Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Επιμύθιο)

Οι τρεις προηγούμενες ιστοριούλες έχουν κάτι κοινό μεταξύ τους. Και στις τρεις, ο φανερός πρωταγωνιστής είναι ο Α και ο κρυφός πρωταγωνιστής ο αδερφός του! Εκτός από αυτό το στοιχείο της πλοκής όμως οι τρεις ιστορίες έχουν κοινό κι ένα ενδιαφέρον μαθηματικό στοιχείο. Ο Α βρέθηκε αντιμέτωπος με τρία διαφορετικά διλήμματα και σε όλα, όπως θα δούμε, ακολούθησε τη λάθος στρατηγική! Ήταν όμως πράγματι διαφορετικά μεταξύ τους τα τρία διλήμματα; Για να το διαπιστώσουμε, θα πρέπει πρώτα να εξετάσουμε το καθένα χωριστά. 

Το δίλημμα της κατσίκας

Σε μία παλαιότερη ανάρτησή μου με τίτλο "με τη χρήση μαθηματικού φορμαλισμού, παρουσιάζεται η αυστηρή απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, την οποία μπορεί να βρει κανείς σε διδακτικά συγγράμματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων [1]. 

Με δεδομένο ότι ο κύριος Α έχει επιλέξει την πόρτα Α, θεωρούμε τα εξής γεγονότα:

\( W_i \) είναι το γεγονός πίσω από την πόρτα \( i \) να βρίσκεται το έπαθλο, όπου \( i \in \{A, B, \Gamma\} \).

\( R_j \) είναι το γεγονός να αποκαλυφθεί το περιεχόμενο που βρίσκεται πίσω από την πόρτα \( j \), όπου \( j \in \{A, B, \Gamma\} \).

Σχετικά εύκολα προκύπτουν οι τιμές για τις διάφορες δεσμευμένες πιθανότητες \( P(R_j | W_i), i, j \in \{A, B, \Gamma\} \), που εκφράζουν την πιθανότητα ο παρουσιαστής να αποκαλύψει το περιεχόμενο της πόρτας \( j \), δεδομένου ότι το έπαθλο βρίσκεται πίσω από την πόρτα \( i \). Οι τιμές αυτές βρίσκονται συγκεντρωμένες στον 

Πίνακας 1

Επιπλέον, προφανώς ισχύει:

\[ P(W_A) = P(W_B) = P(W_{\Gamma}) = \frac{1}{3}. \]

Εμείς, στο πρόβλημά μας θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίζει η πόρτα Α, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β. Δηλαδή, μας ενδιαφέρει η ποσότητα \( P(W_A | R_B) \). Κάνοντας χρήση του Θεωρήματος του Bayes¹

\[ P(W_A | R_B) = \frac{P(R_B | W_A) \cdot P(W_A)}{P(R_B | W_A) \cdot P(W_A) + P(R_B | W_B) \cdot P(W_B) + P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma})}. \]

Αντικαθιστώντας τις τιμές από τον

\[ P(W_A | R_B) = \frac{1}{3}, \] 

δηλαδή ότι η πιθανότητα παραμένει ίση με την αρχική. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται το έπαθλο στην πόρτα Γ, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β, ισούται με

\[ P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma})}{P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma}) + P(R_B | W_A) \cdot P(W_A) + P(R_B | W_B) \cdot P(W_B)}, \]

που μετά τις αντικαταστάσεις καταλήγει στη σχέση 

\[ P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{2}{3}. \] 

Φυσικά στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν χρησιμοποιούσαμε την προφανή σχέση 

\[ P(W_A | R_B) + P(W_B | R_B) + P(W_{\Gamma} | R_B) = 1 \Leftrightarrow P(W_{\Gamma} | R_B) = 1 - P(W_A | Ρ_Β), \]

αφού προφανώς ισχύει \( P(W_B | R_B) = 0 \). Συνεπώς, η πιθανότητα να κερδίσουμε το έπαθλο αν αλλάξουμε πόρτα μετατρέπεται από \( \frac{1}{3} \) σε \( \frac{2}{3} \), δηλαδή διπλασιάζεται!

Το δίλημμα του κατάδικου

Κάνοντας τις αντιστοιχίες

αποφυλακισθείς \( \leftrightarrow \) κατσίκα 

κατάδικος \( \leftrightarrow \) έπαθλο

εύκολα διαπιστώνουμε ότι το δίλημμα του κατάδικου στην ουσία ταυτίζεται με το δίλημμα της κατσίκας, με δύο όμως σημαντικές διαφορές: 

α) Στο δίλημμα της κατσίκας, το επιθυμητό ενδεχόμενο είναι ένα, ενώ στο δίλημμα του κατάδικου τα επιθυμητά ενδεχόμενα είναι δύο

β) Ενώ στο δίλημμα της κατσίκας έχουμε τη δυνατότητα να αλλάξουμε επιλογή, στην περίπτωση του κατάδικου, η αρχική μας επιλογή, ότι δηλαδή είμαστε ο εαυτός μας, παραμένει αναγκαστικά και η τελική μας επιλογή...

Κάνοντας χρήση ακριβώς των ίδιων μαθηματικών σχέσεων, όπως παραπάνω, καταλήγουμε στο ότι:

\( P(W_A | R_B) = \frac{1}{3} \) και \( P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{2}{3} \),

όπου αυτή τη φορά χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς:

\( W_i \) είναι το γεγονός να

\( R_j \) είναι το γεγονός ο φρουρός να ανακοινώσει το όνομα του κατάδικου \( j \), όπου \( j \in \{A, B, \Gamma\} \).

Οι τελικές σχέσεις εκφράζουν ότι η πιθανότητα να μην αποφυλακιστεί ο Α, δεδομένου ότι ο φρουρός αποκάλυψε το όνομα του Β, εξακολουθεί να είναι \( \frac{1}{3} \), όσο δηλαδή και στην αρχή. Ισοδύναμα, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί παραμένει \( \frac{2}{3} \). Με άλλα λόγια, η πληροφορία ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, αντίθετα με αυτό που πίστευε ο Α, δεν επηρεάζει την πιθανότητα του ίδιου να αποφυλακιστεί. Πράγμα, αυτή τη φορά, μάλλον αναμενόμενο! 

Αντίστοιχα, ισχύει ότι από τη στιγμή που αποκαλύπτει ο φρουρός στον Α ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί ο κατάδικος Γ μειώνεται σε \( \frac{1}{3} \). Αυτό το αποτέλεσμα είναι αδιαμφισβήτητα εντυπωσιακό! Κάτι παρόμοιο συμβαίνει άλλωστε και στο δίλημμα της κατσίκας, στο οποίο μετά την αποκάλυψη της μίας κατσίκας πίσω από την πόρτα Β, η πιθανότητα στην πόρτα Γ να βρίσκεται επίσης κατσίκα μειώνεται σε \( \frac{1}{3} \), στο μισό δηλαδή της αρχικής που ήταν \( \frac{2}{3} \). Γι αυτό άλλωστε και συμφέρει η αλλαγή της πόρτας!

