Wednesday, 22 May 2019

4ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές»


Για τέταρτη συνεχόμενη χρονιά, φέτος, ολοκληρώθηκε με επιτυχία ο μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές», την Κυριακή 19 Μαΐου 2019. Ο διαγωνισμός φιλοξενήθηκε για δεύτερη χρονιά από τα εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη, παράλληλα με το 5ο παιδικό τουρνουά, το 5ο ομαδικό πρωτάθλημα ακαδημιών «Θεοφάνης Δρόσος» και το 2ο παιδικό Grand Prix της Σκακιστικής Ακαδημίας Συκεών Νεάπολης. Τα παιδιά αγκάλιασαν και φέτος το μαθηματικό διαγωνισμό, με τις συμμετοχές τους να φτάνουν τις 44, αριθμό που αποτελεί σημαντικό ποσοστό των συνολικών συμμετοχών στα παραπάνω σκακιστικά γεγονότα. 

Πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο διεξαγωγής και τους στόχους του διαγωνισμού μπορείτε να βρείτε στον παρακάτω σύνδεσμο:
Τα θέματα και οι λύσεις του φετινού διαγωνισμού βρίσκονται στους επόμενους συνδέσμους: 

Θέματα Α' & Β' Δημοτικού
Λύσεις Α' & Β' Δημοτικού

Θέματα Γ' & Δ' Δημοτικού
Λύσεις Γ' & Δ' Δημοτικού

Θέματα Ε' & ΣΤ' Δημοτικού
Λύσεις Ε' & ΣΤ' Δημοτικού

Παρακάτω ακολουθούν οι διακριθέντες ανά τάξη με το αντίστοιχο ποσοστό επιτυχίας στα θέματα σε παρένθεση:

Α' Δημοτικού: Σίσκου Εύα (90%)
Β' Δημοτικού: Μποπότας Ανδρέας (90%)
Γ' Δημοτικού: Μπαλαφούτας Αλέξανδρος (77%)
Δ' Δημοτικού: Νακίτσας Στέργιος (92%)
Ε' Δημοτικού: Αλευρίδης Ιωάννης (87%)
ΣΤ' Δημοτικού: Χειλαδάκης Βασίλης (87%)

Οι επίσημες βραβεύσεις θα γίνουν στα εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη την Κυριακή 26 Μαΐου 2019, μετά την ολοκλήρωση του σκακιστικού τουρνουά.

Για μια ακόμη χρονιά θα ήθελα να ευχαριστήσω τα παιδιά και τους γονείς που με μοναδικό κίνητρο την αγάπη για τα μαθηματικά και το πάθος για το «ευ αγωνίζεσθαι» στηρίζουν με την παρουσία τους αυτόν το θεσμό. Επίσης, οφείλω ένα τεράστιο ευχαριστώ στα εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη που μας παραχώρησαν τις εγκαταστάσεις τους, αποδεικνύοντας έμπρακτα για άλλη μια φορά ότι είναι πάντα ανοιχτά σε τέτοιου είδους πνευματικά εγχειρήματα.

Κλείνοντας, για όσους ενδιαφέρονται, τα θέματα μαζί με τις λύσεις από τους αντίστοιχους διαγωνισμούς των προηγούμενων ετών βρίσκονται στους παρακάτω συνδέσμους:

1ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές» 2016

2ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές» 2017

3ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές» 2018

Επικοινωνία:
Τηλ.: 6970081310
email: amaronidis@gmail.com

Friday, 22 March 2019

Ο Δούρειος Πύργος


«Φοβού τους Δαναούς και δώρα φέροντας». Πρόκειται για την περίφημη φράση που ξεστόμισε ο Τρώας ιερέας Λαοκόων μπροστά στη θέα του Δούρειου Ίππου, προειδοποιώντας τους συμπατριώτες του για τα δεινά που τους περίμεναν εάν αποδέχονταν το πονηρό δώρο των Αχαιών. Οι Τρώες βέβαια, όπως γνωρίζουμε, δεν άκουσαν τη συμβουλή του Λαοκόοντα κι έπεσαν στην παγίδα. Απελπισμένος ο Λαοκόων πέταξε το ακόντιό του στο ξύλινο άλογο, εξοργίζοντας τον θεό Ποσειδώνα, ο οποίος μέχρι εκείνη τη στιγμή ήταν με το μέρος των Ελλήνων στον τρωϊκό πόλεμο. Για αντίποινα, ο Ποσειδώνας έστειλε δύο θαλάσσια φίδια τα οποία έπνιξαν τον Λαοκόοντα. Η εν λόγω περιγραφή του Βιργίλιου στο έπος της Αινειάδας ενέπνευσε τους τρεις Ρόδιους γλύπτες Αγήσανδρο, Αθηνόδωρο και Πολύδωρο να φιλοτεχνήσουν το διάσημο γλυπτό έργο «Σύμπλεγμα του Λαοκόοντος», το οποίο απεικονίζεται στην Εικόνα 1. 


