσα να αραδιάσω τις μισές από τις λέξεις που γνώριζα. Ο μπαμπάς μου θυμάμαι μου έλεγε τότε με μεγάλη σοφία «είσαι μικρός, γι αυτό σου φαίνεται μεγάλο το τραγούδι»! Πλέον, στα 36 μου, μπορώ και ακούω μεμιάς ολόκληρες συμφωνίες της μίας ώρας και πραγματικά δεν καταλαβαίνω πώς περνάει ο χρόνος.

Σε κάποιο άλλο σημείο ο συγγραφέας αναφέρει: «Τον τρόμαζε η σκέψη ότι κάθε δευτερόλεπτο είναι μοναδικό, κάθε δευτερόλεπτο που περνάει χάνεται στην άβυσσο του παρελθόντος». Γιατί ο Χρόνος κυλάει μόνο προς μία κατεύθυνση; Γιατί δεν μας δίνει τη δυνατότητα να επαναφέρουμε κάποια πράγματα στην προτέρα τους κατάσταση, ώστε να διορθώσουμε κάποια κακώς κείμενα και να βελτιώσουμε τη ζωή μας; Ίσως όμως το σημαντικότερο ερώτημα είναι αν ήταν δυνατή η αντιστροφή του χρόνου, θα μας βοηθούσε να απαλλαγούμε από τα αισθήματα της Κατάθλιψης ή μήπως απεναντίας σε μια αέναη ταλάντωση του χρόνου μία μπρος και μία πίσω η ζωή θα στερούνταν κάθε ψήγμα νοήματος, βυθίζοντάς μας ακόμη βαθύτερα στην Κατάθλιψη;

Αναμφίβολα, ένα μεγάλο ποσοστό του υπαρξιακού μας άγχους προέρχεται από τη γνώση της μοναδικότητας της κάθε στιγμής της ζωής μας. Επίσης, δεν θα ήταν υπερβολή να πούμε ότι όλη η Ηθική μας φιλτράρεται, αν και συνήθως ασυναίσθητα, από αυτή τη συνθήκη της μοναδικότητας. Θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον να σκεφτούμε πόσο διαφορετική θα ήταν η Ηθική μας αν είχαμε δεύτερη ευκαιρία. Και ακόμη μεγαλύτερο ενδιαφέρον ίσως θα είχε να σκεφτούμε την επίδραση που θα είχε στη στάση μας απέναντι στη ζωή μια ενδεχόμενη διηνεκής επανάληψη των αποφάσεων που παίρνουμε και των ενεργειών που κάνουμε στην τρέχουσα ζωή μας. Όλα αυτά τα ζητήματα έχουν ήδη απασχολίσει μερικούς από τους μεγαλύτερους Φιλόσοφους, όπως για παράδειγμα τον Νίτσε και σίγουρα αξίζει να έρθει κανείς σε επαφή με αυτά τα ζητήματα, αλλά και με τις διάφορες θέσεις, είτε συμφωνεί μαζί τους είτε όχι. 

Προσωπικά, τολμώ να πω ότι ο Χρόνος με βασανίζει περισσότερο από οτιδήποτε άλλο στη ζωή μου. Η τρομακτική ιδέα ότι δεν μας δίνεται δεύτερη ευκαιρία και ότι οδεύουμε με ιλλιγιώδη επιτάχυνση πρόσω ολοταχώς προς το Θάνατο, δεν με αφήνει σε ησυχία ούτε μία μέρα.

Υπαρξιακή Απομόνωση 

Εκτός από τον Χρονο όμως με βασανίζει επίσης και η Υπαρξιακή Απομόνωση. Η Υπαρξιακή Απομόνωση μπορεί να αφορά στον άνθρωπο ως άτομο, αλλά μπορεί να αφορά και στο ανθρώπινο είδος στο σύνολό του. Φυσικά και στις δύο περιπτώσεις, ο αποδέκτης των συναισθημάτων της Κατάθλιψης είναι το άτομο.

«Αυτό που μας φοβίζει, αυτό που κυριαρχεί μέσα μας, είναι ο φόβος της ανυπαρξίας», λέει σε κάποιο σημείο ο συγγραφέας. Αν και ταυτίζομαι με αυτή την άποψη, το να ισχυρίζεται κανείς ότι φοβάται την ανυπαρξία μήπως είναι μια εριστική δήλωση, καθώς προϋποθέτει εξ αρχής την παραδοχή της ύπαρξης; Ύπαρξη και ανυπαρξία είναι ένα ζευγάρι αλληλένδετων εννοιών, που η μία επικαθορίζει την άλλη. Έχει νόημα συνεπώς να μιλάμε για την ύπαρξη; «Το σκοτάδι της ύπαρξης απλά έρχεται να συμπληρώσει το σκοτάδι της ανυπαρξίας», αναφέρει εύστοχα σε κάποιο άλλο σημείο, σαν να άκουσε τη σκέψη μου.

Η ιδέα της έλλειψης υπόστασης της ύπαρξης, στα δικά μου αυτιά ακούγεται άκρως τρομακτική. Ασφαλώς η ιδέα αυτή δεν είναι δική μου, έχει προβληματίσει πολλές σπουδαίες προσωπικότητες ανά τους αιώνες. Ο Καρτέσιος για παράδειγμα είχε εισηγηθεί την αρχή της αμφισβήτησης των πάντων. Σύμφωνα με την αρχή αυτή, πρέπει να γίνουμε τόσο αυστηροί, ώστε να μην δεχόμαστε ως αληθή καμία πρόταση, παρά μόνο αν αυτή είναι αυταπόδεικτη. Βασισμένος σε αυτήν την αρχή, με τη βοήθεια κάποιων λογικών επαγωγών, κατέληξε στην περίφημη φράση: «Cogito, ergo sum», δηλαδή «Σκέφτομαι, άρα υπάρχω». Βαθύς υπαρξιακός στοχασμός που επηρέασε την μετέπειτα φιλοσοφία. 

Ας πάμε λοιπόν με το ρεύμα του Καρτέσιου και ας απαντήσουμε στο δίλημμα της ύπαρξης θετικά. Έστω λοιπόν ότι υπάρχουμε! Πού βρίσκεται όμως τότε το σύνορο μεταξύ ύπαρξης και ανυπαρξίας; Είναι ο θάνατος αυτό το σύνορο; Παύει η ύπαρξη μετά το θάνατο; «Μια μέρα όλοι θα πεθάνουμε και μετά από λίγες γενιές δεν θα υπάρχουμε ούτε ως ανάμνηση. Πάντα προσπαθούμε να ανακαλύψουμε τρόπους και σκοπούς, ώστε να δώσουμε λίγο νόημα στη μαύρη κατά τα άλλα ύπαρξη», λέει ο συγγραφέας, βάζοντάς μας να αναρωτηθούμε αν η μνημόνευση ενός ανθρώπου μετά το θάνατό του συνιστά συνέχιση της ύπαρξής του και αν έχει νόημα να παλεύουμε για να κερδίσουμε τη διαιώνιση της ύπαρξής μας μέσω της υστεροφημίας. Δεν τολμώ μάλιστα να αναφερθώ στο ζήτημα της μεταθάνατον ζωής, καθώς το ζήτημα αυτό είναι ένα ξεχωριστό άρθρο από μόνο του. Τα ερωτήματα είναι ατελείωτα και δυστυχώς, στον αγώνα της αναζήτησης απαντήσεων σε όλους αυτούς τους υπαρξιακούς προβληματισμούς, όπως το είχε θέσει και ο Karl Jaspers, είμαστε απολύτως μόνοι μας.

