Sunday, 21 August 2016

Περισσότερα ψωμιά

Μια από τις αγαπημένες συνήθειες των μαθηματικών - κάποιες φορές σε εκνευριστικό βαθμό για τους άλλους - είναι να γενικεύουν ένα συμπέρασμα. Έχει κυκλοφορήσει άλλωστε και το επόμενο ανέκδοτο. 

Ένας μηχανικός και ένας μαθηματικός παρακολουθούσαν ένα συνέδριο φυσικής με θέμα τη θεωρία χορδών και τους χώρους 5 διαστάσεων. Ο μαθηματικός άκουγε με μεγάλο ενδιαφέρον τη διάλεξη, ενώ ο μηχανικός παρακολουθούσε αποσβολωμένος και έδειχνε να μην καταλαβαίνει τίποτα. Κάποια στιγμή όταν τελείωσε η διάλεξη ρωτάει απορημένος ο μηχανικός τον μαθηματικό:
- Μα πώς μπορείς και αντιλαμβάνεσαι ένα χώρο 5 διαστάσεων;
- Είναι απλό! Σκέφτομαι ένα ν-διάστατο χώρο και μετά θέτω όπου ν ίσον 5...

Μια τέτοια γενίκευση θα επιχειρήσουμε κι εμείς εδώ. Στο τελευταίο post, είδαμε το γρίφο του Σταύρου Σκόνδρα. Στο γρίφο αυτό υπενθυμίζουμε ότι μπήκαν διαδοχικά 3 πελάτες στο φούρνο με κοινή απαίτηση να αγοράσουν τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί. Είδαμε ότι για να εξυπηρετήσει ο φούρνος «ακριβώς» και τους 3 πελάτες θα πρέπει να έχει αρχικά 7 ψωμιά. Το ερώτημα τώρα είναι πόσα ψωμιά πρέπει να έχει ο φούρνος για να εξυπηρετήσει 4, 5, 10 και γενικότερα ν πελάτες, με τις ίδιες προϋποθέσεις του προβλήματος;



Για να δείτε τη λύση πατήστε «Read more».


Saturday, 13 August 2016

Ο γρίφος του Σταύρου Σκόνδρα

Μπαίνει ένας πελάτης σε ένα φούρνο.

- Καλημέρα σας! Θα ήθελα να αγοράσω τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί.

Ο φούρναρης κάνει τους υπολογισμούς του, ρίχνει μια ματιά στο ράφι και τον εξυπηρετεί. Μετά από λίγο μπαίνει ένας δεύτερος πελάτης:

- Καλημέρα σας! Θα ήθελα να αγοράσω τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί.

Ο φούρναρης ξανακάνει τους υπολογισμούς του και τον εξυπηρετεί και αυτόν. Τέλος, μπαίνει και τρίτος πελάτης και ζητάει ακριβώς το ίδιο:

- Καλημέρα σας! Θα ήθελα να αγοράσω τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί.

Ο φούρναρης αυτή τη φορά φανερά ανήσυχος κοιτάζει το ράφι και για καλή του τύχη διαπιστώνει ότι του έχει απομείνει ακριβώς αυτό που του ζήτησε ο τρίτος πελάτης. Του το δίνει λοιπόν και κλείνει το φούρνο μιας και εξαντλήθηκαν όλα τα ψωμιά του.

Πόσα ψωμιά είχε ο φούρνος στην αρχή; (προτού δηλαδή μπει ο πρώτος πελάτης).

Το εύλογο ερώτημα που δημιουργείται στο σημείο αυτό είναι -για όσους δε γνωρίζουν- ποιος είναι αυτός ο Σταύρος Σκόνδρας και που κολλάει στο γρίφο... Πριν προχωρήσουμε στη λύση ας ανοίξουμε λοιπόν μια μικρή παρένθεση. 