Το δίλημμα του φύλου

Μέχρι στιγμής, όπως είδαμε, τα δύο πρώτα διλήμματα ουσιαστικά ταυτίζονται. Τι σχέση όμως έχει με αυτά το τρίτο δίλημμα; Ήδη μια εμφανής διαφορά είναι ότι ενώ στα δύο πρώτα διλήμματα τα εμπλεκόμενα μέρη είναι τρία - δύο κατσίκες και ένα έπαθλο στο πρώτο, δύο αποφυλακισθέντες και ένας κατάδικος στο δεύτερο - στο τρίτο δίλημμα είναι δύο, τα δυο παιδιά. Κι όμως, όπως θα διαπιστώσουμε σύντομα και το τρίτο δίλημμα, υπό μία ευρεία έννοια, ταυτίζεται με τα άλλα δύο!

Αρχικά, εφόσον τα δύο πρώτα διλήμματα ταυτίζονται, αρκεί να μελετήσουμε τη σχέση του διλήμματος του φύλου με ένα από τα δύο. Χωρίς καμιά ιδιαίτερη προτίμηση, ας το κάνουμε αυτό με τη βοήθεια του διλήμματος της κατσίκας. Θεωρούμε τις εξής αντιστοιχίες: 

κατσίκα \( \leftrightarrow \) αγόρι 

αυτοκίνητο \( \leftrightarrow \) κορίτσι

Στο δίλημμα της κατσίκας γνωρίζουμε εξ αρχής ότι μία τουλάχιστον από τις πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα. Έστω τώρα ότι με κάποιον τρόπο αγνοούμε την ύπαρξη της πόρτας Α, αν και το κοινό που παρακολουθεί γνωρίζει για αυτή. Είναι προφανές ότι από τη στιγμή που καθοριστεί ποια από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, η πόρτα που απομένει μπορεί να περιέχει είτε κατσίκα είτε αυτοκίνητο. Αυτό που τελικά όμως περιέχει η πόρτα που απομένει, καθορίζει αυτόματα για το κοινό το περιεχόμενο της πόρτας Α, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι, όπως έχουμε ήδη πει, εμείς δεν γνωρίζουμε καν την ύπαρξή της. Για εμάς λοιπόν, μία τουλάχιστον από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, κατ' αντιστοιχία με το ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά είναι αγόρι.

Ας πάμε τώρα στο δίλημμα του αγοριού. Για ευκολία, στα επόμενα σε κάθε παιδί θα τοποθετούμε μία ταμπέλα με την ένδειξη ΑΓΟΡΙ ή ΚΟΡΙΤΣΙ, ανάλογα με το φύλο του. Εφόσον γνωρίζουμε εξ αρχής ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά, τα οποία ας ονομάσουμε Β και Γ, είναι αγόρι, χρειαζόμαστε οπωσδήποτε μία ταμπέλα ΑΓΟΡΙ ώστε να την εκχωρήσουμε κατάλληλα στο παιδί Β ή Γ. Από τη στιγμή που συμβεί αυτό, το παιδί που απομένει, το Γ ή Β αντίστοιχα, μπορεί να είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι. Συνεπώς, χρειαζόμαστε δύο ακόμη ταμπέλες, μια ΑΓΟΡΙ και μία ΚΟΡΙΤΣΙ, ώστε να μπορούμε να του εκχωρήσουμε τη μία από τις δύο. Με αυτόν τον τρόπο θα αποκτήσουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των δύο παιδιών Β και Γ. Σε κάθε συνδυασμό όμως, μία ταμπέλα από τις δύο προηγούμενες θα μείνει αχρησιμοποίητη. Την ταμπέλα αυτή μπορούμε να την τοποθετήσουμε σε ένα φανταστικό παιδί Α. Το παιδί αυτό παίζει το ρόλο της πόρτας Α στο δίλημμα της κατσίκας και με αυτό τον τρόπο η ισοδυναμία μεταξύ των δύο προβλημάτων έχει αποκατασταθεί! Η παραπάνω ανάλυση φαίνεται με παραστατικό τρόπο στην Εικόνα 1.

Εικόνα 1.

Συνοψίζοντας, με βάση την παραπάνω θεώρηση, θα μπορούσαμε να πούμε ότι το δίλημμα του αγοριού αποτελεί περιορισμό των δύο άλλων διλημμάτων ή ισοδύναμα ότι τα δύο πρώτα διλήμματα αποτελούν επέκταση του διλήμματος του αγοριού. Έτσι, με βάση τα προηγούμενα συμπεράσματα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα και το παιδί Β να είναι αγόρι ταυτίζεται με την πιθανότητα οι πόρτες Β και Γ να περιέχουν κατσίκα που είναι ίση με \( \frac{1}{3} \). Ισοδύναμα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα το παιδί Β να είναι κορίτσι ισούται με \( \frac{2}{3} \). Συνεπώς, ο Α θα ήταν προτιμότερο να αγοράσει ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι και μία κούκλα!

Κλείνοντας, για λόγους πληρότητας, παρακάτω δίνουμε και την κλασική απόδειξη αυτού του συμπεράσματος.

Κλασική απόδειξη

Όλα τα απλά γεγονότα του δειγματοχώρου μας είναι προφανώς τα ΑΑ, ΑΚ, ΚΑ, ΚΚ, όπου με Α και Κ συμβολίζουμε το αγόρι και το κορίτσι, αντίστοιχα. Στα επόμενα, με \( A_n \) θα συμβολίζουμε το γεγονός \( n \) 

Αρχικά, οι πιθανότητες για το φύλο των δύο παιδιών είναι

\( P(A_0) = \frac{1}{4} \), αφού \( A_0 = \{KK\} \),

\( P(A_1) = \frac{1}{2} \), αφού \( A_1 = \{AK, KA\} \)

\( P(A_2) = \frac{1}{4} \), αφού \( A_2 = \{AA\} \)

Από τη στιγμή όμως που υπάρχει η πληροφορία ότι ένα τουλάχιστον παιδί είναι αγόρι, αποκλείεται από το δειγματοχώρο το απλό γεγονός ΚΚ. Συνεπώς μένουν τρία γεγονότα, τα \( \{AA, AK, KA\} \). Τότε, η πιθανότητα να είναι και τα δύο παιδιά αγόρια γίνεται

\[ P(A_2 | A_1 \cup A_2) = \frac{1}{3} \]

και φυσικά η πιθανότητα να είναι το ένα παιδί αγόρι και το άλλο κορίτσι είναι

\[ P(A_1 | A_1 \cup A_2) = \frac{2}{3}. \]

¹Bayes Thomas (1702 - 1761): Άγγλος μαθηματικός και φιλόσοφος, ο οποίος πρώτος ανέπτυξε το γενικό τύπο εναλλαγής μεταξύ δεσμευμένων πιθανοτήτων \( P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \), που φέρει τιμητικά το όνομά του.

[1] Στρατής Κουνιάς, Χρόνης Μωυσιάδης, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι, Κλασική Πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανομές, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη 1999.

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 3ο)

Μετά από μερικές μέρες αφότου άφησε τη φυλακή, ο Α έλαβε ένα απρόσμενο γράμμα από το φρουρό της φυλακής. Με το γράμμα αυτό του ανακοίνωνε ότι τα δύο παιδιά του μυστηριώδους προσώπου που τον είχε βοηθήσει να αποφυλακιστεί έχουν προσεχώς γενέθλια. Με αφορμή λοιπόν αυτό το γεγονός τον προσκαλούσε στο σπίτι του ώστε να γνωριστούν από κοντά. Ο Α, αποδέχτηκε με προθυμία την πρόταση και αισθάνθηκε την ανάγκη να αγοράσει από ένα δώρο για κάθε παιδί. Επειδή όμως δεν γνώριζε το φύλο των παιδιών, έστειλε γράμμα πίσω στο φρουρό, μήπως και μπορούσε με κάποιον τρόπο να μάθει. Η απάντηση που έλαβε ήταν η εξής:

«Αγαπητέ μου, δυστυχώς δεν γνωρίζω ακριβώς το φύλο των δύο παιδιών, ωστόσο έχω πληροφορηθεί ότι ένα τουλάχιστον από αυτά είναι αγόρι. Ελπίζω η πληροφορία αυτή να σταθεί αρκετή ώστε να σε βοηθήσει να πάρεις τη σωστή απόφαση για τα δώρα που σκοπεύεις να αγοράσεις».