Πέρα όμως από την «ατομική» μας μοναξιά, υπάρχει και η μοναξιά που «νιώθουμε» καθολικά σαν είδος. Ένα είδος που πασχίζει με κάθε τρόπο να παγιώσει την ύπαρξή του στον Χρόνο και τον Χώρο. Στον Χρόνο μέσω, για παράδειγμα, της φυσικής διαδικασίας της αναπαραγωγής καθώς και της παρασκευής φαρμάκων με απώτερο στόχο, ας μην το κρύβουμε, την εύρεση του ελιξιρίου της ζωής. Στον Χώρο μέσω της αποδήμησής του σε κάθε γωνιά του πλανήτη, αλλά πλέον και μέσω της μετοίκισής του σε άλλους πλανήτες. Είναι αυτό όμως αρκετό για να εξασφαλίσει το ανθρώπινο είδος την ύπαρξή του ανεξάρτητα από το Χρόνο και το Χώρο; Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, ίσως πρέπει να ρωτήσουμε τους εξωγήινους... 

Ο μεγάλος φυσικός Enrico Fermi είχε διατυπώσει μία θεωρία, γνωστή και ως «Παράδοξο του Fermi», η οποία ισχυρίζεται ότι υπάρχει αντίφαση στην έλλειψη στοιχείων για εξωγήινη ζωή, δεδομένης της αρκετά μεγάλης πιθανότητας2 ύπαρξης τέτοιας ζωής που προκύπτει από εκτιμήσεις με βάση την απεραντοσύνη του σύμπαντος και τον εξαιρετικά μακρύ βίο του, που εκτιμάται στα 14 σχεδόν δισεκατομμύρια έτη. Η πιθανότητα αυτή μάλιστα ενισχύεται χάρις στην ανακάλυψη περιοχών του σύμπαντος που παρουσιάζουν εντυπωσιακή ομοιότητα με το ηλιακό μας σύστημα και τον πλανήτη μας και οι οποίες δυνητικά θα μπορούσαν να φιλοξενήσουν μορφές ζωής σαν τη δική μας. 

Το γεγονός ότι παρόλα αυτά δεν έχουμε ανακαλύψει, αλλά ούτε μας έχει επισκεφτεί εξωγήινη νοήμων ζωή, ίσως δηλώνει τη μοναδικότητά μας (ή μήπως απομόνωση ή μήπως μοναξιά; ρωτώ ρητορικά). Η άποψη αυτή δίνει τροφή στην λεγόμενη Ανθρωπική Αρχή, η οποία χονδρικά ισχυρίζεται ότι το σύμπαν είναι αυτό που είναι ακριβώς για να υπάρχει το ανθρώπινο είδος. Αυτό κατά τη γνώμη μου αποτελεί μια εντελώς ανθρωποκεντρική - εγωκεντρική θεώρηση που προσπαθεί απεγνωσμένα να δώσει νόημα στην ύπαρξή μας μέσω του επιχειρήματος του ευφυούς σχεδιασμού, ενισχύοντας με αυτόν τον τρόπο την πεποίθηση ότι υπάρχει Θεός – Δημιουργός. Με αυτόν τον τρόπο ανασύρει, κάπως αυθαίρετα, τον Άνθρωπο από την ασημαντότητά του και τον τοποθετεί σε περίοπτη θέση, στο κέντρο του Σύμπαντος, ικανοποιώντας με αυτόν τον τρόπο την απαίτηση που πηγάζει από την κοσμολογική θεώρηση του Αριστοτέλη. Η πλειοψηφία των επιστημόνων φυσικά απορρίπτει την Ανθρωπική Αρχή, διότι θεωρεί ότι οι απαντήσεις σε τέτοιου είδους κοσμολογικά ζητήματα εμπίπτουν στη σφαίρα της Επιστήμης και δεν πρέπει να αποτελούν προϊόντα εικοτολογίας. 

Στην πραγματικότητα, το μήνυμα που μας μεταφέρει το Παράδοξο του Fermi αποδεικνύεται δυσοίωνο για τη συνέχιση της ύπαρξής μας, καθώς το σύμπαν με αυτόν τον τρόπο δείχνει να είναι εντελώς αφιλόξενο ως προς τη ζωή και ίσως προμηνύει τον αφανισμό μας, εν είδει άλλων αφανισμών που έχουν συντελεστεί ήδη στο παρελθόν, όπως αυτός των δεινοσαύρων. Κατά μία άποψη, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η εύρεση άλλων ειδών νοήμονος ζωής είναι κρίσιμη για τη διασφάλιση της υψηλής πιθανότητας επιβίωσής μας σας είδος. 

Ακόμη όμως και η ενδεχόμενη συνάντησή μας με κάποιο εξωγήινο είδος είναι αρκετή για να λύσει το πρόβλημα της υπαρξιακής μας απομόνωσης; Ή μήπως στο ευτυχές σενάριο που κανένας από τους δύο πολιτισμούς δεν θα εξολοθρεύσει τον άλλο και υπάρξει αγαστή συνεργασία, το μόνο που θα συμβεί θα είναι να προκύψει ένα νέο υπερείδος νοήμονος ζωής που θα περιλαμβάνει το ανθρώπινο και το εξωγήινο, τα όντα του οποίου θα εξακολουθήσουν να προβληματίζονται για την ύπαρξη. Μήπως δηλαδή πρόκειται απλά για μια αλλαγή κλίμακας; 

Ακόμη κι αν καταφέρουμε να δώσουμε νόημα σε όλα αυτά και κατορθώσουμε να εξασφαλίσουμε πραγματική, διαχρονική υπόσταση στην ύπαρξή μας, πού θα καταλήξουν όλα αυτά μακροσκοπικά; Ποια είναι η μοίρα του Σύμπαντος; Η απάντηση κρύβεται στην Εντροπία και τον 2ο Θερμοδυναμικό Νόμο! Η Εντροπία ενός συστήματος, με όσο το δυνατόν πιο απλά, εκλαϊκευμένα λόγια, είναι το μέτρο της αταξίας που υπάρχει στο σύστημα. Μεγάλη Εντροπία σημαίνει μεγάλη αταξία. Μικρή Εντροπία σημαίνει μικρή αταξία. Στην εφηβική μου ηλικία για παράδειγμα, η Εντροπία του συστήματος που λεγόταν «Δωμάτιό μου» ήταν συνήθως υψηλή και κατάφερνα να τη διατηρώ σε φυσιολογικά επίπεδα μόνο χάρις στην παρέμβαση της μαμάς μου. Ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος λέει ότι η συνολική Εντροπία, ήτοι η αταξία, ενός απομονωμένου συστήματος αυξάνεται γνησίως με τον Χρόνο. 