Εικόνα 1. Σύμπλεγμα του Λαοκόοντος.

Το εντυπωσιακό σημείο στην ιστορία, πέρα από την κατασκευή του πελώριου ξύλινου αλόγου, είναι το πώς κατόρθωσαν οι Αχαιοί να το μετακινήσουν. Το τεχνικό αυτό πρόβλημα έλυσε ο πολυμήχανος Οδυσσέας τοποθετώντας ρόδες στη βάση του αλόγου. Και αν η μεταφορά του Δούρειου Ίππου φαντάζει δύσκολη φανταστείτε πόσο πιο δύσκολη θα ήταν η μεταφορά ενός «Δούρειου Πύργου». Ακόμη και στις μέρες μας, σας διαβεβαιώνω ότι η μεταφορά ενός πύργου για δώρο στοιχίζει πολλά μεταφορικά, εκτός κι αν η μεταφορά γίνει «μεταφορικά», οπότε τα μεταφορικά δεν στοιχίζουν. Στην επόμενη παρτίδα, λειτουργώντας ως γνήσιος Δαναός, δώρισα όχι έναν, αλλά δυο πύργους στον αντίπαλό μου με σκοπό να εισβάλω στη θέση του. Η παρτίδα παίχτηκε στο τοπικό πρωτάθλημα Θεσσαλονίκης - Χαλκιδικής το 2010. Παίζω με τα λευκά.

C11 French Defense: Classical Variation, Steinitz Variation

1. e4 e6, 2. d4 d5, 3. Nc3 Nf6, 4. e5 Nfd7, 5. Nce2 



Η ιδέα του ανοίγματος είναι η γρήγορη ενίσχυση της διάταξης των πιονιών στο κέντρο με c3. 

5...c5, 6. c3 Nc6, 7. f4 



Ισχυροποιεί ακόμη περισσότερο το κέντρο πριν παιχτεί Nf3. 

7...cxd4, 8. Nxd4 Bc5, 9. Ngf3 Nb6?!



Σίγουρα όχι η καλύτερη κίνηση. Ο μαύρος θέλει να εγκαταστήσει τον Ίππο του στο c4, όμως είναι φανερό ότι τα κομμάτια του δεν είναι αρμονικά τοποθετημένα.

10. Bd3 Bd7, 11. Be3 Qe7?!



Ανακρίβεια. Τα μαύρα θέλουν να αντιμετωπίσουν την απειλή των λευκών να κερδίσουν κομμάτι με 12. Nxc6 Bxc6, 13. Bxc5. Καλύτερο ήταν όμως το 11...Bxd4, 12. Nxd4 Nc4, 13. Bxc4 dxc4, 14. Nb5 O-O, 15. Nd6 b5!, 16. Bc5 (Αν 16. Nxb5 Nxe5 κτλ.) Ne7, 17. O-O Qc7, 18. Qd4 Rfd8 κτλ.

12. b4 



Παρότι το Stockfish 9 εδώ δίνει 12. b3, προσωπικά προτιμώ τη φορσέ συνέχεια με b4 που επέλεξα, η οποία αναγκάζει τα μαύρα να αποχωριστούν τον καλό τους Αξιωματικό. 

12...Bxd4, 13. Nxd4 Nxd4, 14. Bxd4 



Τα λευκά έχουν το ισχυρό ζεύγος των Αξιωματικών σε μία θέση που είναι έτοιμη να εκραγεί από στιγμή σε στιγμή. Η θεματική κίνηση f5 βρίσκεται ante portas.

14...Nc4, 15. Qe2?!



Μικρή ανακρίβεια με χάσιμο τέμπο. Προτιμότερο ήταν το 15. Qg4, δεδομένου ότι ούτως ή άλλως αργότερα στην παρτίδα η Βασίλισσα πήγε εκεί.

15...b5? 



Σοβαρό στρατηγικό σφάλμα που νεκρώνει τελείως το μαύρο λευκοτετράγωνο Αξιωματικό.

16. O-O a5, 17. a3 



Απλή κίνηση που αποτρέπει οποιαδήποτε δραστηριότητα του μαύρου στην πτέρυγα της Βασίλισσας. Καλό ήταν επίσης το 17. Bc5 που στερεί οριστικά από τον μαύρο το δικαίωμα του ροκέ.

