Ars longa, vita brevis

«Ο βίος βραχύς, η δε τέχνη μακρή» μας διδάσκει το σοφό πνεύμα του Ιπποκράτη μέσα από το μεγάλο του έργο Αφορισμοί. Οι άνθρωποι φεύγουν, η τέχνη μένει θα μπορούσαμε να πούμε παραφράζοντας. Η ιστορία της τέχνης μας το επιβεβαιώνει διαρκώς. Το μουσικό έργο Passacaglia¹ and Fugue in C Minor, BWV 582 του Johann Sebastian Bach είναι κατά τη γνώμη μου ένα περίτρανο παράδειγμα. Αναδεικνύοντας στο έπακρο την υπερβατική διάσταση της μουσικής, καταφέρνει σε μία ανώτερη διαλεκτική να δώσει αισθητηριακή υπόσταση σε μία άχρονη διάνοια, η οποία κατά κάποιον μεταφυσικό τρόπο προϋπήρχε και θα συνεχίσει να υπάρχει ανεξάρτητα από το ανθρώπινο είδος. Ακολουθεί η αιθέρια εκτέλεση του έργου από τον οργανίστα Hans-André Stamm με το ιστορικό Trost-Organ στο Walterhausen της Γερμανίας [1].

Σε ένα απέραντο, ερημικό σύμπαν, το κοσμογονικό αυτό έργο καταφέρνει να απεγκλωβιστεί από τη μαύρη τρύπα της θνητότητάς του και να απλωθεί προς κάθε κατεύθυνση του χωροχρονικού πλέγματος, τοποθετώντας τη μουσική στην περίοπτη θέση που φαντασιωνόταν ο Σοπενχάουερ². Η ακρόαση αυτού του έργου μου προκαλεί μία πανδαισία συναισθημάτων που ξεπερνούν το σύνορο της πρόσκαιρης ηδονής, παρεισφρέοντας στα ενδότερα της Αριστοτελικής ευδαιμονίας. Οι συνεχείς και ατέρμονες επαναλήψεις του κυρίου θέματος αντηχούν ένα συμπαντικό πολλαπλό οργασμό που διαχέεται σε όλα τα δυνατά παράλληλα σύμπαντα. Η αψεγάδιαστη αρμονία του έργου εσωκλείει μέσα της με τον πιο υπέροχο τρόπο την Πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμητικών αναλογιών, δημιουργώντας απαράμιλλη τάξη μέσα από το εντροπικό χάος. Ταυτόχρονα, οι αιρετικές μουσικές διαφωνίες έρχονται να συμπληρώσουν το διάλογο ανάμεσα στις φωνές, αφαιρώντας από το έργο οποιαδήποτε τονική ατονία. Νιώθω ότι ο Δημιουργός, χρησιμοποιώντας ως μέσο τον ήχο, με το έργο του αυτό κατορθώνει να συγκεράσει στο σύνολό της τη σκέψη και τη σοφία του κόσμου στον οποίο ζούμε, αλλά και όλων εκείνων των κόσμων που δεν έχουν υλοποιηθεί.

¹Πρόκειται για μορφή μουσικού έργου το οποίο χαρακτηρίζεται από συνεχείς παραλλαγές επάνω σε ένα κύριο μοτίβο που επαναλαμβάνεται σταθερά με τον ίδιο τρόπο (ostinato).

²Schopenhauer Arthur (22 Φεβρουαρίου 1788 - 21 Σεπτεμβρίου 1860): Γερμανός πεσιμιστής φιλόσοφος που είχε προσδώσει κεντρική θέση στις τέχνες και ιδιαίτερα στη μουσική. Θεωρούσε ότι μόνο η τέχνη είναι ικανή να καταστήσει τη ζωή υποφερτή.

[1] http://www.organartmedia.com/en/heinrich-gottfried-trost

Ο Bach και η λωρίδα του Möbius

Σαν σήμερα, πριν από 266 χρόνια, στις 28 Ιουλίου 1750, έφυγε από τη ζωή ο Johann Sebastian Bach. Με αφορμή το γεγονός αυτό, η ανάρτηση αυτή είναι ένας ελάχιστος φόρος τιμής σε αυτόν τον τόσο σπουδαίο συνθέτη.