«Η πληροφορία ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά είναι αγόρι δεν μου φαίνεται ιδιαίτερα χρήσιμη, αφού το άλλο παιδί μπορεί να είναι κάλλιστα είτε αγόρι είτε κορίτσι με πιθανότητα \( \frac{1}{2} \)», συλλογίστηκε ο Α. Εφόσον το ένα παιδί είναι σίγουρα αγόρι, θα αγοράσω ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι. Γιατί δεν αγοράζω λοιπόν δύο ίδια αυτοκινητάκια, ώστε στην περίπτωση που είναι και τα δύο παιδιά αγόρια, τουλάχιστον να μην μαλώνουν...!

Κρατώντας λοιπόν από ένα αυτοκινητάκι σε κάθε χέρι, ξεκίνησε για το σπίτι του μυστηριώδους προσώπου. Όταν έφτασε μπροστά στην πόρτα, για κάποιον περίεργο λόγο, ένιωσε την καρδιά του να χτυπάει γρήγορα και τον ιδρώτα του να στάζει στο πάτωμα. Η πόρτα που είχε μπροστά του τού θύμισε την πόρτα που πριν από λίγο καιρό είχε διαλέξει στο τηλεπαιχνίδι και του είχε στερήσει την ελευθερία. Ταυτόχρονα όμως του θύμισε και την πόρτα του κελιού του που είχε περάσει για τελευταία φορά χωρίς επιστροφή, ανακτώντας τη χαμένη του ελευθερία. 

Αφήνοντας πίσω τα παλιά, τώρα ανυπομονούσε να δει αν είχε κάνει τη σωστή επιλογή με τα δώρα. Επιπλέον, σε όλη αυτή τη φόρτιση που ένιωθε ήρθε να προστεθεί και η αγωνία να μάθει ποιος επιτέλους κρύβεται πίσω από την αινιγματική φιγούρα που καθόρισε τη ζωή του. 

«Τουλάχιστον τώρα δεν κινδυνεύω να βρεθώ πάλι σε καμιά φυλακή», συλλογίστηκε και χτύπησε επιτέλους το κουδούνι. Σε ελάχιστα δευτερόλεπτα, η πόρτα άνοιξε διάπλατα και μέσα από ένα σκοτεινό διάδρομο βγήκαν σαν σίφουνες ένα γλυκύτατο αγοράκι και ένα πανέμορφο κοριτσάκι για να υποδεχτούν τον καλεσμένο.

«Φτου να πάρει» σκέφτηκε από μέσα του ο Α και φοβούμενος ότι άκουσαν τα παιδιά τη σκέψη του είπε ξεροβήχοντας «Χμ, αγαπητά μου παιδιά, έχω φέρει από ένα δώρο για τον καθένα σας» και στρέφοντας το βλέμμα του προς το κορίτσι συνέχισε κάπως πιο διστακτικά «δυστυχώς όμως έχω φέρει και στους δύο από ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι, καθώς περίμενα να δω δυο αγόρια. Βλέπεις γλυκιά μου δεν μπορούσα να κάνω κάτι καλύτερο, αφού η πιθανότητα να ήσουν αγόρι ήταν ίδια με το να ήσουν κορίτσι».

Δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τη φράση του και μέσα από την ανοιχτή πόρτα άκουσε μια γνώριμη φωνή να του απευθύνει σε τόνο φιλικό και ταυτόχρονα υπαινικτικό:

«Ατυχείν έξεστιν, αμελείν ουκ έξεστιν».

«Μα...» πρόλαβε να ξεφωνίσει ο Α, όταν μέσα από το σκοτάδι άρχισε να σχηματίζεται μια όψη, η οποία όσο πιο κοντά πλησίαζε τόσο του θύμιζε κάτι. Ώσπου η εικόνα συμπληρώθηκε και ο Α έμεινε με το στόμα ανοιχτό!

«Είπατε ευχαριστώ παιδιά στο θείο για τα δώρα που σας έφερε;», είπε ο οικοδεσπότης αφού έβγαλε τη μάσκα από το πρόσωπό του, σχηματίζοντας με το στόμα ένα πλατύ χαμόγελο!

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 2ο)

Μέσα στη φυλακή, μαζί με τον Α, σε διπλανά κελιά, βρίσκονταν δύο ακόμη κατάδικοι, ο Β και ο Γ, οι οποίοι καταδικάστηκαν και αυτοί για ακάλυπτα χρέη. Υπήρχε μάλιστα κι ένας φρουρός ο οποίος για λόγους ασφαλείας φορούσε μία μάσκα, ώστε να μην αποκαλύπτει το πρόσωπό του στους κρατούμενους. Μια μέρα, τους ανακοινώθηκε από τη διεύθυνση των φυλακών ότι μέσα στην επόμενη εβδομάδα, με τη μεσολάβηση ενός αγνώστου προσώπου το οποίο διέθεσε ένα μεγάλο χρηματικό ποσό, σε δύο από τους τρεις θα δινόταν χάρη και θα αφήνονταν ελεύθεροι. Όμως, στην ανακοίνωση δεν αναφέρονταν ακόμη ρητά τα ονόματά τους. Ο Α, που ήταν ανυπόμονος, ζήτησε από το φρουρό να μπει κρυφά στο γραφείο του διευθυντή για να μάθει αν θα αποφυλακιστεί. Έτσι κι έγινε. Επιστρέφοντας ο φρουρός στον Α, του είπε μέσα από το ειδικό μικρόφωνο επικοινωνίας με το κελί, ότι δυστυχώς, αν και κατάφερε να μπει στο γραφείο, το μόνο που πρόλαβε να δει ήταν το όνομα ενός εκ των δύο άλλων καταδίκων. Πριν προλάβει ωστόσο να του ανακοινώσει το όνομα που είδε, ο Α τον διέκοψε απότομα:

«Μη σε παρακαλώ! Δεν θέλω να μου πεις το όνομα που είδες, γιατί ενώ αρχικά η πιθανότητα να μην αποφυλακιστώ είναι προφανώς \( \frac{1}{3} \), αφού μου πεις το όνομα θα μείνουμε μόνο δύο οι υποψήφιοι, οπότε η πιθανότητα αυτή θα αυξηθεί στο \( \frac{1}{2} \)». 

«Αγαπητέ μου, μου ακούγεται παράλογο ότι η πληροφορία για το ποιος εκ των δύο άλλων καταδίκων θα αποφυλακιστεί μπορεί με κάποιον τρόπο να επηρεάσει τη δική σου πιθανότητα να αποφυλακιστείς, δεδομένου ότι ούτως ή άλλως γνωρίζεις εξαρχής ότι ένας από τους δυο τους είναι βέβαιο ότι θα αποφυλακιστεί! Ωστόσο, η απόφαση είναι δική σου και οφείλω να υπακούσω».