17...Qd8 



Ο μαύρος πασχίζει να βρει τρόπο ώστε να κάνει ροκέ, το οποίο με τη Βασίλισσα στο e7 είναι ανέφικτο λόγω του 17...Ο-Ο, 18. Bc5 που σουβλίζει τη Βασίλισσα και τον Πύργο. Τα μαύρα είναι ήδη πολύ άσχημα. 

18. Qg4 



Πιο γρήγορο ήταν το f5. Προτίμησα όμως το Qg4 που προκαλεί αδυναμίες γύρω από το μαύρο Βασιλιά. Υπενθυμίζουμε ότι η Βασίλισσα θα μπορούσε να βρίσκεται στο g4 ήδη από τη 15η κίνηση.

18...g6, 19. Qg3 



Εδώ αξίζει να αναφέρουμε την πρόταση του Stockfish: 19. f5 exf5, 20. Qf4 Be6, 21. Qh6 a4, 22. Bxc4 bxc4, 23. b5 Kd7, 24. b6 Kc8, 25. Rab1 Kb7, 26. Rb5 Qe7, 27. Ra1 Rhc8. Στη συνέχεια αυτή τα λευκά φανερά υπερτερούν, όμως δεν είναι καθόλου ξεκάθαρο πώς θα διεισδύσουν στη θέση του μαύρου.

19...Nd2 



Με την κίνηση αυτή τα μαύρα θέλουν να μεταφέρουν με τέμπο τον Ίππο τους στο b3 με σκοπό να τον αλλάξουν με τον επικίνδυνο λευκό μαυροτετράγωνο Αξιωματικό στο d4! 

20. f5! 



Δωρίζω τον πρώτο Πύργο... Τι αξία έχει ένας Πύργος μπροστά στην ολοσχερή καταστροφή της άμυνας του μαύρου Βασιλιά... Να πούμε βέβαια ότι η κίνηση αυτή παίχτηκε με λίγη καθυστέρηση χωρίς ωστόσο ευτυχώς να στερείται αποτελεσματικότητας.

20...Nxf1, 21. Rxf1 Qc7

Φυσικά όχι 21...gxf5??, 22. Qg7 Rf8 (αν 22...Ke7, 23. Bc5+), 23. Bc5 διαλύοντας τη θέση του μαύρου, ενώ στο 21...exf5?, 22. e6! με διπλή απειλή σε Αξιωματικό και Πύργο.

22. fxg6 hxg6 



Αν 22...fxg6, τότε 23. Qh4 και τα μαύρα είναι κομμένα στα δύο. Ο Βασιλιάς είναι καταδικασμένος στο κέντρο και οι δύο Πύργοι δεν επικοινωνούν μεταξύ τους.

23. Rxf7!



Σωστός Δούρειος Πύργος... Κίνηση κλειδί για τη συνέχιση της επίθεσης. Η θυσία του πρώτου πύργου δικαιώνεται με τη θυσία και του δεύτερου!

23...O-O-O 



Ο μαύρος ακούει αυτή τη φορά τη συμβουλή του Λαοκόοντα και δεν αποδέχεται το δεύτερο δώρο... Φυσικά στο 23...Kxf7 ακολουθεί ματ σε 5 κινήσεις με 24. Bxg6+ Kg8, 25. Bh5+ Kf8, 26. Qf4+ Kg7, 27. Qf6+ Kg8, 28. Qf7#

24. Qxg6 



Εδώ βέβαια θα μπορούσε να παιχτεί και 24. Bxb5 axb4, 25. axb4 Qb7, 26. Be2 Rdf8, 27. Qxg6 Rxf7, 28. Qxf7 κτλ. Ακόμα κι έτσι όμως η θέση μου είναι σαφέστατα ανώτερη.

24...axb4, 25. axb4 Rdg8, 26. Qf6 Qd8, 27. g3?! 



Υπήρχε η δυνατότητα για το 27. Bxb5! Bxb5, 28. Qxe6+ Kb8 (Εάν 28... Bd7, 29. Qa6+ Kb8, 30. Ba7+ Ka8, 31. Bb6+ Kb8, 32. Qa7+ Kc8, Qa8#) 29. Bc5! Rxg2, 30. Kxg2 Qg5+, 31. Kh1 Qc1+, 32. Bg1 Qh6, 33. Rf6 Qg7, 34. Qxd5 κτλ.

27...Qxf6?!



Καλύτερο ήταν το 27...Rf8

28. exf6 Rf8, 29. Rxf8 Rxf8, 30. Bg6 Be8? 