Είναι γνωστή η ρήση ότι αν ο Bach δεν ήταν μουσικός θα ήταν σίγουρα μεγάλος μαθηματικός. Μη με ρωτάτε ποιος το είπε γιατί δεν θυμάμαι. Μπορεί και κανείς... Είναι πάντως η αλήθεια. Το βίντεο που παρουσιάζεται πιο κάτω είναι μια από τις πολυάριθμες αποδείξεις αυτού του ισχυρισμού. Στο βίντεο αυτό, ο μηχανολόγος μηχανικός Jos Leys [1], με τη χρήση ενός ενδιαφέροντος visualization δείχνει πώς ο πρώτος Κανόνας της Μουσικής Προσφοράς του Bach συνδέεται με τη λωρίδα του Möbius.

Johann Sebastian Bach (31 Μαρτίου 1685 - 28 Ιουλίου 1750).

Για όσους δεν γνωρίζουν:

Κανόνας είναι ένα είδος πολυφωνικής-αντιστικτικής μουσικής σύνθεσης στην οποία υπάρχει ένα κύριο θέμα (κοινώς μελωδία) το οποίο ερμηνεύει η μία φωνή και το οποίο μιμούνται με κάποια χρονική υστέρηση (διαφορά φάσης) καθεμία από τις υπόλοιπες φωνές. Η μίμηση αυτή μπορεί να είναι είτε πανομοιότυπη με το κύριο θέμα, είτε παραλλαγή του.

Μουσική Προσφορά (γερμ. Das Musikalische Opfer) είναι ο τίτλος του επικού έργου που συνέθεσε ο Bach το 1747, μια συλλογή από Κανόνες και Φούγκες που όλες βασίζονται σε ένα μόνο κύριο θέμα. Το θέμα αυτό διακρίνεται για τη μεγάλη του έκταση και την εξαιρετική του πολυπλοκότητα και επινοήθηκε από το βασιλιά Φριδερίκο Β' της Πρωσίας (Frederick the Great). Για την ιστορία, φημολογείται ότι υπήρχε η λαϊκή αντίληψη πως ο βασιλιάς περιφρονούσε τους φιλοσόφους και τους καλλιτέχνες και δεν έχανε την ευκαιρία να τους γελοιοποιεί. Κάποια στιγμή λοιπόν κάλεσε στον οίκο του τον Bach, ο οποίος ήταν γνωστός για το αυτοσχεδιαστικό του ταλέντο, του έδωσε το παραπάνω δύσκολο θέμα και τον προκάλεσε να αυτοσχεδιάσει επάνω σε αυτό, με την πεποίθηση ότι φυσικά θα αποτύχει. Ο Bach όμως, όπως αποδείχτηκε, είχε διαφορετική άποψη και τον διέψευσε πανηγυρικά δημιουργώντας το εν λόγω αριστούργημα, το οποίο αγγίζοντας, αν όχι ξεπερνώντας, τα όρια της ανθρώπινης καλλιτεχνικής (και όχι μόνο) διανόησης, έμεινε στην ιστορία ως η Μουσική Προσφορά.

Frederick the Great (24 Ιανουαρίου 1712 - 17 Αυγούστου 1786).

Η λωρίδα του Möbius είναι το τριδιάστατο σχήμα που προκύπτει αν κόψει κάποιος μια λωρίδα χαρτί, πάρει τα άκρα της λωρίδας, στρέψει το ένα κατά 180 μοίρες με άξονα περιστροφής την ίδια τη λωρίδα και κολλήσει τα δύο άκρα μεταξύ τους. Τότε έχει στα χέρια του έναν περίεργο δακτύλιο που έχει μία μόνο πλευρά και μία μόνο ακμή!

Η λωρίδα του Möbius. Είναι αξιοσημείωτη η ομοιότητα της λωρίδας με το σύμβολο που χρησιμοποιείται για το άπειρο.