Στο σημείο αυτό χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή, καθώς πολλοί κάνουν το λάθος να θεωρούν ότι αταξία σημαίνει ανομοιομορφία, ενώ στην πραγματικότητα ισχύει ακριβώς το αντίθετο. Αταξία σημαίνει ομοιομορφία, ομογενοποίηση. Το αγαπημένο μου παράδειγμα, το οποίο ταυτόχρονα εξηγεί με απλό τρόπο και τον 2ο Θερμοδυναμικό Νόμο είναι του μεγάλου θεωρητικού φυσικού και σπουδαίου εκλαϊκευτή της επιστήμης Jim Al-Khalili. Αν πετάξετε έναν κύβο ζάχαρης μέσα σε ένα ποτήρι νερό, η ζάχαρη μέσα σε λίγη ώρα θα διαλυθεί σε όλο τον όγκο του νερού. Το φαινόμενο αυτό θα συμβαίνει κάθε φορά που επαναλαμβάνετε αυτή τη διαδικασία. Ποτέ δεν θα δείτε τα μόρια της ζάχαρης να συγκεντρώνονται σε ένα σημείο και να ξαναδημιουργούν τον αρχικό κύβο3. Στην αρχή του φαινομένου λοιπόν υπάρχει κάποια ανομοιομορφία, ο όγκος του νερού και το συσσωμάτωμα της ζάχαρης, που δηλώνει μια τάξη η οποία έπειτα από λίγη ώρα καταλήγει στην ομοιόμορφη κατανομή της ζάχαρης στο ποτήρι, που αντιστοιχεί στην απόλυτη αταξία και άρα ομογενοποίηση. 

Ποια είναι η σχέση όμως όλων αυτών με την Κατάθλιψη; Ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος είναι παγκόσμιος, πράγμα που σημαίνει ότι εφαρμόζεται και στο σύμπαν ως ολότητα, ως ένα ενιαίο σύστημα. Η εφαρμογή του λοιπόν στο σύμπαν ουσιαστικά εισηγείται ότι αυτό κάποια στιγμή, νομοτελειακά, θα περιέλθει σε μία κατάσταση στην οποία, λόγω της απόλυτης ομογενοποίησης, θα είναι αδύνατο να ξεχωρίζει οποιαδήποτε μορφή δομής ή πληροφορίας. Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή και ως θερμικός θάνατος του σύμπαντος. Σε ένα τέτοιο περιβάλλον παύει να έχει νόημα οποιαδήποτε έννοια ύπαρξης του ανθρώπινου, αλλά και οποιουδήποτε άλλου είδους. 

Ακόμη κι αν λοιπόν με κάποιον τρόπο εξασφαλίσουμε την αθανασία μας και φυσικά καταφέρουμε να ξεπεράσουμε την επικείμενη καταστροφή του πλανήτη και του ηλιακού μας συστήματος, από φυσικής απόψεως, το ίδιο το σύμπαν από ότι φαίνεται έχει ημερομηνία λήξης, συνεπώς μαζί με αυτό θα εξαφανιστεί και το τελευταίο ίχνος της ανθρώπινης ύπαρξης. Όπως το είχε θέσει προφητικά ο Albert Camus, η ζωή μας δεν έχει κανένα νόημα, καθώς ακόμη κι αν νομίζουμε ότι έχει, το σύμπαν στο οποίο ζούμε δεν έχει κανένα απολύτως σκοπό και είναι σαφές ότι η ύπαρξή μας εξαρτάται απόλυτα από την ύπαρξη του σύμπαντος. Για όσους πρόλαβαν να σκεφτούν «μα καλά, αυτό είναι πολύ μακρινό, θα συμβεί μάλλον μετά από δισεκατομμύρια χρόνια, οπότε δεν με αφορά» θυμίζω τη σχετικότητα του Ψυχολογικού Χρόνου που αναφέρθηκε στην αρχή. Με βάση τη σχετικιστική αυτή προσέγγιση, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα οι έννοιες μικρό και μεγάλο χάνουν κάθε νόημα. Σε κάθε περίπτωση όμως, με την παραπάνω εσχατολογική προσέγγιση εξετάζουμε τη μοίρα του ανθρώπου ως είδος και όχι ως άτομο.

Δεν χρειάζεται όμως να πάμε μακριά. Η εντροπία και ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος εφαρμόζονται και στις ανθρώπινες κοινωνίες οι οποίες τείνουν με γοργούς ρυθμούς στην αταξία, η οποία σε αυτήν την περίπτωση μεταφράζεται στην πλήρη αποσύνθεση. Το ίδιο συμβαίνει και με τα ανθρώπινα ήθη και αξίες που «διαστέλλονται» με ξέφρενο ρυθμό, παρασύροντας μαζί τους το άτομο, το οποίο αδυνατώντας να ακολουθήσει αυτό το ρυθμό οδηγείται στην απώλεια της υπαρξιακής του ταυτότητας. 

Η απώλεια της υπαρξιακής ταυτότητας του ατόμου όμως, συμβαίνει και σε Οντολογικό επίπεδο. «Φοβάμαι το θάνατο. Όχι μόνο τον τελικό, αλλά και αυτούς που συμβαίνουν στη διάρκεια της ζωής μας» Αυτή η φράση, όπως εξηγεί ο συγγραφέας στη συνέχεια του βιβλίου, αναφέρεται στις ζωντανές απώλειες που έχουμε κατά τη διάρκεια της ζωής μας, όπως για παράδειγμα όταν δικοί μας άνθρωποι μας εγκαταλείπουν. Πηγαίνοντας όμως ένα βήμα παραπέρα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι κάθε χρονική στιγμή συντελείται ένας θάνατος του εαυτού μας, αφού κάθε στιγμή ένα μέρος μας (ή μήπως το σύνολό μας;) πεθαίνει στην κυριολεξία και ένα καινούργιο αναγεννάται, διαρρηγνύοντας τη συνέχεια της ταυτότητάς μας. Η άποψη αυτή έρχεται αναμφίβολα να κλονίσει τα θεμέλια της ύπαρξής μας. Ο 36χρονος Τάσος, που ακούει τις συμφωνίες, είναι το ίδιο πρόσωπο με τον 6χρονο Τάσο, που διάβαζε τα οπισθόφυλλα των κασετών; Τόσο ως προς το σώμα, όσο και ως προς το πνεύμα; 

Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή και ως «Το Παράδοξο της Ταυτότητας». Σύμφωνα με την αρχική εκδοχή αυτού του παραδόξου που οφείλεται στον Πλούταρχο, οι Αθηναίοι συντηρούσαν το πλοίο του Θησέα για πολλά χρόνια. Κάθε φορά που σάπιζε μια σανίδα την άλλαζαν αμέσως. Στο τέλος, μετά από χρόνια, το πλοίο έφτασε να αποτελείται από εντελώς διαφορετικά κομμάτια προκαλώντας το εξής δίλημμα: Ταυτίζεται το τελικό πλοίο με το πρωτότυπο ή όχι; Το παράδοξο αυτό έχει τα ερείσματά του στο προγενέστερο απόφθεγμα του Ηράκλειτου «Κανείς δεν μπορεί να μπει στο ίδιο ποτάμι δύο φορές».