Ο Σταύρος Σκόνδρας είναι ένας από τους σπουδαιότερους Έλληνες σκακιστές, που μας άφησε για πάντα σαν σήμερα στις 13 Αυγούστου 2014. Το όνομά του είναι συνυφασμένο με τη σκακιστική μου ομάδα του "Φοίβου" Συκεών, όπου είχα την τύχη και την τιμή να είμαι συμπαίκτης του. Η προσφορά του στο ελληνικό σκάκι, τόσο με το σκακιστικό του ταλέντο όσο και με το σπάνιο χαρακτήρα του ήταν τεράστια. Ο Σταύρος υπήρξε σήμα κατατεθέν της αγωνιστικότητας και παράλληλα της ευγενούς άμιλλας. Η συμπεριφορά του επάνω αλλά και μακριά από τη σκακιέρα υπήρξε υποδειγματική. Δεν γνώριζε τι σημαίνει υπεροψία, τον διέκρινε πάντα η ταπεινότητα, η καλοσύνη, η ευγένεια κι ένα μόνιμο χαμόγελο στα χείλη κάνοντάς τον αγαπητό στους πάντες. Η ζωή του αποτέλεσε παράδειγμα του τι σημαίνει αφοσίωση σε κάτι που αγαπάμε. Το πάθος του για το σκάκι παρέμεινε ασίγαστο μέχρι την τελευταία στιγμή της ζωής του. Ανέπνεε από το σκάκι και ζούσε για αυτό. Όσοι γνώρισαν τον Σταύρο ξέρουν ότι τα παραπάνω είναι πολύ λίγα για να τον χαρακτηρίσουν. 

Σταύρος Σκόνδρας (1938-2014).
Ο Σταύρος είναι εκείνος που μου έθεσε τον παραπάνω γρίφο. Μάλιστα, αν και ήταν σε θέση να δώσει την απάντηση με διαισθητικό τρόπο, ζήτησε από εμένα να του δείξω την αυστηρά μαθηματική λύση με «εξισώσεις», όπως μου είπε χαρακτηριστικά. Για να δείτε τη λύση του γρίφου πατήστε «Read more».


Saturday, 6 August 2016

Υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το άπειρο;


Στα αγαπημένα μου ανήψια Σοφία και Ιάσονα


Την ερώτηση αυτή μου έθεσαν πριν μερικές ημέρες τα δυο απίθανα ανήψια μου, 8 και 6 ετών. «Υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το άπειρο;». Μια απλή ερώτηση που λίγο πολύ όλοι κάποτε έχουμε σκεφτεί. Η εμπειρία μας διδάσκει ότι συνήθως οι απλές ερωτήσεις συνοδεύονται από δύσκολες απαντήσεις. Το ίδιο ισχύει κι εδώ. Η απάντηση είναι πιο περίπλοκη από όσο φαντάζει αρχικά. Η πρώτη σκέψη που έρχεται στο νου είναι ότι κανείς αριθμός δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το άπειρο, αφού αυτός ακριβώς είναι ο λόγος που έχει εισαχθεί η έννοια του απείρου, μια μαθηματική οντότητα που είναι μεγαλύτερη από κάθε πραγματικό αριθμό. Όταν όμως παίζει κανείς με το άπειρο πρέπει να είναι πολύ προσεκτικός για να αποφύγει τις κακοτοπιές, όπως θα δούμε παρακάτω. Στο άρθρο αυτό, με τη βοήθεια ερωτήσεων-απαντήσεων, θα κάνουμε ένα σύντομο ταξίδι στο άπειρο και θα δούμε που θα μας βγάλει. 

Ξεκινώντας το ταξίδι μας είναι απαραίτητες κάποιες προκαταρκτικές έννοιες που αν και φαινομενικά άσχετες με το θέμα, θα μας επιτρέψουν να πλησιάσουμε το άπειρο. 

- Πόσα είδη αριθμών υπάρχουν;

Υπάρχουν τριών ειδών αριθμοί: Πληθικοί, Τακτικοί και Δεικτοδοτικοί. 

Πληθικοί αριθμοί (cardinal numbers) είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου. Για παράδειγμα, λέμε οι αθλητές που πήραν μέρος στον αγώνα δρόμου ήταν 14.

Τακτικοί αριθμοί (ordinal numbers) είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε τη θέση (σειρά) ενός στοιχείου σε σχέση με τα υπόλοιπα στοιχεία ενός συνόλου όταν αυτά βρίσκονται σε κάποια διάταξη. Για παράδειγμα, λέμε ο Έλληνας αθλητής που πήρε μέρος στον αγώνα δρόμου τερμάτισε στη θέση 14.