Ακολουθεί η οπτικοποίηση του Jos Leys:

Η τοπολογία που κρύβει αυτό το έργο είναι εκθαμβωτική και δείχνει το μέγεθος της ευφυΐας του Bach. Το εντυπωσιακό βέβαια είναι ότι πέρα από τη μυστηριώδη σύνδεση με τη λωρίδα του Möbius, το ίδιο το έργο από αρμονική σκοπιά είναι αφ' εαυτού σπουδαίο. Αυτό είναι άλλωστε που ξεχωρίζει ένα αριστούργημα από το ανούσιο αποτέλεσμα ενός απλού πειραματισμού.

Σημειωτέον ότι η λωρίδα του Möbius ανακαλύφθηκε και μελετήθηκε για πρώτη φορά το 1858, 111 χρόνια δηλαδή μετά τη Μουσική Προσφορά του Bach!

[1] http://virtualmathmuseum.org/mathart/ArtGalleryLeys/leysindex.html

Τι είναι τα Μαθηματικά

Στην ερώτηση τι είναι Μαθηματικά μου αρέσει να δίνω την επόμενη μονολεκτική (φαινομενικά τουλάχιστον) απάντηση. «Τα Μαθηματικά είναι ΛΕΦΤΑ». Φυσικά θα ήταν αδύνατο να χρησιμοποιήσω κυριολεκτικά μια τόσο ευτελή αξία όπως το χρήμα για να χαρακτηρίσω κάτι τόσο ιερό όπως τα Μαθηματικά. Θα προσπαθήσω λοιπόν πολύ σύντομα να εξηγήσω τι εννοώ λέγοντας ότι τα Μαθηματικά είναι ΛΕΦΤΑ.

• Το πρώτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Λ. Τα Μαθηματικά είναι Λογική, αφού παρέχουν ένα σύνολο ορθολογικών κανόνων συλλογισμού και συμπερασματολογίας. Η Μαθηματική λογική αποτελεί βάση της ανθρώπινης αναλυτικής και συνθετικής σκέψης σε πολλούς τομείς. 
• Το δεύτερο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Ε. Τα Μαθηματικά είναι Επιστήμη. Είναι εκείνη η επιστήμη που μελετά τους αριθμούς, τα γεωμετρικά σχήματα, τα σύνολα και τις δομές τους. Τα Μαθηματικά αποτελούν μια από τις πιο θεμελιώδεις επιστήμες επάνω στην οποία στηρίζονται πολλές άλλες επιστήμες.
• Το τρίτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Φ. Τα Μαθηματικά είναι Φιλοσοφία, αφού έχουν χρησιμοποιηθεί ως μέσο για την κατάκτηση των ανθρώπινων φιλοσοφικών αναζητήσεων και υπαρξιακών προβληματισμών. Πολλές κοσμοθεωρητικές προσεγγίσεις έχουν τη βάση τους στα μαθηματικά.
• Το τέταρτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Τ. Τα Μαθηματικά είναι Τέχνη. Αφενός διότι κάθε μορφή τέχνης χρησιμοποιεί μαθηματικές οντότητες για να εκφραστεί και αφετέρου επειδή τα ίδια τα μαθηματικά και οι τυπικές εκφράσεις τους περιέχουν το στοιχείο της αισθητικής και του ωραίου.
• Το πέμπτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Α. Τα Μαθηματικά είναι Αθλητισμός. Εξασκούν όλα τα "θετικά" πνευματικά χαρακτηριστικά των ανθρώπων και διεγείρουν τη φαντασία, η οποία είναι απαραίτητη για την πρόοδο της ανθρωπότητας.

Η λέξη ΛΕΦΤΑ λοιπόν είναι ένας μνημονικός κανόνας για να περιγράψει κανείς με πέντε μόνο λέξεις τι είναι τα Μαθηματικά: Λογική, Επιστήμη, Φιλοσοφία, Τέχνη, Αθλητισμός.