«Άσε! Την τελευταία φορά σε μια παρόμοια περίπτωση την πάτησα άσχημα...», είπε ο Α, έχοντας στο νου του το φιάσκο που υπέστη στο τηλεπαιχνίδι, χωρίς ωστόσο να δώσει περισσότερες εξηγήσεις στο φρουρό.

Αυτή τη φορά, η εξέλιξη ήταν αίσια, καθώς τελικά ο Α ήταν ένας από τους δύο που αποφυλακίστηκαν. Βγαίνοντας από την κεντρική πύλη της φυλακής, έριξε μια φευγαλέα ματιά πίσω του και νιώθοντας ότι στην περίπτωση αυτή ακολούθησε τη σωστή στρατηγική περπάτησε μέχρι το σπίτι του ευτυχισμένος.

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 1ο)

Ο κύριος Α τον τελευταίο καιρό διένυε μια δύσκολη περίοδο στη ζωή του. Ένα χρόνο πριν, είχε έρθει σε ρήξη με τον αδερφό του για τα κληρονομικά και οι δυο τους τότε δοκίμασαν να λύσουν τις διαφορές τους στα δικαστήρια. Ο Α έχασε τη δίκη και μαζί της την κληρονομιά και έκτοτε βρέθηκε σε ασφυκτική οικονομική στενότητα. Μέσα στη γενικότερη συμφορά του, η απόλυση από τη δουλειά του τις προηγούμενες μέρες, ήρθε να τον αποτελειώσει. 

Όντας στα πρόθυρα της οικονομικής εξαθλίωσης, ο Α έλαβε ένα περίεργο γράμμα από κάποιον άγνωστο αποστολέα. Ο αποστολέας ήταν φανερό ότι είχε γνώση της άσχημης κατάστασής του και τον παρότρυνε να πάρει μέρος στο γνωστό τηλεπαιχνίδι Let's make a deal με την ελπίδα να κερδίσει το μεγάλο έπαθλο, ώστε να ξεχρεώσει όλες του τις οφειλές και να συνεχίσει να ζει μια αξιοπρεπή ζωή. 

Όταν πήγε λοιπόν στο παιχνίδι, ο παρουσιαστής τον καλωσόρισε στο πλατό, όπου υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες. Όπως πάντα, εξήγησε εν συντομία τους κανόνες του παιχνιδιού, υπενθυμίζοντας ότι οι συντελεστές της παραγωγής, με τυχαίο τρόπο, είχαν τοποθετήσει στις δύο από τις τρεις πόρτες από μια κατσίκα, ενώ στην τρίτη είχαν βάλει το πολυπόθητο έπαθλο: μια επιταγή του ενός εκατομμυρίου ευρώ. Έπειτα, χωρίς επιπλέον καθυστέρηση, ζήτησε από τον Α να επιλέξει μία πόρτα. Ο Α, για ευνόητους λόγους, διάλεξε την πόρτα Α. 

Μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, από τα μεγάφωνα του στούντιο ακούστηκε μια παραμορφωμένη φωνή να δίνει εντολή να ανοίξει η πόρτα Β, ώστε να αποκαλυφθεί η μία από τις δύο κατσίκες. Η φωνή αυτή ανήκε στον άνθρωπο που βρισκόταν πίσω από τις κάμερες, ο οποίος ήταν γνωστός και ως «τέρας», γνώριζε τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και στην πραγματικότητα διηύθυνε την εξέλιξη του παιχνιδιού.

Αφού άνοιξε η πόρτα Β, το «τέρας» απευθυνόμενο στον Α του είπε με τη χαρακτηριστική του μπάσα φωνή:

«Αφού σου αποκαλύφθηκε η κατσίκα που βρίσκεται στην πόρτα Β, σου δίνεται τώρα η δυνατότητα να παραμείνεις στην αρχική σου επιλογή ή να αλλάξεις πόρτα και να πας στη Γ».

Ο Α με αποφασιστικότητα και μια δόση ειρωνείας απάντησε:

«Τα γνωρίζω καλά αυτά τα πονηρά κόλπα, όμως θα ήθελα να ξέρεις ότι δεν περνάνε σε μένα. Στην πραγματικότητα δεν μου έδωσες καμία πληροφορία, αφού ήταν ήδη γνωστό ότι μία τουλάχιστον από τις δύο πόρτες που άφησα περιέχει κατσίκα. Το ότι άνοιξες λοιπόν την πόρτα Β δεν αλλάζει την αρχική πιθανότητα να έχω επιλέξει το έπαθλο, που είναι \( \frac{1}{3} \)». 

«Αυτό που λες μοιάζει να είναι σωστό, ωστόσο θα πρέπει να σου θυμίσω ότι εκτός από την αυτονόητη πληροφορία που λες ότι σου έδωσα, επιπλέον σου έδειξα και πίσω από ποια συγκεκριμένη πόρτα βρίσκεται η κατσίκα», του αντιγύρισε το «τέρας» και συνέχισε «νιώθω λοιπόν την ανάγκη να σε ρωτήσω για δεύτερη φορά. Είσαι σίγουρος ότι παραμένεις στην αρχική σου απόφαση;», τον ρώτησε και παρά το γεγονός ότι κανείς δεν μπορούσε να δει το πρόσωπό του, ήταν σχεδόν βέβαιο ότι του έκλεισε το μάτι...

«Όσες φορές κι αν με ρωτήσεις αγαπητό μου «τέρας», δεν πρόκειται να μετακινηθεί ως δια μαγείας το περιεχόμενο πίσω από τις πόρτες. Παρακαλώ», απάντησε με αδιαλλαξία ο Α, κάνοντας νεύμα προς την πόρτα Α.

«Ατυχείν έξεστιν, αμελείν ουκ έξεστιν¹»

«Παρακαλώ να ανοίξει η πόρτα Α για να δούμε τι κρύβεται από πίσω», διέταξε αμέσως ο παρουσιαστής, ο οποίος παρακολουθούσε όλη αυτή την ώρα με αμείωτο ενδιαφέρον το διάλογο ανάμεσα στον Α και στο «τέρας».

Ο Α με την αγωνία του στο κατακόρυφο, είδε με απογοήτευση τη συνονόματη πόρτα να ανοίγει και να ξεπετιέται από μέσα μια ανέμελη κατσίκα. Η εξέλιξη ήταν θλιβερή. Αδυνατώντας να διευθετήσει τα χρέη του, δεν άργησε να βρεθεί πίσω από τα κάγκελα της φυλακής.

¹Αρχαιοελληνικό γνωμικό που σημαίνει «το να είσαι άτυχος επιτρέπεται, όμως το να αμελείς είναι ανεπίτρεπτο»

Κορώνα ή Γράμματα;

- Αν ένα κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τι θα ποντάρατε ότι θα φέρει στην ενδέκατη ρίψη; 

Η σωστή απάντηση δεν είναι καθόλου προφανής. Η πλειοψηφία τείνει να ποντάρει στην κορώνα, σε αυτό δηλαδή που έχει καιρό να εμφανιστεί. Ο λόγος είναι η λάθος ερμηνεία του περίφημου ισχυρού Νόμου των Μεγάλων Αριθμών. Ο νόμος αυτός λέει το εξής: 

Έστω ότι ένα πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται \( N \) φορές και έστω ότι η θεωρητική (a priori) πιθανότητα κάποιου γεγονότος \( A \) είναι \( p_Α \). Ορίζουμε ως σχετική συχνότητα πραγματοποίησης του \( A \) το πηλίκο \( f_A = \frac{N_A}{N} \), όπου \( N_A \) συμβολίζει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το γεγονός \( A \) στις \( N \) επαναλήψεις του πειράματος. Τότε, καθώς το \( N \) τείνει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα \( f_A \) συγκλίνει στην τιμή \( p_A \). Με άλλα λόγια, όσο περισσότερες φορές επαναλαμβάνεται το πείραμα, τόσο αναμένουμε η τιμή \( f_A \) να πλησιάσει την τιμή \( p_A \). 