Δεικτοδοτικοί αριθμοί (tag numbers) είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε την ταυτότητα ενός στοιχείου εντός ενός συνόλου. Για παράδειγμα, λέμε ο Έλληνας αθλητής του αγώνα δρόμου είχε τη φανέλα με το νούμερο 14.

Εμάς θα μας απασχολήσουν μόνο οι πληθικοί αριθμοί, επάνω στους οποίους, στα πλαίσια της Θεωρίας Συνόλων, έχει τα θεμέλιά του το άπειρο

- Πώς μετράμε το πλήθος ενός συνόλου;

Για να μπορέσουμε να μετρήσουμε το πλήθος ενός συνόλου θα πρέπει πρώτα να είμαστε σε θέση να συγκρίνουμε δύο οποιαδήποτε σύνολα. Προς αυτήν την κατεύθυνση, συνήθως βοηθάει το επόμενο παράδειγμα.

Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο από καρέκλες και ένα σύνολο από ανθρώπους. Θα θέλαμε να συγκρίνουμε το πλήθος των δύο αυτών συνόλων. Για να το πετύχουμε αυτό τοποθετούμε σε κάθε άδεια καρέκλα έναν άνθρωπο μέχρι να εξαντληθούν είτε οι καρέκλες, είτε οι άνθρωποι, είτε και τα δύο ταυτόχρονα. Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι το πλήθος των ανθρώπων είναι μεγαλύτερο από αυτό των καρεκλών, εφόσον δεν έφτασαν οι καρέκλες για όλους τους ανθρώπους. Όμοια, στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι το πλήθος των καρεκλών είναι μεγαλύτερο από αυτό των ανθρώπων, καθώς κάθησαν όλοι και περίσσεψαν μάλιστα και κάποιες καρέκλες. Τέλος, στην τρίτη περίπτωση λέμε ότι τα δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος, αφού και κάθησαν όλοι οι άνθρωποι και δεν περίσσεψε καμία καρέκλα.

Ουσιαστικά με τη βοήθεια του παραπάνω παραδείγματος αναφερθήκαμε σιωπηρά στη θεμελιώδη μαθηματική έννοια της 1 προς 1 συνάρτησης, η οποία αντιστοιχεί κάθε στοιχείο ενός συνόλου σε ακριβώς ένα στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου. Αν καταφέρει κανείς και κατασκευάσει μια τέτοια συνάρτηση μεταξύ δύο συνόλων Α και Β, τότε έχει ουσιαστικά αποδείξει ότι τα δύο σύνολα είναι ισοπληθή ή όπως συνήθως λένε οι μαθηματικοί ισοδύναμα. Αυτό συμβολίζεται ως Α~Β. Αν υπάρχει μια 1 προς 1 συνάρτηση από το σύνολο Α σε ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β, τότε το σύνολο Α είναι μεγαλύτερο από το Β. Συμβολικά Α>Β. Τέλος, αν υπάρχει 1 προς 1 συνάρτηση από ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Α στο σύνολο Β, τότε το σύνολο Α είναι μικρότερο από το Β (Α<Β). 

Για να αποφύγουμε να συγκρίνουμε κάθε φορά δύο οποιαδήποτε σύνολα μεταξύ τους, χρειαζόμαστε ένα παγκόσμιο μέτρο σύγκρισης. Ένα σύνολο αναφοράς δηλαδή με το οποίο θα συγκρίνεται κάθε φορά το σύνολο του οποίου το μέγεθος θέλουμε να μετρήσουμε. Το μέτρο αυτό μας προσφέρουν οι γνώριμοι σε όλους μας φυσικοί αριθμοί: 1, 2, 3, κ.ο.κ. Όταν λοιπόν θέλουμε να μετρήσουμε το πλήθος ενός συνόλου, αυτό που κάνουμε είναι να βρούμε έναν κατάλληλο φυσικό ν, να πάρουμε το απόκομμα των ν πρώτων φυσικών {1, 2, 3, ..., ν} και να κατασκευάσουμε μια 1 προς 1 αντιστοιχία μεταξύ του αποκόμματος και του εν λόγω συνόλου. Τότε λέμε ότι το πλήθος του συνόλου αυτού είναι ν. Στην περίπτωση αυτή μάλιστα λέμε ότι το σύνολο έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Με αυτόν τον τρόπο πετυχαίνουμε να μετράμε και να συγκρίνουμε όλα τα πεπερασμένα σύνολα με κοινό μέτρο αναφοράς.