Η εφαρμογή του παραδόξου της ταυτότητας στον άνθρωπο τονίζει την αποδόμηση του ίδιου σε συστατικά στοιχεία, προβάλλοντας μια νέα διάσταση της υπαρξιακής του απομόνωσης, στην οποία το κάθε του κύτταρο έχει τη δική του, ανεξάρτητη, υπόσταση. 

Από τα παραπάνω, διαπιστώνουμε ότι, ύπο μία έννοια, η απομόνωση λαμβάνει χώρα κατά μήκος όλης της κλίμακας της ύπαρξης, από τα άτομα ως το ίδιο το σύμπαν, καθιστώντας την Κατάθλιψη πανταχού παρούσα.

Σύνοψη

Από τα προηγούμενα ίσως φαίνεται σαν να ανέλυσα το «μανιφέστο της Κατάθλιψης της επιστημονικής γνώσης». Όσο περισσότερα γνωρίζουμε τόσο περισσότερο υπαρξιακό άγχος και φόβο φαίνεται να εκδηλώνουμε. Συνεπώς, κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι η πνευματική ολιγάρκεια ίσως είναι ο δρόμος που πρέπει να ακολουθήσουμε για να απαγκιστρωθούμε από την Κατάθλιψη και να φτάσουμε σε υψηλότερα επίπεδα ευτυχίας. Η αναφορά του συγγραφέα στην ευτυχία ενός σκύλου που αρκείται σε ένα απλό χάδι, χωρίς να τον απασχολούν οποιοιδήποτε φιλοσοφικοί προβληματισμοί, θίγει ακριβώς αυτό το σημείο. Θέλουμε όμως οι Άνθρωποι κάτι τέτοιο; Κατά τη γνώμη μου, δεν πρόκειται για ζήτημα επιλογής. Είτε το θέλουμε είτε όχι, «ο Άνθρωπος είναι καταδικασμένος να σκέφτεται, γι αυτό και δεν θα βρει ποτέ λύση στα προβλήματα της ύπαρξης», για να χρησιμοποιήσω τα λόγια του συγγραφέα. 

Το ζητούμενο λοιπόν είναι να πάψουμε να γυρίζουμε την πλάτη στην πραγματικότητα, να τολμήσουμε να την κοιτάξουμε κατάματα και να την αντιμετωπίσουμε κατά μέτωπον. Οι προηγούμενοι, αλλά και άλλοι, υπαρξιακοί προβληματισμοί μας αφορούν όλους. Απλώς, μερικοί άνθρωποι, κάποια στιγμή σε κάποια περίοδο της ζωής τους εκδηλώνουν μεγαλύτερη ευαισθησία μπροστά σε αυτούς, με αποτέλεσμα να γίνονται πιο ευάλωτοι στα σκοτεινά μηνύματα που μεταφέρουν οι προβληματισμοί αυτοί. Είναι σημαντικό απέναντι στους ανθρώπους αυτούς να εκδηλώνουμε μια υποτυπώδη ενσυναίσθηση και κάνοντας χρήση της έμφυτης συλλογικότητας του αγελαίου είδους που λέγεται Άνθρωπος να τους στηρίζουμε.

Επίλογος 

Ταξιδεύουμε με το διαστημόπλοιο «Γη» στην άκρη ενός γαλαξία, σε κάποια ασήμαντη γωνιά του αχανούς σύμπαντος, με ένα προσδόκιμο ζωής γύρω στα 70 έτη, με την αντίληψή μας περιορισμένη στις 3 χωρικές συν τη 1 χρονική διάσταση, απομονωμένοι από οποιαδήποτε πιθανότητα ύπαρξης έταιρης νοήμονος ζωής. Αυτό αφενός μεν δείχνει τη μικρότητά μας, αφετέρου δε, σε μία ορθή ερμηνεία-ανάγνωση της Ανθρωπικής Αρχής, μας θυμίζει τη σπουδαιότητά μας, καθώς, αν και εντελώς συμπτωματικά, είμαστε εφοδιασμένοι με τα μοναδικά προνόμια της σκέψης και της νόησης. Τα προνόμια αυτά μας δίνουν την ικανότητα να δημιουργούμε φαντασιακές πραγματικότητες. Η ικανότητα αυτή μετατρέπεται στη δυνατότητα να κάνουμε όνειρα και το σημαντικότερο, να τα μοιραζόμαστε με άλλους ανθρώπους. Για να κλείσω με τα λόγια του συγγραφέα: «Μόνο τα όνειρα μας επιτρέπουν να στεκόμαστε και να βλέπουμε τον κόσμο γύρω μας πιο όμορφο από ότι πραγματικά είναι».

1Η παρουσίαση πραγματοποιήθηκε διαδικτυακά την Τετάρτη 25 Νοεμβρίου 2020. Το βίντεο της παρουσίασης βρίσκεται στον παρακάτω σύνδεσμο:

 
2Έχει γίνει μάλιστα προσπάθεια η πιθανότητα ύπαρξης εξωγήινης νοήμονος ζωής να ποσοτικοποιηθεί. Παράδειγμα αποτελεί η εξίσωση του Drake.

3Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η πιθανότητα τα μόρια της ζάχαρης να καταλάβουν όλο τον όγκο του νερού είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από την πιθανότητα να καταλάβουν μία μόνο μικρή περιοχή του ποτηριού, όπου στον υπολογισμό των πιθανοτήτων αυτών λαμβάνουμε υπόψιν και την ενεργειακή κατάσταση του συστήματος. 

Wednesday, 26 August 2020

Το οικοδόμημα των Μαθηματικών

Μόλις έχετε επιστρέψει από τον πρωινό σας περίπατο και ετοιμάζεστε να ανοίξετε την πόρτα του σπιτιού σας. Βάζετε το χέρι στην τσέπη και συνειδητοποιείτε ότι έχετε χάσει τα κλειδιά σας. Ρίχνετε ενστικτωδώς μια ματιά τριγύρω με την ελπίδα να έχουν πέσει κάπου κοντά. Μάταια! Για καλή σας τύχη, ένας γείτονας που παρακολουθεί τη σκηνή και έχει αντιληφθεί τι συμβαίνει, πλησιάζει και σας λέει ότι πριν λίγο είδε έναν κύριο να σκύβει και να παίρνει κάτι κλειδιά πεσμένα στο δρόμο και έπειτα να μπαίνει στην απέναντι πολυκατοικία. Προφανώς πρόκειται για ένοικο της πολυκατοικίας, ο οποίος τα μάζεψε από κάτω με πρόθεση να τα επιστρέψει σε αυτόν που θα τα αναζητήσει. Δυστυχώς όμως, ο γείτονας δεν γνωρίζει σε ποιον όροφο μένει ο ένοικος. Τι θα κάνατε;

Αφού φυσικά ευχαριστούσατε το γείτονα για τη χρήσιμη πληροφόρηση, θα πηγαίνατε στην απέναντι πολυκατοικία και θα επισκεπτόσασταν ένα-ένα τα διαμερίσματα για να πάρετε πίσω τα κλειδιά σας. Με ποια σειρά όμως θα επισκεπτόσασταν τα διαμερίσματα; Δεν νομίζω να υπάρχει αμφιβολία ότι θα ξεκινούσατε από τον πρώτο όροφο, αν δεν τα βρίσκατε θα ανεβαίνατε στο δεύτερο όροφο, κ.ο.κ.