Αρχικά, για να λύσουμε το πρόβλημα, είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι διαδοχικές ρίψεις του κέρματος είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι πιθανότητες δηλαδή για κορώνα ή γράμματα δεν μεταβάλλονται από τη μία ρίψη στην άλλη. Εδώ είναι άλλωστε και το σημείο στο οποίο ξεκινούν οι παρανοήσεις και τα σφάλματα, καθώς πολλοί θεωρούν ότι τα προηγούμενα αποτελέσματα επηρεάζουν με κάποιον «μεταφυσικό» τρόπο την επόμενη ρίψη. Κανένα κέρμα όμως, σε κανένα σημείο του πλανήτη δεν έχει μνήμη. Συνεπώς, το τι έφερε ένα κέρμα στο παρελθόν δεν επηρεάζει σε τίποτα το τι θα φέρει στο μέλλον. Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι δεσμευμένες (a posteriori) πιθανότητες, δεδομένου του αποτελέσματος μίας ρίψης, ταυτίζονται με τις a priori. 

Λόγω ακριβώς της ανεξαρτησίας των διαδοχικών επαναλήψεων, για να μπορέσουμε να αποφανθούμε που συμφέρει να ποντάρουμε, το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η a priori πιθανότητα για κάθε ενδεχόμενο. Στα επόμενα θεωρούμε τις a priori πιθανότητες \( p_K \) και \( p_{\Gamma} \), το κέρμα να φέρει κορώνα και γράμματα, αντίστοιχα. Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

Γνωστές a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η ιδανική εκδοχή. Η γνώση των a priori πιθανοτήτων κάποιου πειράματος συνήθως βασίζεται στους νόμους της φυσικής ή σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αν γνωρίζουμε τα \( p_K \) και \( p_{\Gamma} \), τότε φυσικά ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. 

α) Αν \( p_K = p_{\Gamma} \), αν δηλαδή η πιθανότητα το κέρμα να φέρει γράμματα ισούται με την πιθανότητα να φέρει κορώνα, τότε δεν έχει σημασία που θα ποντάρουμε, αφού σε κάθε περίπτωση προσδοκούμε να κερδίσουμε με πιθανότητα \( 50\% \). Σε αυτήν την περίπτωση το κέρμα λέγεται δίκαιο. Πολλοί θεωρούν ότι εφόσον το κέρμα έφερε 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, κατά κάποιον τρόπο «οφείλει» να φέρει κάποια στιγμή κορώνα ώστε οι σχετικές συχνότητες των γεγονότων «κορώνα» και «γράμματα» να πλησιάσουν την αναμενόμενη τιμή \( 50\% \). Και όντως, περιμένουμε κάποια στιγμή να φέρει κορώνα, όχι όμως λόγω του παρελθόντος, αλλά για τον απλούστατο λόγο ότι το \( 50\% \) αποτελεί μεγάλη τιμή πιθανότητας. Για να συμβεί τώρα η σύγκλιση των σχετικών συχνοτήτων, το μόνο που «οφείλει» το κέρμα είναι να συνεχίσει να φέρνει in perpetuum κορώνα ή γράμματα με πιθανότητα \( 50\% \) το καθένα. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό αν υποθέσουμε για παράδειγμα ότι στις επόμενες 999990 φορές το κέρμα φέρει 499995 φορές κορώνα και 499995 φορές γράμματα. Τότε, παρότι στην αρχή είχαμε \( f_K = 0\% \) και \( f_{\Gamma} = 100\% \), στο τέλος οι τιμές αυτές ανανεώνονται στις \( f_K = \frac{499995}{1000000} = 49.9995\% \) και \( f_{\Gamma} = \frac{1000005}{1000000} = 50.0005\% \) αντίστοιχα. Και οι δύο δηλαδή πλησιάζουν πάρα πολύ τη θεωρητική τιμή \( 50\% \).

β) Στην πραγματικότητα, πολλές φορές κάνουμε κάποιες θεωρητικές παραδοχές οι οποίες δεν ισχύουν απαραίτητα και στην πράξη. Το κέρμα δηλαδή μπορεί να μην είναι και τόσο δίκαιο όσο θα περιμέναμε. Για παράδειγμα, το ανάγλυφο σχήμα του, έστω και ανεπαίσθητα καταστρέφει την ομοιομορφία του κέρματος, με αποτέλεσμα να στρεβλώνεται το ισοπίθανο των δύο όψεων. Στην περίπτωση αυτή φυσικά συμφέρει να ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Αν για παράδειγμα, \( p_{\Gamma} > p_K \), τότε πρέπει να ποντάρουμε ξανά στα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι τις 10 τελευταίες φορές ήρθαν γράμματα.

Άγνωστες a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η πιο ρεαλιστική εκδοχή. Η a priori πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν είναι σε όλα τα πειράματα γνωστή. Υπάρχουν για παράδειγμα πειράματα, στα οποία δεν μπορούμε να κάνουμε καμία υπόθεση βασιζόμενοι σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αυτό που γίνεται συχνά στην πράξη είναι η εκτίμηση των a priori πιθανοτήτων των γεγονότων μέσα από την επανάληψη του πειράματος τύχης. Με κάθε επανάληψη του πειράματος μοντελοποιούμε καλύτερα τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου χρησιμοποιώντας τις σχετικές συχνότητες ως εκτιμητές. Στην περίπτωση αυτή συνεπώς, αν και οι προηγούμενες ρίψεις δεν επηρεάζουν τις επόμενες, μας παρέχουν πολύτιμη πληροφορία ώστε να εκτιμήσουμε μέσα σε συγκεκριμένα διαστήματα εμπιστοσύνης τις άγνωστες a priori πιθανότητες των δύο γεγονότων. 

Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τις a priori πιθανότητες των ενδεχομένων κορώνα και γράμματα, αν το κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τότε μία καλή τακτική είναι να ποντάρουμε και την ενδέκατη φορά στα γράμματα! Οι 10 προηγούμενες φορές υποδεικνύουν μία τάση (bias) του κέρματος να φέρνει περισσότερες φορές γράμματα. Αν για τις 10 ρίψεις το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται παράλογο, αρκεί να σκεφτούμε ένα κέρμα το οποίο έχει φέρει 1000000 συνεχόμενες φορές γράμματα! Τότε, σίγουρα όλοι θα σκεφτόμασταν ότι το γεγονός αυτό μάλλον δεν είναι καθόλου τυχαίο και με μεγάλη βεβαιότητα θα περιμέναμε και στην εκατομμυριοστή πρώτη ρίψη το κέρμα να φέρει γράμματα. 