Το τελευταίο λάθος σε μια ούτως ή άλλως χαμένη θέση.

31. Bxe8 Rxe8, 32. Bc5!



και τα μαύρα εγκατέλειψαν, καθώς δεν μπορούν να εμποδίσουν την προαγωγή του λευκού πιονιού.

Saturday, 26 January 2019

Κορώνα ή Γράμματα;

- Αν ένα κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τι θα ποντάρατε ότι θα φέρει στην ενδέκατη ρίψη; 

Η σωστή απάντηση δεν είναι καθόλου προφανής. Η πλειοψηφία τείνει να ποντάρει στην κορώνα, σε αυτό δηλαδή που έχει καιρό να εμφανιστεί. Ο λόγος είναι η λάθος ερμηνεία του περίφημου ισχυρού Νόμου των Μεγάλων ΑριθμώνΟ νόμος αυτός λέει το εξής: 

Έστω ότι ένα πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται $N$ φορές και έστω ότι η θεωρητική (a priori) πιθανότητα κάποιου γεγονότος $A$ είναι $p_Α$. Ορίζουμε ως σχετική συχνότητα πραγματοποίησης του $A$ το πηλίκο $f_A = \frac{N_A}{N}$, όπου $N_A$ συμβολίζει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το γεγονός $A$ στις $N$ επαναλήψεις του πειράματος. Τότε, καθώς το $N$ τείνει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα $f_A$ συγκλίνει στην τιμή $p_A$. Με άλλα λόγια, όσο περισσότερες φορές επαναλαμβάνεται το πείραμα, τόσο αναμένουμε η τιμή $f_A$ να πλησιάσει την τιμή $p_A$. 


Αρχικά, για να λύσουμε το πρόβλημα, είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι διαδοχικές ρίψεις του κέρματος είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι πιθανότητες δηλαδή για κορώνα ή γράμματα δεν μεταβάλλονται από τη μία ρίψη στην άλλη. Εδώ είναι άλλωστε και το σημείο στο οποίο ξεκινούν οι παρανοήσεις και τα σφάλματα, καθώς πολλοί θεωρούν ότι τα προηγούμενα αποτελέσματα επηρεάζουν με κάποιον «μεταφυσικό» τρόπο την επόμενη ρίψη. Κανένα κέρμα όμως, σε κανένα σημείο του πλανήτη δεν έχει μνήμη. Συνεπώς, το τι έφερε ένα κέρμα στο παρελθόν δεν επηρεάζει σε τίποτα το τι θα φέρει στο μέλλον. Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι δεσμευμένες (a posteriori) πιθανότητες, δεδομένου του αποτελέσματος μίας ρίψης, ταυτίζονται με τις a priori

Λόγω ακριβώς της ανεξαρτησίας των διαδοχικών επαναλήψεων, για να μπορέσουμε να αποφανθούμε που συμφέρει να ποντάρουμε, το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η a priori πιθανότητα για κάθε ενδεχόμενο. Στα επόμενα θεωρούμε τις a priori πιθανότητες $p_K$ και $p_{\Gamma}$, το κέρμα να φέρει κορώνα και γράμματα, αντίστοιχα. Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:

Γνωστές a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η ιδανική εκδοχή. Η γνώση των a priori πιθανοτήτων κάποιου πειράματος συνήθως βασίζεται στους νόμους της φυσικής ή σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αν γνωρίζουμε τα $p_K$ και $p_{\Gamma}$, τότε φυσικά ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. 

α) Αν $p_K = p_{\Gamma}$, αν δηλαδή η πιθανότητα το κέρμα να φέρει γράμματα ισούται με την πιθανότητα να φέρει κορώνα, τότε δεν έχει σημασία που θα ποντάρουμε, αφού σε κάθε περίπτωση προσδοκούμε να κερδίσουμε με πιθανότητα $50\%$. Σε αυτήν την περίπτωση το κέρμα λέγεται δίκαιο. Πολλοί θεωρούν ότι εφόσον το κέρμα έφερε 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, κατά κάποιον τρόπο «οφείλει» να φέρει κάποια στιγμή κορώνα ώστε οι σχετικές συχνότητες των γεγονότων «κορώνα» και «γράμματα» να πλησιάσουν την αναμενόμενη τιμή $50\%$. Και όντως, περιμένουμε κάποια στιγμή να φέρει κορώνα, όχι όμως λόγω του παρελθόντος, αλλά για τον απλούστατο λόγο ότι το $50\%$ αποτελεί μεγάλη τιμή πιθανότητας. Για να συμβεί τώρα η σύγκλιση των σχετικών συχνοτήτων, το μόνο που «οφείλει» το κέρμα είναι να συνεχίσει να φέρνει in perpetuum κορώνα ή γράμματα με πιθανότητα $50\%$ το καθένα. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό αν υποθέσουμε για παράδειγμα ότι στις επόμενες 999990 φορές το κέρμα φέρει 499995 φορές κορώνα και 499995 φορές γράμματα. Τότε, παρότι στην αρχή είχαμε $f_K = 0\%$ και $f_{\Gamma} = 100\%$, στο τέλος οι τιμές αυτές ανανεώνονται στις $f_K = \frac{499995}{1000000} = 49.9995\%$ και $f_{\Gamma} = \frac{1000005}{1000000} = 50.0005\%$ αντίστοιχα. Και οι δύο δηλαδή πλησιάζουν πάρα πολύ τη θεωρητική τιμή $50\%$.