Φανταστείτε τώρα ότι είστε μαθητής της γ' Λυκείου και σας δίνουν μία άσκηση μαθηματικών την οποία σας ζητούν να λύσετε. Όλα τα προηγούμενα χρόνια, έχετε εφοδιάσει τη μαθηματική φαρέτρα σας με μία μεγάλη γκάμα από εργαλεία, τα οποία έχετε στη διάθεσή σας να τα χρησιμοποιήσετε για να λύσετε την άσκηση. Κάποια από αυτά τα εργαλεία είναι απλά, ενώ κάποια άλλα περισσότερο περίπλοκα και έχουν προκύψει ως συνδυασμός πρότερης γνώσης. Ποια εργαλεία θα δοκιμάζατε να χρησιμοποιήσετε πρώτα; 

Πριν απαντήσουμε, ας ανοίξουμε μια παρένθεση. Τα μαθηματικά, από πολλούς παρομοιάζονται με ένα οικοδόμημα. Στη βάση του βρίσκονται τα αξιώματα και επάνω σε αυτά χτίζεται όλη η μαθηματική γνώση. Στα θεμέλια δηλαδή βρίσκονται απλές μαθηματικές έννοιες οι οποίες καθώς ανεβαίνουμε «ορόφους» γίνονται ολοένα και πιο σύνθετες. Έτσι, για παράδειγμα, είναι αδύνατο να γνωρίζεις Διαφορικό Λογισμό αν δεν έχεις πρωτίστως διδαχθεί Συναρτήσεις, όπως με τον ίδιο ακριβώς τρόπο είναι αδύνατο να χτίσεις το δεύτερο όροφο αν προηγουμένως δεν έχεις χτίσει τον πρώτο.


Αν και για την οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης αυτή η σειρά είναι εμφανής, για κάποιο λόγο, όταν πρόκειται για τη χρήση αυτής της γνώσης, τα πράγματα φαίνεται να μπερδεύονται. Είναι γενική διαπίστωση ότι οι μαθητές, όσο αναπτύσσουν τις ικανότητές τους και όσο εμπλουτίζουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά, ανεβάζοντας το επίπεδο των εργαλείων τους, τόσο απομακρύνονται από τη στοιχειώδη γνώση, με αποτέλεσμα κάποιες φορές να δυσκολεύονται ή ακόμη και να μην καταφέρνουν να λύσουν προβλήματα για την αντιμετώπιση των οποίων αρκεί μια απλοϊκή προσέγγιση. Στην αναζήτηση του κλειδιού της πόρτας μας, ξεκινάμε από τον πρώτο όροφο και συνεχίζουμε για όσο χρειαστεί προς τα πάνω. Γιατί λοιπόν δεν κάνουμε το ίδιο και όταν επισκεπτόμαστε το μαθηματικό οικοδόμημα προς αναζήτηση του «κλειδιού» για τη λύση της άσκησης;

Παρακάτω ακολουθεί ένα παράδειγμα το οποίο ακριβώς δείχνει ότι για να βρεις το κλειδί για τη λύση μιας άσκησης, καλό είναι προτού ανέβεις στο δεύτερο όροφο να περάσεις πρώτα μια βόλτα από τον πρώτο.

Να βρεθούν, αν υπάρχουν, όλες οι ακέραιες λύσεις \( x \) της επόμενης εξίσωσης δευτέρου βαθμού.
\[ \alpha x^2 + (\alpha+1) x +1 =0 \]
όπου ο \( \alpha \) είναι ακέραιος αριθμός.

Δεύτερος όροφος:

Στο άκουσμα της έκφρασης "εξίσωση δευτέρου βαθμού" η «μηχανή αναζήτησης» του εγκεφάλου μας αυτόματα ανασύρει από τη μνήμη μας λέξεις κλειδιά όπως "τριώνυμο" και "διακρίνουσα" και ομολογουμένως είναι πολύ δύσκολο να αντισταθεί κανείς στον πειρασμό να προσπαθήσει να λύσει την εξίσωση κάνοντας χρήση των γνωστών τύπων για την επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ακολουθώντας αυτή την προσέγγιση θα έχουμε:
\[ \Delta = (\alpha + 1)^2 - 4\alpha = \alpha^2 + 2 \alpha + 1 - 4 \alpha = (\alpha - 1)^2 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-(\alpha + 1) \pm \sqrt{(\alpha - 1)^2}}{2\alpha} = \frac{-\alpha - 1 \pm |\alpha - 1|}{2\alpha} \]
Λόγω της εμφάνισης της απόλυτης τιμής, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για την τιμή του \( \alpha \):

\( \alpha \ge 1: \)
\[ x_1 = \frac{-\alpha - 1 + (\alpha - 1)}{2\alpha} = -\frac{1}{\alpha} \]
\[ x_2 = \frac{-\alpha - 1 - (\alpha - 1)}{2\alpha} = -1 \]
Από την πρώτη λύση \( x_1 \), προκύπτει ότι για να έχουμε ακέραια λύση, πρέπει ο αριθμός \( -\frac{1}{\alpha} \) να είναι ακέραιος. Αυτό όμως μπορεί να συμβεί μόνο όταν ο παρονομαστής διαιρεί τον αριθμητή, όταν δηλαδή ο \( \alpha \) διαιρεί τη μονάδα. Οι μόνοι διαιρέτες όμως της μονάδας είναι το 1 και το -1. Συνεπως, θα πρέπει να ισχύει ότι \( \alpha = 1 \) ή \( \alpha = -1 \). Επειδή όμως έχουμε υποθέσει ότι \( \alpha \ge 1 \), η μόνη αποδεκτή περίπτωση είναι \( \alpha = 1 \). Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει την ακέραια λύση \( x=-1 \).

Από τη δεύτερη λύση \( x_2 \), προκύπτει ότι γενικά η εξίσωση εχει την ακέραια λύση \( x=-1 \), για κάθε τιμή του \( \alpha \) μεγαλύτερη ή ίση του 1.

\( \alpha < 1: \)
\[ x_3 = \frac{-\alpha - 1 + (1 - \alpha)}{2\alpha} = -\frac{1}{\alpha} \]
\[ x_4 = \frac{-\alpha - 1 - (1 - \alpha)}{2\alpha} = -1 \]
Από την τρίτη λύση \( x_3 \), προκύπτει όπως και παραπάνω, ότι για να έχουμε ακέραια λύση, πρέπει \( \alpha = 1 \) ή \( \alpha = -1 \). Επειδή όμως αυτή τη φορά έχουμε υποθέσει ότι \( \alpha < 1 \), η μόνη αποδεκτή περίπτωση είναι \( \alpha = -1 \). Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει την ακέραια λύση \( x=1 \). 

Από την τέταρτη λύση \( x_4 \), προκύπτει ότι γενικά το πρόβλημα έχει την ακέραια λύση \( x=-1 \), για κάθε τιμή του \( \alpha \) μικρότερη του 1.

Συνοψίζοντας, η εξίσωση έχει για κάθε τιμή του \( \alpha \) την ακέραια λύση \( x=-1 \) και στην ειδική περίπτωση που \( \alpha=-1 \), έχει και μια δεύτερη ακέραια λύση \( x=1 \).