Φυσικά το αποτέλεσμα αυτό δεν έχει να κάνει με τις συνεχόμενες ρίψεις, αλλά με τη γνώση που έχουμε για το πλήθος εμφάνισης του κάθε ενδεχομένου. Αν δηλαδή, στις προηγούμενες 100 ρίψεις το κέρμα έφερνε 90 φορές κορώνα και 10 φορές γράμματα, τότε θα έπρεπε να αλλάξουμε γνώμη και να ποντάρουμε στην κορώνα, παρά το γεγονός ότι στις δέκα τελευταίες ρίψεις έφερε γράμματα!

Ερώτηση bonus: Αν ένα κέρμα έχει φέρει τις τελευταίες 100 φορές τις επόμενες ενδείξεις με τη σειρά που αναγράφονται παρακάτω, τότε πού θα ποντάρατε στην 101η ρίψη;

Απάντηση: Αν βιαστήκατε να απαντήσετε κορώνα, τότε προφανώς έχετε παρασυρθεί από το μοτίβο των περιοδικών εμφανίσεων των δύο όψεων. Για να απαντήσετε σωστά όμως, αναρωτηθείτε πρώτα δύο πράγματα: 

α) Ισχύει η ανεξαρτησία ανάμεσα στις διαδοχικές ρίψεις του κέρματος; 

Αν το πείραμα επαναλαμβάνεται στον ίδιο χώρο, με σταθερές περιβαλλοντικές συνθήκες και χωρίς τη χρήση κάποιου τεχνάσματος, π.χ. συγκεκριμένη αρχική θέση και ταχύτητα (βλ. παρακάτω), τότε δεν υπάρχει λόγος να απορριφθεί η ανεξαρτησία. Στην περίπτωση αυτή, το μοτίβο των περιοδικών επαναλήψεων εμφανίστηκε εντελώς συμπτωματικά, οπότε πρέπει να αγνοηθεί. Αν κάποια από τις προηγούμενες προϋποθέσεις δεν ισχύει, τότε ενδέχεται να παραβιάζεται η ανεξαρτησία, συνεπώς στην περίπτωση αυτή, το παραπάνω μοτίβο ίσως να υπάγεται σε κάποιου είδους νομοτέλεια η οποία θα πρέπει να ληφθεί σοβαρά υπόψιν στην απόφαση σας.

Παράδειγμα παραβίασης της ανεξαρτησίας αποτελεί η περίπτωση στην οποία η ρίψη ξεκινάει με τη μία από τις δύο όψεις από πάνω και την άλλη από κάτω. Υπάρχει μία βάσιμη θεωρία που διατείνεται ότι η όψη που βρίσκεται από πάνω στην αρχή έχει κατά τι μεγαλύτερη πιθανότητα να εμφανιστεί και στο τελείωμα της ρίψης! Αυτό οφείλεται στον απλούστατο λόγο ότι κατά τη διάρκεια της ρίψης, η όψη αυτή μένει για μεγαλύτερο ή τουλάχιστον ίσο χρονικό διάστημα από πάνω σε σύγκριση με την άλλη όψη. Λογικό, εφόσον η ρίψη ξεκινάει με αυτήν την όψη από πάνω και ή τελειώνει στην ίδια όψη ή αλλάζει όψη με βάση την επόμενη ακολουθία:

Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π ...

όπου με «Π» και «Κ», πάνω και κάτω αντίστοιχα, συμβολίζουμε την κατάσταση στην οποία βρίσκεται η αρχική όψη κάθε χρονική στιγμή. Για αυτόν το λόγο την επόμενη φορά που θα σας προκαλέσει κάποιος σε «κορώνα-γράμματα» απαιτήστε το κέρμα στην αρχή να βρίσκεται σε πλάγια θέση ή ακόμη καλύτερα ζητήστε να ρίξετε εσείς το κέρμα εφόσον πλέον γνωρίζετε πώς να το κάνετε καλύτερα!

β) Γνωρίζετε ή όχι τις a priori πιθανότητες;  

Αν ναι, τότε αγνοήστε τι έφερε το κέρμα τις τελευταίες 100 φορές και ποντάρετε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη a priori. Αν όχι, τότε το μόνο όπλο που έχετε είναι η εκτίμηση των a priori. Καθώς το κέρμα έφερε 60 φορές γράμματα και 40 φορές κορώνα, τότε έχει μια λογική να προτιμήσετε τα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι στις τελευταίες 12 ρίψεις ήρθαν ξανά γράμματα και με βάση το μοτίβο θα έπρεπε να ακολουθήσει κορώνα.

Πολύ ωραία θα πείτε τώρα όλα αυτά. Πώς μπορούμε όμως να είμαστε βέβαιοι ότι γνωρίζουμε ή όχι τις a priori πιθανότητες ή ότι ισχύει η αρχή της ανεξαρτησίας; Αν ρωτάτε εμένα, ή απάντηση είναι απλή. Ρίξτε κέρμα...

Η στάνη του Monty Hall

Βρίσκεστε σε ένα τηλεπαιχνίδι στο οποίο σας παρουσιάζονται τρεις πόρτες. Πίσω από τις δύο πόρτες κρύβεται από μία κατσίκα, ενώ πίσω από την τρίτη βρίσκεται το πολυπόθητο έπαθλο, ένα αυτοκίνητο. Καλείστε να επιλέξετε μια από τις τρεις πόρτες. Αφού επιλέξετε, ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις άλλες δύο αποκαλύπτοντας τη μία κατσίκα. Έπειτα σας ρωτάει αν θέλετε να αλλάξετε πόρτα ή να επιμείνετε στην αρχική σας επιλογή. Τι θα κάνατε;

Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό στους μαθηματικούς (και μη) κύκλους ως το πρόβλημα του Monty Hall, από τον ομώνυμο παρουσιαστή του τηλεπαιχνιδιού "Let's make a deal" που ξεκίνησε να προβάλλεται στις αμερικανικές τηλεοράσεις τη δεκαετία του '70 [1]. Πολλές φορές αναφέρεται και ως παράδοξο, καθώς σύμφωνα με την άποψη ορισμένων η λύση του έρχεται σε ρήξη με την ανθρώπινη διαίσθηση.

Η σωστή στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσετε, όσο κι αν φαίνεται περίεργο, είναι να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή και να διαλέξετε την πόρτα που απομένει αφότου ο παρουσιαστής σας επιδείξει τη μία από τις δύο κατσίκες. Με αυτόν τον τρόπο μάλιστα διπλασιάζετε την πιθανότητα να κερδίσετε το αυτοκίνητο! Γιατί όμως;

Όταν επιλέγετε στην αρχή μία πόρτα υπάρχουν τρία ισοπίθανα ενδεχόμενα:

1) Επιλέγετε την κατσίκα 1
2) Επιλέγετε την κατσίκα 2
3) Επιλέγετε το αυτοκίνητο

Η πιθανότητα λοιπόν να κερδίσετε το αυτοκίνητο αν δεν αλλάξετε επιλογή είναι \( \frac{1}{3} = 0.333... \).

Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει σε καθένα από αυτά τα τρία ενδεχόμενα ξεχωριστά, αν ακολουθήσετε τη στρατηγική της αλλαγής.

1) Έστω ότι αρχικά έχετε επιλέξει την κατσίκα 1. Τότε ο παρουσιαστής είναι αναγκασμένος να σας ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα 2 και συνεπώς αν αλλάξετε απόφαση θα επιλέξετε την πόρτα με το αυτοκίνητο. 