β) Στην πραγματικότητα, πολλές φορές κάνουμε κάποιες θεωρητικές παραδοχές οι οποίες δεν ισχύουν απαραίτητα και στην πράξη. Το κέρμα δηλαδή μπορεί να μην είναι και τόσο δίκαιο όσο θα περιμέναμε. Για παράδειγμα, το ανάγλυφο σχήμα του, έστω και ανεπαίσθητα καταστρέφει την ομοιομορφία του κέρματος, με αποτέλεσμα να στρεβλώνεται το ισοπίθανο των δύο όψεων. Στην περίπτωση αυτή φυσικά συμφέρει να ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Αν για παράδειγμα, $p_{\Gamma} > p_K$, τότε πρέπει να ποντάρουμε ξανά στα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι τις 10 τελευταίες φορές ήρθαν γράμματα.

Άγνωστες a priori πιθανότητες:

Αυτή είναι η πιο ρεαλιστική εκδοχή. Η a priori πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν είναι σε όλα τα πειράματα γνωστή. Υπάρχουν για παράδειγμα πειράματα, στα οποία δεν μπορούμε να κάνουμε καμία υπόθεση βασιζόμενοι σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αυτό που γίνεται συχνά στην πράξη είναι η εκτίμηση των a priori πιθανοτήτων των γεγονότων μέσα από την επανάληψη του πειράματος τύχης. Με κάθε επανάληψη του πειράματος μοντελοποιούμε καλύτερα τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου χρησιμοποιώντας τις σχετικές συχνότητες ως εκτιμητές. Στην περίπτωση αυτή συνεπώς, αν και οι προηγούμενες ρίψεις δεν επηρεάζουν τις επόμενες, μας παρέχουν πολύτιμη πληροφορία ώστε να εκτιμήσουμε μέσα σε συγκεκριμένα διαστήματα εμπιστοσύνης τις άγνωστες a priori πιθανότητες των δύο γεγονότων. 

Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τις a priori πιθανότητες των ενδεχομένων κορώνα και γράμματα, αν το κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τότε μία καλή τακτική είναι να ποντάρουμε και την ενδέκατη φορά στα γράμματα! Οι 10 προηγούμενες φορές υποδεικνύουν μία τάση (bias) του κέρματος να φέρνει περισσότερες φορές γράμματα. Αν για τις 10 ρίψεις το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται παράλογο, αρκεί να σκεφτούμε ένα κέρμα το οποίο έχει φέρει 1000000 συνεχόμενες φορές γράμματα! Τότε, σίγουρα όλοι θα σκεφτόμασταν ότι το γεγονός αυτό μάλλον δεν είναι καθόλου τυχαίο και με μεγάλη βεβαιότητα θα περιμέναμε και στην εκατομμυριοστή πρώτη ρίψη το κέρμα να φέρει γράμματα. 

Φυσικά το αποτέλεσμα αυτό δεν έχει να κάνει με τις συνεχόμενες ρίψεις, αλλά με τη γνώση που έχουμε για το πλήθος εμφάνισης του κάθε ενδεχομένου. Αν δηλαδή, στις προηγούμενες 100 ρίψεις το κέρμα έφερνε 90 φορές κορώνα και 10 φορές γράμματα, τότε θα έπρεπε να αλλάξουμε γνώμη και να ποντάρουμε στην κορώνα, παρά το γεγονός ότι στις δέκα τελευταίες ρίψεις έφερε γράμματα!


Ερώτηση bonus: Αν ένα κέρμα έχει φέρει τις τελευταίες 100 φορές τις επόμενες ενδείξεις με τη σειρά που αναγράφονται παρακάτω, τότε πού θα ποντάρατε στην 101η ρίψη;

Για να δείτε την απάντηση πατήστε «Read more»