Πρώτος όροφος:

Η εξίσωση μπορεί να είναι δευτέρου βαθμού, όμως τα εργαλεία που μας αρκούν είναι πρώτου ορόφου... Στη λύση της εξίσωσης μπορούμε να φτάσουμε ακολουθώντας μια πιο απλή, λιτή και κομψή προσέγγιση, που δεν απαιτεί καμία γνώση επίλυσης τριωνύμου, παρά μόνο τη θεμελιώδη έννοια της διαιρετότητας.

Έστω ότι η δοσμένη εξίσωση έχει ακέραια λύση \( x=\rho \). Τότε, θα ισχύει 
\[ \alpha \rho^2 + (\alpha + 1) \rho + 1=0 \Leftrightarrow \rho (\alpha \rho + \alpha + 1) = -1 \Leftrightarrow \alpha \rho + \alpha + 1 = -\frac{1}{\rho}. \]
Επειδή όμως το αριστερό μέλος είναι ακέραιος αριθμός, ως άθροισμα ακεραίων, το ίδιο πρέπει να συμβαίνει και με το δεξί μέλος. Πρέπει δηλαδή \( -\frac{1}{\rho} \) ακέραιος. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο όταν το \( \rho \) διαιρεί το -1, οπότε \( \rho = -1 \) ή \( \rho = 1 \). Αντικαθιστώντας στην εξίσωση \( x=-1 \), έχουμε \( \alpha - (\alpha + 1) + 1 = 0 \) που ισχύει ταυτοτικά. Άρα το \( x=-1 \) είναι ακέραια λύση. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση \( x=1 \), έχουμε \( \alpha + (\alpha + 1) + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha = -1 \). Στην ειδική περίπτωση δηλαδή που \( \alpha = -1 \), έχουμε και δεύτερη ακέραια λύση την \( x=1 \), όπως ακριβώς αποδείξαμε και προηγουμένως.

Το παραπάνω αποτελεί σαφές παράδειγμα που δικαιώνει την «from bottom to top» στρατηγική που εκθέσαμε προηγουμένως. Την επόμενη φορά που θα χρειαστεί να ανεβείτε στο δεύτερο όροφο, ρίξτε μια ματιά και στον πρώτο, μπορεί να βρείτε εκεί αυτό που ψάχνετε. Εκτός αν το κτήριο διαθέτει ασανσέρ...

Saturday, 15 August 2020

Το ματ της ασφυξίας

Κάποια στιγμή, στην προσπάθειά μου να συλλέξω διδακτικές σημειώσεις με θέμα «Εικόνες ματ», ανακάλυψα ότι εκτός από το γνωστό, τουλάχιστον στους σκακιστές, «Ματ του αποπνιγμού» (Smothered mate) υπάρχει και το «Ματ της ασφυξίας» (Suffocation mate). Και στις δύο περιπτώσεις, το ματ δίνεται από τον Ίππο. Η διαφορά είναι η εξής: 

α) Στο ματ του αποπνιγμού ο αντίπαλος Βασιλιάς δεν μπορεί να ξεφύγει από το σαχ του Ίππου, επειδή όλα τα τετράγωνα διαφυγής είναι κατειλημμένα από κομάτια της δικής του παράταξης.

β) Στο ματ της ασφυξίας, υπάρχουν ελεύθερα τετράγωνα γύρω από τον αντίπαλο Βασιλιά, τα οποία ωστόσο στερεί ελέγχοντάς τα ο Αξιωματικός της παράταξης που δίνει το ματ.

Ένα τέτοιο ματ είχα την ευκαιρία να πραγματοποιήσω πρόσφατα σε μια παρτίδα-μινιατούρα στο διαδίκτυο. Παίζω με τα λευκά.

Sicilian Defence, Najdorf Variation

1. e4 c5, 2. Nf3 d6, 3. d4 cxd4,  4. Nxd4 Nf6, 5. Nc3 a6, 6. h3 

Μια βαριάντα της Najdorf με την οποία μου αρέσει τελευταία να πειραματίζομαι.

6...Qc7, 7. Be3 Nc6, 8. Qd2 e6, 9. O-O-O b5

Θεματική κίνηση με στόχο την άμεση αντεπίθεση των μαύρων κομματιών επάνω στο λευκό Βασιλιά.

10. f3 

Ενδιαφέρον έχει και το 10. Nxc6 Qxc6, 11. e5 b4, 12. exf6 bxc3, 13. Qxc3 Qxc3, 14. bxc3 gxf6, 15. Kd2 με αμφίρροπο παιχνίδι στο οποίο τα λευκά στέκονται ίσως λίγο καλύτερα.

10...Be7, 11. Bxb5!? 

Μια θυσία που βάζει σε μπελάδες τα μαύρα, τα οποία πρέπει να παίξουν πολύ προσεκτικά αν θέλουν να εκμεταλλευτούν το επιπλέον ελαφρύ κομμάτι που διαθέτουν.

11...axb5, 12. Ndxb5 Qa5?, 13. Nxd6 

Τα μαύρα παίζουν ήδη την πρώτη ανακρίβεια. Η Βασίλισσα έπρεπε οπωσδήποτε να κρατήσει επαφή με το τετράγωνο d6, για παράδειγμα με 12...Qb8.

13...Bxd6?, 14. Qxd6 

Το πάρσιμο του Ίππου είναι σφάλμα που δίνει προβάδισμα στα λευκά. Η σωστή κίνηση για τα μαύρα θα ήταν 13...Kf8!, θυσιάζοντας το δικαίωμα του ροκέ για να κρατήσουν την ισορροπία στην παρτίδα.

14...Bd7, 15. Bc5 

Η πίεση γύρω από το μαύρο Βασιλιά αρχίζει να γίνεται... ασφυκτική.

15...Qd8?? 

Μεγάλο λάθος που οδηγεί σε άμεση ήττα. Έπρεπε να παιχτεί το δύσκολο O-O-O. Στην περίπτωση αυτή τα λευκά θα ήταν και πάλι καλύτερα, όμως η παρτίδα θα είχε ίσως δρόμο ακόμη.

16. Nb5 Rc8?

Τα λευκά απειλούν να δώσουν φορσέ ματ στο μαύρο Βασιλιά που ασφυκτιά στο κέντρο της σκακιέρας, όμως αυτό διέφυγε της προσοχής των μαύρων. Για να αποφύγουν το ματ, τα μαύρα έπρεπε να προσφέρουν «οξυγόνο» στον Βασιλιά τους μετακινώντας την Βασίλισσα στο b8. 

17. Qf8!! 

Θεαματική θυσία της Βασίλισσας με στόχο να απελευθερωθεί το τετράγωνο d6 για τον Ίππο και να καθοδηγηθεί ο μαύρος Πύργος δίπλα στον αφέντη του!

17...Rxf8, 18. Nd6+ 

Ο Βασιλιάς είναι εγκλωβισμένος από τα ίδια του τα κομμάτια και όλες του οι κινήσεις είναι φορσέ.

18...Ke7, 19. Nf5+ 

Διπλό σαχ που δεν αφήνει κανένα περιθώριο. Ο Βασιλιάς επιστρέφει στην αρχική του θέση.