Και τώρα λίγα λόγια για την χρησιμότητα των Μαθηματικών. Ο σπουδαίος Κινέζος φιλόσοφος του 6ου αιώνα π.Χ. Λάο Τσε είχε πει: «Για να φανταστούμε τη χρησιμότητα των Μαθηματικών στη ζωή μας αρκεί να φανταστούμε τη ζωή μας χωρίς τα Μαθηματικά». Πράγματι, εάν προσπαθήσουμε να φανταστούμε τη ζωή μας χωρίς τα Μαθηματικά, πολύ γρήγορα θα καταλήξουμε σε αδιέξοδο, διότι απλούστατα τα Μαθηματικά βρίσκονται παντού. Ο μεγάλος Γαλιλαίος είχε πει ότι το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των Μαθηματικών. Με μια μικρή παράφραση θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα του σύμπαντος και συνεπώς για να μπορέσει κανείς να γνωρίσει τον κόσμο γύρω του πρέπει να γνωρίζει Μαθηματικά. 

Δε χρειάζεται να πάει κανείς μακριά για να διαπιστώσει τη σημασία των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά υπάρχουν:

• στη Φυσική, αφού οι φυσικοί νόμοι περιγράφονται με τη χρήση μαθηματικών τύπων.
• στη Χημεία, αφού οι περισσότερες χημικές διεργασίες διέπονται από μαθηματικές εξισώσεις.
• στη Βιολογία, αφού οι οργανισμοί και οι ιδιότητές τους μπορούν να μετρηθούν με αριθμούς.
• στην Αστρονομία, αφού οι κινήσεις των ουρανίων σωμάτων περιγράφονται με τη βοήθεια της γεωμετρίας και του διαφορικού λογισμού.
• στην Οικονομία, αφού σχεδόν όλες οι οικονομικές θεωρίες χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα.
• στην Πληροφορική, αφού οι ίδιοι οι υπολογιστές στηρίζουν τη λειτουργία τους σε μαθηματικούς μηχανισμούς.
• στη Γλωσσολογία, αφού και οι δύο επιστήμες χρησιμοποιούν την θεμελιώδη έννοια της συνάρτησης για να αντιστοιχίσουν αφηρημένες έννοιες ή αντικείμενα σε λέξεις ή όρους.

Και η λίστα δε σταματά εδώ.

Τα Μαθηματικά συγκεντρώνουν ένα πλήθος αρετών οι οποίες τα τοποθετούν σε περίοπτη θέση στην ανθρώπινη διανόηση. Και για αυτόν το λόγο η επαφή με τα Μαθηματικά μπορεί να αποδειχθεί ευεργετική για τον άνθρωπο στη διαμόρφωση ενός ορθού και συγκροτημένου χαρακτήρα. Πιο συγκεκριμένα, τα Μαθηματικά είναι:

• δίκαια. 1 + 1 κάνουν 2.
• συνεπή. 1 + 1 κάνουν πάντα 2.
• αντικειμενικά. Το 1 το δικό μου δε διαφέρει σε τίποτα από το 1 το δικό σου.
• αμερόληπτα. Το 0 είναι πάντα μικρότερο από το 1 εφόσον έτσι έχει συμφωνηθεί.
• ακριβή. Το 1 είναι πάντα ακριβώς 1 και όχι περίπου 1.

Αλλά συγκεντρώνουν κι άλλα χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα είναι:

• αυτάρκη. Δεν εξαρτώνται από καμία άλλη επιστήμη για να δώσουν απαντήσεις.
• απέριττα. Δίνουν λύση με τα λιγότερα δυνατά δεδομένα.
• περιγραφικά. Με αυτά μπορούμε να περιγράψουμε τα διάφορα φαινόμενα που συμβαίνουν γύρω μας καθώς και να τα ερμηνεύσουμε.
• δημιουργικά. Παρέχουν ένα σύνολο κανόνων με τη χρήση των οποίων μπορεί κάποιος με όπλο τη φαντασία να ανακαλύψει καινούργια γνώση.

Τα Μαθηματικά όμως πέραν από όλα τα άλλα έχουν κι ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα που είναι κρυμμένο στην ίδια τους τη φύση και σπάνια αναγνωρίζεται. Είναι απλά. Όσο δύσκολα κι αν φαντάζουν δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα σύνολο απλών λογικών επαγωγών.