- Τι είναι το άπειρο;

Η προηγούμενη διαδικασία μέτρησης συνόλων, μας οδηγεί με φυσικό τρόπο στην έννοια του απείρου: Δεδομένου ενός συνόλου, αν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό ν, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια 1 προς 1 συνάρτηση από το απόκομμα φυσικών {1, 2, ..., ν} στο εν λόγω σύνολο, τότε λέμε ότι το σύνολο αυτό έχει άπειρο πλήθος στοιχείων. Άπειρο λοιπόν ονομάζουμε τον πληθικό αριθμό κάθε συνόλου μη πεπερασμένου πλήθους στοιχείων. Είναι φανερό ότι ένα τέτοιο σύνολο με άπειρο πληθικό αριθμό είναι το ίδιο το σύνολο  των φυσικών αριθμών. Ένα άλλο παράδειγμα άπειρου συνόλου είναι το σύνολο όλων των θετικών αρτίων {2, 4, 6, κ.ο.κ.} που συμβολίζεται και με 2ℕ. Το επόμενο ερώτημα θα αποκαλύψει γρήγορα τις παραξενιές που κρύβει το άπειρο.

- ΄Οσα ισχύουν για τη σύγκριση και τη μέτρηση πεπερασμένων συνόλων εξακολουθούν να ισχύουν και για σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα ας προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε το σύνολο ℕ των φυσικών με το σύνολο 2ℕ των θετικών αρτίων. Καταρχάς παρατηρούμε ότι το 2ℕ είναι γνήσιο υποσύνολο του ℕ. Πράγματι, όλοι οι θετικοί άρτιοι περιλαμβάνονται στο ℕ και επιπλέον υπάρχουν άπειροι θετικοί περιττοί που ενώ ανήκουν στο ℕ, δεν ανήκουν στο 2ℕ. Βασισμένη σε αυτήν την παρατήρηση, η διαίσθηση μας λέει ότι το πλήθος των φυσικών αριθμών είναι σαφώς μεγαλύτερο από εκείνο των θετικών αρτίων. Μάλιστα θα ήταν λογικοφανές να πούμε ότι το πλήθος των φυσικών είναι διπλάσιο από εκείνο των θετικών αρτίων. Σωστά; Λάθος! Θεωρούμε τη συνάρτηση ƒ(ν) = 2νπου σε κάθε φυσικό ν αντιστοιχεί το διπλάσιό του. Για παράδειγμα, η συνάρτηση αυτή αντιστοιχεί το 1 στο 2, το 2 στο 4, το 3 στο 6, κ.ο.κ. Η συνάρτηση αυτή είναι 1 προς 1 αφού αντιστοιχεί κάθε φυσικό σε έναν ακριβώς θετικό άρτιο και δεν αφήνει κανέναν θετικό άρτιο χωρίς ταίρι. Κατασκευάσαμε λοιπόν μια 1 προς 1 συνάρτηση από το ℕ στο 2ℕ, πράγμα που αποδεικνύει ότι ℕ~2ℕ. Έχουμε δηλαδή ένα σύνολο το οποίο έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με ένα γνήσιο υποσύνολό του! Κάτι τέτοιο κατ' ουδέναν τρόπο μπορεί να συμβεί σε πεπερασμένα σύνολα.