19...Kd8, 20. Nxg7#

Μία Βασίλισσα, δύο Πύργοι, δύο Ίπποι, ένας Αξιωματικός και μερικά πιόνια είναι ανίκανα να σώσουν τον Βασιλιά τους! Η άψογη συνεργασία Ίππου - Αξιωματικού κατέληξε σε μια πανέμορφη εικόνα ματ της ασφυξίας. 

Friday, 24 April 2020

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Επιμύθιο)

Οι τρεις προηγούμενες ιστοριούλες έχουν κάτι κοινό μεταξύ τους. Και στις τρεις, ο φανερός πρωταγωνιστής είναι ο Α και ο κρυφός πρωταγωνιστής ο αδερφός του! Εκτός από αυτό το στοιχείο της πλοκής όμως οι τρεις ιστορίες έχουν κοινό κι ένα ενδιαφέρον μαθηματικό στοιχείο. Ο Α βρέθηκε αντιμέτωπος με τρία διαφορετικά διλήμματα και σε όλα, όπως θα δούμε, ακολούθησε τη λάθος στρατηγική! Ήταν όμως πράγματι διαφορετικά μεταξύ τους τα τρία διλήμματα; Για να το διαπιστώσουμε, θα πρέπει πρώτα να εξετάσουμε το καθένα χωριστά. 

Το δίλημμα της κατσίκας

Σε μία παλαιότερη ανάρτησή μου με τίτλο "με τη χρήση μαθηματικού φορμαλισμού, παρουσιάζεται η αυστηρή απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, την οποία μπορεί να βρει κανείς σε διδακτικά συγγράμματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων [1]. 

Με δεδομένο ότι ο κύριος Α έχει επιλέξει την πόρτα Α, θεωρούμε τα εξής γεγονότα:

\( W_i \) είναι το γεγονός πίσω από την πόρτα \( i \) να βρίσκεται το έπαθλο, όπου \( i \in \{A, B, \Gamma\} \).

\( R_j \) είναι το γεγονός να αποκαλυφθεί το περιεχόμενο που βρίσκεται πίσω από την πόρτα \( j \), όπου \( j \in \{A, B, \Gamma\} \).

Σχετικά εύκολα προκύπτουν οι τιμές για τις διάφορες δεσμευμένες πιθανότητες \( P(R_j | W_i), i, j \in \{A, B, \Gamma\} \), που εκφράζουν την πιθανότητα ο παρουσιαστής να αποκαλύψει το περιεχόμενο της πόρτας \( j \), δεδομένου ότι το έπαθλο βρίσκεται πίσω από την πόρτα \( i \). Οι τιμές αυτές βρίσκονται συγκεντρωμένες στον 

Πίνακας 1

Επιπλέον, προφανώς ισχύει:
\[ P(W_A) = P(W_B) = P(W_{\Gamma}) = \frac{1}{3}. \]
Εμείς, στο πρόβλημά μας θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίζει η πόρτα Α, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β. Δηλαδή, μας ενδιαφέρει η ποσότητα \( P(W_A | R_B) \). Κάνοντας χρήση του Θεωρήματος του Bayes1
\[ P(W_A | R_B) = \frac{P(R_B | W_A) \cdot P(W_A)}{P(R_B | W_A) \cdot P(W_A) + P(R_B | W_B) \cdot P(W_B) + P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma})}. \]
Αντικαθιστώντας τις τιμές από τον
\[ P(W_A | R_B) = \frac{1}{3}, \] 
δηλαδή ότι η πιθανότητα παραμένει ίση με την αρχική. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται το έπαθλο στην πόρτα Γ, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β, ισούται με
\[ P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma})}{P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma}) + P(R_B | W_A) \cdot P(W_A) + P(R_B | W_B) \cdot P(W_B)}, \]
που μετά τις αντικαταστάσεις καταλήγει στη σχέση 
\[ P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{2}{3}. \] 
Φυσικά στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν χρησιμοποιούσαμε την προφανή σχέση 
\[ P(W_A | R_B) + P(W_B | R_B) + P(W_{\Gamma} | R_B) = 1 \Leftrightarrow P(W_{\Gamma} | R_B) = 1 - P(W_A | Ρ_Β), \]
αφού προφανώς ισχύει \( P(W_B | R_B) = 0 \). Συνεπώς, η πιθανότητα να κερδίσουμε το έπαθλο αν αλλάξουμε πόρτα μετατρέπεται από \( \frac{1}{3} \) σε \( \frac{2}{3} \), δηλαδή διπλασιάζεται!

Το δίλημμα του κατάδικου

Κάνοντας τις αντιστοιχίες
αποφυλακισθείς \( \leftrightarrow \) κατσίκα 
κατάδικος \( \leftrightarrow \) έπαθλο

εύκολα διαπιστώνουμε ότι το δίλημμα του κατάδικου στην ουσία ταυτίζεται με το δίλημμα της κατσίκας, με δύο όμως σημαντικές διαφορές: 

α) Στο δίλημμα της κατσίκας, το επιθυμητό ενδεχόμενο είναι ένα, ενώ στο δίλημμα του κατάδικου τα επιθυμητά ενδεχόμενα είναι δύο

β) Ενώ στο δίλημμα της κατσίκας έχουμε τη δυνατότητα να αλλάξουμε επιλογή, στην περίπτωση του κατάδικου, η αρχική μας επιλογή, ότι δηλαδή είμαστε ο εαυτός μας, παραμένει αναγκαστικά και η τελική μας επιλογή...

Κάνοντας χρήση ακριβώς των ίδιων μαθηματικών σχέσεων, όπως παραπάνω, καταλήγουμε στο ότι:

\( P(W_A | R_B) = \frac{1}{3} \) και \( P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{2}{3} \),

όπου αυτή τη φορά χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς:

\( W_i \) είναι το γεγονός να

\( R_j \) είναι το γεγονός ο φρουρός να ανακοινώσει το όνομα του κατάδικου \( j \), όπου \( j \in \{A, B, \Gamma\} \).

Οι τελικές σχέσεις εκφράζουν ότι η πιθανότητα να μην αποφυλακιστεί ο Α, δεδομένου ότι ο φρουρός αποκάλυψε το όνομα του Β, εξακολουθεί να είναι \( \frac{1}{3} \), όσο δηλαδή και στην αρχή. Ισοδύναμα, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί παραμένει \( \frac{2}{3} \). Με άλλα λόγια, η πληροφορία ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, αντίθετα με αυτό που πίστευε ο Α, δεν επηρεάζει την πιθανότητα του ίδιου να αποφυλακιστεί. Πράγμα, αυτή τη φορά, μάλλον αναμενόμενο! 

Αντίστοιχα, ισχύει ότι από τη στιγμή που αποκαλύπτει ο φρουρός στον Α ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί ο κατάδικος Γ μειώνεται σε \( \frac{1}{3} \). Αυτό το αποτέλεσμα είναι αδιαμφισβήτητα εντυπωσιακό! Κάτι παρόμοιο συμβαίνει άλλωστε και στο δίλημμα της κατσίκας, στο οποίο μετά την αποκάλυψη της μίας κατσίκας πίσω από την πόρτα Β, η πιθανότητα στην πόρτα Γ να βρίσκεται επίσης κατσίκα μειώνεται σε \( \frac{1}{3} \), στο μισό δηλαδή της αρχικής που ήταν \( \frac{2}{3} \). Γι αυτό άλλωστε και συμφέρει η αλλαγή της πόρτας!