2) Όμοια με την περίπτωση 1, αν έχετε επιλέξει την κατσίκα 2, ο παρουσιαστής σας αποκαλύπτει την κατσίκα 1 κι επομένως αν αλλάξετε θα πέσετε και πάλι στο αυτοκίνητο. 

3) Τέλος, αν αρχικά έχετε επιλέξει το αυτοκίνητο, ο παρουσιαστής σας αποκαλύπτει με τυχαίο τρόπο μία από τις δύο κατσίκες. Στην περίπτωση αυτή, αν αλλάξετε επιλογή προφανώς θα πέσετε επάνω στην εναπομείνασα κατσίκα.

Είναι φανερό λοιπόν ότι στις 2 από τις 3 παραπάνω περιπτώσεις κερδίζετε το αυτοκίνητο. Η πιθανότητα δηλαδή νίκης ανέρχεται στα \( \frac{2}{3} = 0.666... \), δύο φορές δηλαδή η αρχική πιθανότητα!

Ας προσπαθήσουμε τώρα να επεκτείνουμε το πρόβλημα ως εξής:

Έστω ότι απέναντί σας έχετε \( n \) πόρτες. Αυτή τη φορά πίσω από μία ακριβώς πόρτα βρίσκεται το αυτοκίνητο και πίσω από τις υπόλοιπες \( n-1 \) κρύβεται μια κατσίκα. 

Όπως και στο βασικό πρόβλημα, επιλέγουμε τυχαία μια πόρτα. Ο παρουσιαστής ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες η οποία κρύβει κατσίκα και μας δίνει το δικαίωμα να παραμείνουμε στην αρχική μας επιλογή ή να αλλάξουμε πόρτα. Τι μας συμφέρει να κάνουμε; Αλλάζει κάτι σε σχέση με το βασικό πρόβλημα;

Ας προσπαθήσουμε και πάλι να προσεγγίσουμε το πρόβλημα με παρόμοιο σκεπτικό. Τα κύρια ενδεχόμενα σε αυτήν την εκδοχή είναι $n$ και απαριθμούνται παρακάτω:

1) Επιλέγουμε την κατσίκα 1
2) Επιλέγουμε την κατσίκα 2

...

n-1) Επιλέγουμε την κατσίκα \( n-1 \)

n) Επιλέγουμε το αυτοκίνητο

Σε αυτήν την εκδοχή του προβλήματος, η αρχική πιθανότητα να επιλέξουμε το αυτοκίνητο ισούται με \( \frac{1}{n} \). Επιπλέον, είναι φανερό ότι εάν έχουμε επιλέξει το αυτοκίνητο, τότε με απόλυτη βεβαιότητα εφόσον αλλάξουμε πόρτα, θα το χάσουμε. Σε καθένα από τα υπόλοιπα ενδεχόμενα, αν εξαιρέσουμε την κατσίκα που έχουμε επιλέξει και την κατσίκα που ο παρουσιαστής αποκαλύπτει, οι υπόλοιπες κατσίκες καταλαμβάνουν τις \( n-3 \) θέσεις από τις \( n-2 \) που απομένουν. Συνεπώς, αν αλλάξουμε πόρτα, το να πέσουμε επάνω στο αυτοκίνητο έχει πιθανότητα \( \frac{1}{n-2} \). Η πιθανότητα αυτή είναι δεσμευμένη από το γεγονός ότι έχουμε αρχικά επιλέξει κατσίκα. Έτσι, η συνολική πιθανότητα να επιλέξουμε τελικά το αυτοκίνητο, δεδομένου ότι ακολουθούμε τη στρατηγική της αλλαγής ισούται με:

\[ P_n = (n-1) \frac{1}{n} \frac{1}{n-2} = \frac{n-1}{n(n-2)}. \]

Επαληθεύοντας, για \( n=3 \) έχουμε \( P_3 = \frac{2}{3}$ \) καταλήγοντας στη βασική εκδοχή του προβλήματος.

Παρατηρούμε ότι \( \frac{n-1}{n(n-2)} > \frac{1}{n} \), συνεπώς και πάλι συμφέρει να αλλάξουμε πόρτα. Πάντως \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-1}{n(n-2)} - \frac{1}{n} = 0 \), που δείχνει ότι όσο το \( n \) μεγαλώνει, τόσο μικραίνει η επίδραση της αλλαγής στην πιθανότητα νίκης.

Τέλος, ας επιχειρήσουμε μια ακόμη μεγαλύτερη γενίκευση. Έστω ότι πάλι έχουμε απέναντί μας \( n \) πόρτες. Αυτή τη φορά όμως ο παρουσιαστής εφόσον έχουμε επιλέξει μια πόρτα, μας αποκαλύπτει \( k \) από τις κατσίκες που κρύβονται στις υπόλοιπες πόρτες. Ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουμε το αυτοκίνητο τώρα; 

Και πάλι, για να έχουμε ελπίδες να κερδίσουμε το αυτοκίνητο πρέπει αναγκαστικά να έχουμε επιλέξει αρχικά κατσίκα. Σε αυτήν την περίπτωση, εφόσον μας αποκαλύπτονται \( k \) κατσίκες, η πιθανότητα να πέσουμε στο αυτοκίνητο γίνεται 

\[ P_n^k = (n-1) \frac{1}{n} \frac{1}{n-k-1} = \frac{n-1}{n(n-k-1)}. \]

Για \( k=1 \) έχουμε την προηγούμενη γενίκευση. Επιπλέον, για \( k=1 \) και \( n=3 \) παρατηρούμε ότι καταλήγουμε ξανά στη βασική εκδοχή του προβλήματος.

Και πάλι εύκολα προκύπτει ότι \( \frac{n-1}{n(n-k-1)} > \frac{1}{n} \). Επίσης, είναι φανερό ότι όσο μεγαλύτερο είναι το \( k \), τόσο μεγαλύτερη και η πιθανότητα νίκης. Με απλά λόγια, όσο περισσότερες πόρτες ανοίγει ο παρουσιαστής, τόσο λιγότερες επιλογές πόρτας μας δίνει και συνεπώς τόσο πιο μεγάλη γίνεται η πιθανότητα να πετύχουμε το αυτοκίνητο. 

Αν λοιπόν ποτέ βρεθείτε σε ένα αντίστοιχο τηλεπαιχνίδι, μη διστάσετε να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή πόρτας, αρκεί βέβαια να προτιμάτε το αυτοκίνητο έναντι της κατσίκας...

[1] http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html

Τα μαθηματικά του ΚΙΝΟ

Το ΚΙΝΟ είναι ένα «τυχερό παίγνιο» το οποίο δίνει την ελπίδα για μεγάλα κέρδη στους συμμετέχοντες. Οι κανόνες του είναι απλοί και αυτό σε συνδυασμό με τα πραγματικού χρόνου αποτελέσματα είναι δυο λόγοι για τους οποίους είναι ένα τόσο διαδεδομένο παιχνίδι. Όπως συμβαίνει συνήθως με αυτού του είδους τα παιχνίδια, αν και ανήκουν στην κατηγορία του τζόγου κι ενέχουν τον κίνδυνο του εθισμού, εντούτοις προσφέρουν πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα πιθανοτήτων. Το ίδιο συμβαίνει και με το ΚΙΝΟ. Πιο συγκεκριμένα, το ΚΙΝΟ σε κάθε διαγωνισμό κληρώνει 20 τυχαίους από τους 80 πρώτους φυσικούς αριθμούς και ζητάει από τους συμμετέχοντες να προβλέψουν τους περισσότερους δυνατούς από τους κληρωθέντες αριθμούς επιστρέφοντας σε περίπτωση επιτυχίας τα αντίστοιχα κέρδη. Ο κάθε παίκτης ορίζει πόσους αριθμούς επιδιώκει να προβλέψει από 1 έως 12 και ανάλογα με το πόσους από αυτούς προβλέπει σωστά, παίρνει και τις αντίστοιχες αποδόσεις. Κάποια εύλογα ερωτήματα λοιπόν που ανακύπτουν είναι τα εξής: Πόσο καλές είναι αυτές οι αποδόσεις; Ποια η πιθανότητα να κερδίσει κανείς; Είναι δίκαιο παιχνίδι το ΚΙΝΟ; Παρακάτω θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε αυτές τις ερωτήσεις με αυστηρά μαθηματικό τρόπο.