Το παράδειγμα αυτό μας δείχνει ότι όταν χειριζόμαστε το άπειρο θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί και να αποφεύγουμε το λάθος να του συμπεριφερόμαστε σαν να ήταν ένας απλός αριθμός. Επίσης το παράδειγμα αυτό μας εξοικειώνει με παράδοξες καταστάσεις που σχετίζονται με το άπειρο ώστε να μάθουμε να αποδεχόμαστε πιο εύκολα τα περίεργα (όπως θα δούμε) συμπεράσματα που απορρέουν από τη φύση του απείρου. Με παρόμοια συλλογιστική αποδεικνύεται ότι ισοδύναμο με το  είναι και το σύνολο ℤ των ακεραίων, αλλά και το σύνολο ℚ των ρητών αριθμών!

- Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ισοδύναμο με το ;

Το εύλογο ερώτημα που γεννάται στο σημείο αυτό είναι αν όμοια με τα υπόλοιπα σύνολα και το σύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ, το σύνολο που αποτελείται δηλαδή από όλους τους ρητούς και όλους τους άρρητους αριθμούς, είναι ισοδύναμο με το ℕ. Η απάντηση αυτή τη φορά είναι όχι! Με αρκετά πιο δύσκολο τρόπο, αποδεικνύεται ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από εκείνο των φυσικών. Εδώ η διαίσθηση μας πέφτει μέσα. Το περίεργο τώρα όμως είναι ότι έχουμε δυο άπειρα σύνολα με διαφορετικό πλήθος στοιχείων. Δύο διαφορετικά δηλαδή άπειρα από τα οποία το ένα είναι μεγαλύτερο του άλλου! Πόσο εύστοχη ήταν η ερώτηση των ανηψιών μου...! Δεδομένου ότι υπάρχουν διαφορετικά άπειρα, οι μαθηματικοί έχουν συμφωνήσει να συμβολίζουν το πλήθος των φυσικών και όλων των ισοδύναμων με αυτά συνόλων με ℵ0 (Άλεφ μηδέν1), ενώ το πλήθος των πραγματικών και όλων των ισοδύναμων με αυτούς συνόλων με το αγγλικό γράμμα c, από το continuum (συνεχές). Για αυτά τα δύο άπειρα επομένως ισχύει ℵ0 < c

- Υπάρχει κάποιο άπειρο που να βρίσκεται μεταξύ του ℵ0 και του c;

Αυτό είναι πραγματικά ενδιαφέρον ερώτημα και έχει επικρατήσει στους κύκλους των μαθηματικών ως «Η υπόθεση του Συνεχούς». Πιο συγκεκριμένα, η υπόθεση του συνεχούς ισχυρίζεται ότι δεν υπάρχει τέτοιο άπειρο. Η υπόθεση αυτή προτάθηκε αρχικά από τον Georg Cantor και παρουσιάστηκε από τον David Hilbert ως ένα από τα 23 άλυτα μαθηματικά προβλήματα στο μεγάλο μαθηματικό συνέδριο στο Παρίσι, το 1900.


Georg Cantor (3 Μαρτίου 1845 - 6 Ιανουαρίου 1918).

Η υπόθεση του συνεχούς παρέμενε αναπόδεικτη μέχρι που το 1940 ο κατά πολλούς μεγαλύτερος μαθηματικός του 20ού αιώνα Kurt G­­ödel απέδειξε ότι δεν μπορεί να διαψευσθεί από τα μαθηματικά αξιώματα. Αυτό αν και όχι απόδειξη, ήταν μια ένδειξη ότι η υπόθεση του συνεχούς ισχύει. Προς μεγάλη έκπληξη όλων όμως, το 1963 ο Paul Cohen απέδειξε ότι και η άρνηση της υπόθεσης δεν μπορεί να διαψευσθεί στα πλαίσια του αξιωματικού συστήματος των μαθηματικών. Απέδειξε δηλαδή ότι αν και η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να διαψευσθεί, ωστόσο δεν μπορεί ούτε και να αποδειχτεί με τη χρήση των μαθηματικών αξιωμάτων. Συνεπώς, συνδυάζοντας κάποιος τα δυο αυτά αποτελέσματα, μπορεί να θεωρήσει είτε ότι ισχύει, είτε ότι δεν ισχύει, χωρίς να περιπέσει σε καμία απολύτως αντίφαση! Φυσικά οι αποδείξεις τόσο του Gödel όσο και του Cohen υπερβαίνουν κατά πολύ τους σκοπούς αυτού του άρθρου και προϋποθέτουν βουτιά στα έγκατα των μαθηματικών γνώσεων για να γίνουν κατανοητές. 

