Wednesday, 20 July 2016

Απίθανοι Chauffeur

Ο επόμενος γρίφος είναι αρκετά απλός καθώς δεν απαιτεί εξειδικευμένες γνώσεις μαθηματικών και φυσικής. Εντούτοις αποδεικνύεται ότι εύκολα παραπλανά τη διαίσθησή μας.

«Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση $s \, \mbox{km}.$ Η μέση του ταχύτητα $u_1$ κατά το πρώτο μισό της διαδρομής είναι $100 \, \mbox{km/h}.$ Ποια πρέπει να είναι η μέση του ταχύτητα $u_2$ στο δεύτερο μισό της διαδρομής ώστε η συνολική μέση του ταχύτητα $u$ (αυτή δηλαδή που υπολογίζεται για όλη τη διαδρομή) να είναι $200 \, \mbox{km/h}$;»

Για να δείτε τη λύση πατήστε «Read more»

Λύση:

Οι συνηθέστερες απαντήσεις που δίνονται χωρίς χαρτί και μολύβι είναι είτε $300 \, \mbox{km/h}$ είτε $400 \, \mbox{km/h}$ ή τελοσπάντων κάτι ανάμεσα στο $300$ και στο $400 \, \mbox{km/h}$. Προφανώς θα σκεφτεί κάποιος για να αναφέρομαι σε αυτές τις απαντήσεις, μάλλον δεν είναι σωστές. Και όντως έτσι ακριβώς είναι. Ποια είναι όμως η σωστή απάντηση; Τα κυρίαρχα συναισθήματα στο άκουσμα της σωστής απάντησης είναι συνήθως έκπληξη και αμφιβολία. Όσο παράδοξο κι αν ακούγεται, το πρόβλημα αυτό είναι αδύνατο! Με άλλα λόγια με όποια μέση ταχύτητα κι αν τρέξει το αυτοκίνητο στο δεύτερο μισό της διαδρομής, δεν πρόκειται να καταφέρει να διπλασιάσει τη συνολική του μέση ταχύτητα. 

Το κλειδί για την επίλυση αλλά και κατανόηση του γρίφου αυτού είναι η εισαγωγή του χρόνου. Έστω λοιπόν $t_1$ ο χρόνος κατά τον οποίο διανύθηκε το πρώτο μισό της διαδρομής και $t_2$ ο χρόνος που αντιστοιχεί στο υπόλοιπο μισό (βλ. Σχήμα).

Τότε προφανώς ο συνολικός χρόνος που χρειάζεται το αυτοκίνητο για να διανύσει όλη τη διαδρομή $s$ ισούται με $t_1 + t_2$. Οι μέσες ταχύτητες που αντιστοιχούν σε όλη τη διαδρομή, στο πρώτο μισό και στο δεύτερο μισό της διαδρομής, δίνονται με αυτή τη σειρά από τους παρακάτω τύπους:
$$u = \frac{s}{t_1 + t_2}, \,\,\,\,\,\,\,\, u_1 = \frac{\frac{s}{2}}{t_1}, \,\,\,\,\,\,\,\, u_2 = \frac{\frac{s}{2}}{t_2}$$
Εφόσον όμως $u_1 = 100 \, \mbox{km/h}$ και θέλουμε $u = 200 \, \mbox{km/h}$, απαιτούμε $u = 2 u_1$, το οποίο με χρήση των πιο πάνω τύπων ανάγεται σε
$$u = 2 u_1 \Leftrightarrow \frac{s}{t_1 + t_2} = 2 \frac{\frac{s}{2}}{t_1} \Leftrightarrow \frac{1}{t_1 + t_2} = \frac{1}{t_1} \Leftrightarrow t_1 + t_2 = t_1 \Leftrightarrow t_2 = 0$$
Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι προς την αναζήτηση της ταχύτητας $u_2$, υπολογίσαμε ποια θα πρέπει να είναι η τιμή του χρονικού διαστήματος $t_2$. Η δεύτερη παρατήρηση είναι ότι $t_2 = 0$, πράγμα που σημαίνει ότι ο χρόνος που θα χρειαστούμε για να πετύχουμε το ζητούμενο θα πρέπει να είναι μηδενικός! Αυτό δείχνει φυσικά ότι το πρόβλημα που προσπαθούμε να λύσουμε είναι αδύνατο, εφόσον δεν υπάρχει αρκετός χρόνος για να δημιουργήσουμε την επιθυμητή συνολική μέση ταχύτητα. Με μια δεύτερη ανάγνωση του γρίφου βέβαια αυτό είναι εν τέλει αναμενόμενο, αρκεί να σκεφτούμε ότι για να πετυχαίναμε συνολική μέση ταχύτητα $u = 200 \, \mbox{km/h}$, θα έπρεπε στο χρόνο που δαπανήσαμε στο πρώτο κομμάτι να έχουμε ήδη φτάσει στο τέλος της διαδρομής!

Αφού ερμηνεύσαμε το πρόβλημα και είδαμε ότι είναι αδύνατο, ας ολοκληρώσουμε και τον αρχικό μας στόχο που είναι η αναζήτηση του $u_2$. Αντικαθιστώντας λοιπόν το $t_2 = 0$ στον τύπο του $u_2$ λαμβάνουμε 
$$u_2 = \frac{\frac{s}{2}}{0} = \infty$$
κάτι που επιβεβαιώνει την αρχική μας απάντηση δίνοντας μια λίγο διαφορετική ερμηνεία στο πρόβλημα: Για να διπλασιάσουμε τη συνολική μέση ταχύτητα θα πρέπει να απειρίσουμε την μέση ταχύτητα στο δεύτερο μισό της διαδρομής, πράγμα φυσικά αδύνατο. 

No comments:

Post a Comment