Υπάρχει ένα κριτήριο το οποίο αποφαίνεται εάν ένα τυχερό παιχνίδι είναι δίκαιο ή όχι. Για το κριτήριο αυτό είναι απαραίτητος ο συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους c, ο οποίος μας δείχνει τι ποσοστό του πονταρίσματος αναμένεται να επιστραφεί ως κέρδος στον παίκτη. Π.χ., εάν c=1.5 αυτό σημαίνει ότι αν κάποιος ποντάρει μια νομισματική μονάδα (π.χ., ευρώ), θα λάβει πίσω 1.5 μονάδες (ευρώ) και συνεπώς το κέρδος του θα είναι 0.5 μονάδες. Είναι φανερό ότι όταν c>1 ο παίκτης αναμένεται να βγει κερδισμένος από οποιοδήποτε ποντάρισμα, όταν c<1 αναμένεται να βγει χαμένος, ενώ όταν c=1 αναμένεται να πάρει απλά πίσω το ποντάρισμα. Φυσικά κάτι τέτοιο δε θα συμβαίνει κάθε φορά που κάποιος παίζει, ωστόσο ο νόμος των μεγάλων αριθμών εγγυάται ότι εάν η διαδικασία του πονταρίσματος επαναλαμβάνεται για πολλές φορές τότε το συνολικό κέρδος θα πλησιάζει την τιμή που καθορίζεται από τον συντελεστή c. Με βάση τα παραπάνω, είναι προφανές ότι ένα παιχνίδι για να χαρακτηριστεί δίκαιο θα πρέπει να έχει συντελεστή αναμενόμενου κέρδους c=1. Ας δούμε λοιπόν τι συμβαίνει με το c του ΚΙΝΟ.

Για την εύρεση του c, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι πιθανότητες επιτυχίας όλων των δυνατών διαφορετικών περιπτώσεων που υπάρχουν σε μια κλήρωση. Με χρήση Συνδυαστικής, η πιθανότητα να διαλέξει κάποιος K από ένα σύνολο N αριθμών, από αυτούς τους N να κληρωθούν οι D αριθμοί και S από τους K να περιέχονται σε αυτούς τους D αριθμούς δίνεται από τον παρακάτω τύπο:

\[ P_K^S = \frac{\binom{D}{S} \binom{N-D}{K-S}}{\binom{N}{K}} \]

Στην περίπτωση του ΚΙΝΟ, το N=80 και το D=20. Οπότε στη μελέτη μας θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις πιθανότητες επιτυχίας για τις διάφορες δυνατές τιμές των μεταβλητών K και S. Οι πιθανότητες αυτές συνοψίζονται στον επόμενο πίνακα. 

Πίνακας 1. Πιθανότητες όλων των δυνατών ενδεχομένων.

Παραδείγματος χάριν, εφόσον το (2, 3)-στοιχείο του Πίνακα 1 είναι 0.14, αυτό σημαίνει ότι εάν επιλέξουμε 3 αριθμούς, τότε η πιθανότητα να κληρωθούν οι 2 από αυτούς ισούται με 14%. Οι παραπάνω πιθανότητες έχουν στρογγυλοποιηθεί στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, ενώ όταν οι τιμές είναι μικρότερες του 0.01, αναγράφεται απλά η τάξη μεγέθους τους ως μια δύναμη του 10. 

Στο σημείο αυτό, προτού προχωρήσουμε παραπέρα, θα πρέπει να τονίσουμε ότι στην πραγματικότητα αναζητάμε 12 συντελεστές c, ένα για κάθε πλήθος επιλογών Κ από 1 μέχρι 12, μιας και το Κ καθορίζει κάθε φορά κι ένα διαφορετικό παιχνίδι. Για κάθε Κ λοιπόν, ο συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους c_K προκύπτει από τον τύπο:

\[ c_K = \sum_{(S,K) \in \mathcal{I}_K} odds(S,K) \,\, prob(S,K) \]

όπου I_K είναι το σύνολο όλων των αμοιβαίως αποκλειόμενων γεγονότων τα οποία καθορίζονται από τα ζεύγη (S, K) για τις διάφορες τιμές του S και για ένα συγκεκριμένο K, odds(S, K) είναι η πραγματική απόδοση που αφορά στο ζεύγος (S, K) και prob(S, K) είναι η πιθανότητα να συμβεί το ζεύγος (S, K). Στην προκειμένη περίπτωση σταθεροποιώντας το Κ σε μια από τις τιμές από 1 έως 12, το S παίρνει τις ακέραιες τιμές 0, 1,..., 12 και το αντίστοιχο γεγονός υπενθυμίζουμε ότι σημαίνει S επιτυχίες στις K επιλογές. 

Είναι φανερό ότι για να υπολογίσουμε τα c_K, χρειαζόμαστε τις πραγματικές αποδόσεις για κάθε γεγονός. Οι αποδόσεις αυτές συγκεντρώνονται στον Πίνακα 2.  

Πίνακας 2. Πραγματικές αποδόσεις.

Οι τιμές των c_K για κάθε ξεχωριστό K που υπολογίζονται με βάση τον προηγούμενο τύπο συνοψίζονται στο Διάγραμμα 1.

Διάγραμμα 1. Συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους c_K για τις διάφορες τιμές του K.

Από το Διάγραμμα 1 παρατηρούμε ότι σχεδόν για οποιονδήποτε αριθμό επιλογών K, ο συντελεστής μέσου αναμενόμενου κέρδους είναι περίπου ίσος με 0.7. Αυτό δείχνει ότι σε κάθε περίπτωση ο παίκτης αναμένεται να πάρει πίσω το 70% ή ισοδύναμα να χάσει το 30% των χρημάτων που ποντάρισε, ποσοστό που αποτελεί τη λεγόμενη γκανιότα. Το γενικό συμπέρασμα λοιπόν που απαντά και στις ερωτήσεις που τέθηκαν στην αρχή είναι ότι το ΚΙΝΟ, από μαθηματική άποψη δεν είναι ένα δίκαιο παιχνίδι καθώς οι αποδόσεις είναι μικρότερες αυτών που θα έπρεπε και συνεπώς εάν κάποιος παίζει ΚΙΝΟ θα πρέπει να έχει υπόψιν του ότι αν και υπάρχει ασφαλώς η πιθανότητα να κερδίσει και μάλιστα πολλά λεφτά, ωστόσο είναι μεγαλύτερη η πιθανότητα να βγει χαμένος.