- Υπάρχει κάποιο άπειρο που να βρίσκεται πέρα από το c;

Αν εντυπωσιαστήκατε με τα παραπάνω, τώρα έρχεται η μεγαλύτερη έκπληξη. Ακόμη κι αν διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά άπειρα, ακόμη κι αν ήρθαμε αντιμέτωποι με την υπόθεση του συνεχούς, δεν νιώθουμε και τόσο περίεργα καθώς όλα αυτά αναφέρονται στα γνώριμα σε όλους μας σύνολα  των φυσικών και  των πραγματικών αριθμών. Είδαμε μάλιστα ότι το ℵ0 είναι το μικρότερο άπειρο καθώς πριν από αυτό υπάρχουν οι πεπερασμένοι αριθμοί. Όλα καλά λοιπόν μέχρι εδώ. Τι γίνεται όμως πέρα από το c; Υπάρχει άπειρο μεγαλύτερο από αυτό; Ο Cantor βασισμένος σε ένα μαθηματικό αξίωμα, το αξίωμα του δυναμοσυνόλου2, έδειξε τον τρόπο κατασκευής μιας ακολουθίας απείρων ℵ0, ℵ1, ℵ2, κ.ο.κ, στην οποία το ℵ1 ταυτίζεται με το c. Απέδειξε δηλαδή όχι ότι απλά υπάρχει ένα, αλλά άπειρα... άπειρα μετά το c των πραγματικών!

- Τελειώνει αυτή η ιστορία με τα άπειρα πουθενά επιτέλους;

Από την προηγούμενη διαδικασία είναι φανερό ότι ο Cantor δημιούργησε μια ακολουθία απείρων με δείκτες τους φυσικούς αριθμούς. Συνεχίζοντας λοιπόν αυτή τη διαδικασία θα φτάσουμε κάποια στιγμή να ορίσουμε τον ℵ0, δηλαδή τον Άλεφ με δείκτη το πλήθος ℵ0 των φυσικών και συνεχίζοντας θα φτάσουμε στον ℵκαι πάει λέγοντας. Και αν νομίζετε ότι εδώ τελειώσαμε κάνετε μεγάλο λάθος. Με μαθηματικά που υπερβαίνουν κατά πολύ τους σκοπούς αυτού του κειμένου μπορούμε να ορίσουμε αριθμούς που δεν μπορούν να προσεγγιστούν από κάτω με την παραπάνω κατασκευαστική διαδικασία. Τους αριθμούς αυτούς ονομάζουμε απρόσιτους. Συνεχίζοντας μπορούμε να ορίσουμε αριθμούς που δεν μπορούν να προσεγγιστούν από μια ακολουθία απρόσιτων. Τους αριθμούς αυτούς ονομάζουμε υπεραπρόσιτους και η διαδικασία αυτή συνεχίζεται εις το διηνεκές... ή μήπως όχι; Ο Cantor πίστευε πως αυτό το ταξίδι στο σύμπαν των απείρων τερματίζεται κάποτε σε ένα «απόλυτο άπειρο» το οποίο ταύτιζε με το Θεό! 

- Πού καταλήγουμε τελικά;

Γυρνώντας εκεί από όπου ξεκινήσαμε, στην απλή ερώτηση των ανηψιών μου αν υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το άπειρο, η απάντηση είναι ότι σίγουρα υπάρχει κάτι μετά το άπειρο που μας επέτρεψε να κάνουμε ένα ταξίδι με ή χωρίς προορισμό. Δεν ξέρω αν με αυτό το ταξίδι στο άπειρο «αγγίξαμε» το Θεό, φτάσαμε όμως σίγουρα στα σύνορα μεταξύ Μαθηματικών και Φιλοσοφίας.


1Το πρώτο γράμμα του Σημιτικού αλφαβήτου.
2Το αξίωμα του δυναμοσυνόλου προέρχεται από την αξιωματική θεωρία συνόλων ZF, από τους Zermelo-Fraenkel, και λέει ότι για κάθε σύνολο στοιχείων, υπάρχει το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του.