Το δίλημμα του φύλου

Μέχρι στιγμής, όπως είδαμε, τα δύο πρώτα διλήμματα ουσιαστικά ταυτίζονται. Τι σχέση όμως έχει με αυτά το τρίτο δίλημμα; Ήδη μια εμφανής διαφορά είναι ότι ενώ στα δύο πρώτα διλήμματα τα εμπλεκόμενα μέρη είναι τρία - δύο κατσίκες και ένα έπαθλο στο πρώτο, δύο αποφυλακισθέντες και ένας κατάδικος στο δεύτερο - στο τρίτο δίλημμα είναι δύο, τα δυο παιδιά. Κι όμως, όπως θα διαπιστώσουμε σύντομα και το τρίτο δίλημμα, υπό μία ευρεία έννοια, ταυτίζεται με τα άλλα δύο!

Αρχικά, εφόσον τα δύο πρώτα διλήμματα ταυτίζονται, αρκεί να μελετήσουμε τη σχέση του διλήμματος του φύλου με ένα από τα δύο. Χωρίς καμιά ιδιαίτερη προτίμηση, ας το κάνουμε αυτό με τη βοήθεια του διλήμματος της κατσίκας. Θεωρούμε τις εξής αντιστοιχίες: 

κατσίκα \( \leftrightarrow \) αγόρι 
αυτοκίνητο \( \leftrightarrow \) κορίτσι

Στο δίλημμα της κατσίκας γνωρίζουμε εξ αρχής ότι μία τουλάχιστον από τις πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα. Έστω τώρα ότι με κάποιον τρόπο αγνοούμε την ύπαρξη της πόρτας Α, αν και το κοινό που παρακολουθεί γνωρίζει για αυτή. Είναι προφανές ότι από τη στιγμή που καθοριστεί ποια από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, η πόρτα που απομένει μπορεί να περιέχει είτε κατσίκα είτε αυτοκίνητο. Αυτό που τελικά όμως περιέχει η πόρτα που απομένει, καθορίζει αυτόματα για το κοινό το περιεχόμενο της πόρτας Α, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι, όπως έχουμε ήδη πει, εμείς δεν γνωρίζουμε καν την ύπαρξή της. Για εμάς λοιπόν, μία τουλάχιστον από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, κατ' αντιστοιχία με το ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά είναι αγόρι.

Ας πάμε τώρα στο δίλημμα του αγοριού. Για ευκολία, στα επόμενα σε κάθε παιδί θα τοποθετούμε μία ταμπέλα με την ένδειξη ΑΓΟΡΙ ή ΚΟΡΙΤΣΙ, ανάλογα με το φύλο του. Εφόσον γνωρίζουμε εξ αρχής ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά, τα οποία ας ονομάσουμε Β και Γ, είναι αγόρι, χρειαζόμαστε οπωσδήποτε μία ταμπέλα ΑΓΟΡΙ ώστε να την εκχωρήσουμε κατάλληλα στο παιδί Β ή Γ. Από τη στιγμή που συμβεί αυτό, το παιδί που απομένει, το Γ ή Β αντίστοιχα, μπορεί να είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι. Συνεπώς, χρειαζόμαστε δύο ακόμη ταμπέλες, μια ΑΓΟΡΙ και μία ΚΟΡΙΤΣΙ, ώστε να μπορούμε να του εκχωρήσουμε τη μία από τις δύο. Με αυτόν τον τρόπο θα αποκτήσουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των δύο παιδιών Β και Γ. Σε κάθε συνδυασμό όμως, μία ταμπέλα από τις δύο προηγούμενες θα μείνει αχρησιμοποίητη. Την ταμπέλα αυτή μπορούμε να την τοποθετήσουμε σε ένα φανταστικό παιδί Α. Το παιδί αυτό παίζει το ρόλο της πόρτας Α στο δίλημμα της κατσίκας και με αυτό τον τρόπο η ισοδυναμία μεταξύ των δύο προβλημάτων έχει αποκατασταθεί! Η παραπάνω ανάλυση φαίνεται με παραστατικό τρόπο στην Εικόνα 1.

Εικόνα 1.

Συνοψίζοντας, με βάση την παραπάνω θεώρηση, θα μπορούσαμε να πούμε ότι το δίλημμα του αγοριού αποτελεί περιορισμό των δύο άλλων διλημμάτων ή ισοδύναμα ότι τα δύο πρώτα διλήμματα αποτελούν επέκταση του διλήμματος του αγοριού. Έτσι, με βάση τα προηγούμενα συμπεράσματα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα και το παιδί Β να είναι αγόρι ταυτίζεται με την πιθανότητα οι πόρτες Β και Γ να περιέχουν κατσίκα που είναι ίση με \( \frac{1}{3} \). Ισοδύναμα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα το παιδί Β να είναι κορίτσι ισούται με \( \frac{2}{3} \). Συνεπώς, ο Α θα ήταν προτιμότερο να αγοράσει ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι και μία κούκλα!

Κλείνοντας, για λόγους πληρότητας, παρακάτω δίνουμε και την κλασική απόδειξη αυτού του συμπεράσματος.

Κλασική απόδειξη

Όλα τα απλά γεγονότα του δειγματοχώρου μας είναι προφανώς τα ΑΑ, ΑΚ, ΚΑ, ΚΚ, όπου με Α και Κ συμβολίζουμε το αγόρι και το κορίτσι, αντίστοιχα. Στα επόμενα, με \( A_n \) θα συμβολίζουμε το γεγονός \( n \) 

Αρχικά, οι πιθανότητες για το φύλο των δύο παιδιών είναι

\( P(A_0) = \frac{1}{4} \), αφού \( A_0 = \{KK\} \),
\( P(A_1) = \frac{1}{2} \), αφού \( A_1 = \{AK, KA\} \)
\( P(A_2) = \frac{1}{4} \), αφού \( A_2 = \{AA\} \)

Από τη στιγμή όμως που υπάρχει η πληροφορία ότι ένα τουλάχιστον παιδί είναι αγόρι, αποκλείεται από το δειγματοχώρο το απλό γεγονός ΚΚ. Συνεπώς μένουν τρία γεγονότα, τα \( \{AA, AK, KA\} \). Τότε, η πιθανότητα να είναι και τα δύο παιδιά αγόρια γίνεται
\[ P(A_2 | A_1 \cup A_2) = \frac{1}{3} \]
και φυσικά η πιθανότητα να είναι το ένα παιδί αγόρι και το άλλο κορίτσι είναι
\[ P(A_1 | A_1 \cup A_2) = \frac{2}{3}. \]

1Bayes Thomas (1702 - 1761): Άγγλος μαθηματικός και φιλόσοφος, ο οποίος πρώτος ανέπτυξε το γενικό τύπο εναλλαγής μεταξύ δεσμευμένων πιθανοτήτων \( P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \), που φέρει τιμητικά το όνομά του.

[1] Στρατής Κουνιάς, Χρόνης Μωυσιάδης, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι, Κλασική Πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανομές, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη 1999.