Όταν οι πόρτες κλείνουν: Xρόνος και Yπαρξιακή Aπομόνωση

Στον Άρη Κωστόπουλο

Από την ομιλία μου στην παρουσίαση του βιβλίου

«Όταν οι πόρτες κλείνουν, ένα ταξίδι στην ύπαρξη»

Το άρθρο αυτό είναι, με μερικές τροποποιήσεις, η ομιλία που έδωσα στην παρουσίαση¹ του καινούργιου βιβλίου του καλού μου φίλου Άρη Κωστόπουλου με τίτλο «Όταν οι πόρτες κλείνουν», από τις εκδόσεις Οσελότος. Ο κεντρικός άξονας του βιβλίου είναι η Κατάθλιψη, την οποία ο συγγραφέας καταφέρνει να παρουσιάσει με ένα γλαφυρό τρόπο, μέσα από την προσωπική του εμπειρία, από την οπτική γωνία τόσο του θεραπευόμενου, όσο και του θεραπευτή. Παρά τον ειδικό του χαρακτήρα, το βιβλίο απευθύνεται σε όλους, καθώς με αφορμή την Κατάθλιψη, θέτει φιλοσοφικούς προβληματισμούς που αφορούν στην ίδια μας την ύπαρξη, όπως άλλωστε ομολογεί και ο υπότιτλος του βιβλίου «Ένα ταξίδι στην ύπαρξη».

Στο άρθρο αυτό, χωρίς να είμαι ειδικός σε θέματα Ψυχολογίας, θα προσπαθήσω σε Φιλοσοφικό επίπεδο, με μία άλλοτε Κοσμολογική και άλλοτε Οντολογική προσέγγιση να εκθέσω κάποιες υπαρξιακές αναζητήσεις που απασχολούν πολλούς από εμάς. Πιο συγκεκριμένα, με αφορμή αποσπάσματα από το βιβλίο, θα παρουσιάσω μέσα από το υποκειμενικό μου πρίσμα τον τρόπο που αντιλαμβάνομαι και ενδεχομένως βιώνω εγώ την Κατάθλιψη, που απορρέει μέσα από δύο πολύ σημαντικά ζητήματα, τον Χρόνο και την Υπαρξιακή Απομόνωση. Φυσικά, θα πρέπει να τονίσω ότι η αναφορά στην Κατάθλιψη γίνεται με την ευρύτερη έννοια του όρου και όχι με την αυστηρά επιστημονική. Ο σκοπός του άρθρου είναι περισσότερο να θέσει προβληματισμούς και να προσφέρει τροφή για περαιτέρω σκέψη γύρω από την Κατάθλιψη, παρά να δώσει συγκεκριμένες απαντήσεις στα ζητήματα αυτά.

Χρόνος 

Τι είναι ο Χρόνος; Είναι η ένδειξη που βλέπουμε στο καντράν του ρολογιού μας ή μήπως είναι οι κόκκοι άμμου που πέφτουν από τη μία μεριά της κλεψύδρας στην άλλη; Τον επινοήσαμε εμείς ή μήπως υπάρχει ανεξάρτητα από τον άνθρωπο; Το Μέλλον υπάρχει ήδη κάπου; Πού έχει πάει το Παρελθόν; Και τι είναι τελοσπάντων το Παρόν; Δυσεπίλυτα προβλήματα που αναμφίβολα βασανίζουν την ανθρώπινη σκέψη. Ο μεγάλος θεωρητικός φυσικός John Wheeler είχε πει «Χρόνος είναι ο τρόπος με τον οποίο η Φύση εμποδίζει να συμβούν τα πάντα την ίδια στιγμή». Οι ρήσεις για τον Χρόνο είναι αρκετές για να γεμίσουν πολλές σελίδες από μόνες τους.

Υπάρχουν διάφορα είδη Χρόνου. Για παράδειγμα, υπάρχει ο Φυσικός Χρόνος, ο οποίος νοείται ως ένα από τα τρία θεμελιώδη μεγέθη στη Φυσική, τα άλλα δύο είναι ο Χώρος και η Μάζα. Το είδος του Χρόνου που κυρίως θα μας απασχολήσει σε αυτό το άρθρο είναι ο Ψυχολογικός ή Υπαρξιακός, ας μου επιτραπεί ο όρος, Χρόνος, ο Χρόνος δηλαδή όπως τον αντιλαμβάνεται και τον βιώνει ο Άνθρωπος. 

Ο συγγραφέας στο βιβλίο κάνει αναφορά στην έννοια του χρόνου, είτε άμεση είτε έμμεση, περίπου 80 φορές! Αυτό, πέρα από κάθε αμφιβολία, δείχνει τον τεράστιο ρόλο που διαδραματίζει ο Χρόνος στην Κατάθλιψη. 

«Τα δευτερόλεπτα που πέρασαν μέχρι να πατήσει το κουδούνι τού φάνηκαν αιώνας», αναφέρει σε κάποιο σημείο. «Καθώς περπατούσε αργά, ο χρόνος φαινόταν να είχε σταματήσει», λέει κάπου αλλού. Τα αποσπάσματα αυτά εγείρουν τον εξής προβληματισμό, που συνδέεται με την Κατάθλιψη: Είναι σταθερός ο ρυθμός με τον οποίο κυλάει ο Χρόνος; Είναι ο ρυθμός αυτός ανεξάρτητος από τον ψυχισμό του Ανθρώπου; Στον χώρο των Φυσικών κυκλοφορεί ο εξής αστεϊσμός: «Η ταχύτητα του Χρόνου είναι ένα δευτερόλεπτο ανά δευτερόλεπτο». Η αυτοαναφορά αυτή θέλει να δείξει το αδιέξοδο στην προσπάθεια να ορίσει κανείς το ρυθμό του Χρόνου. Ο Albert Einstein όταν κάποτε του ζητήσανε να εξηγήσει τη σχετικότητα του Χρόνου με απλά λόγια είχε πει: «Αν ακουμπήσεις με το χέρι σου μια αναμμένη σόμπα για ένα λεπτό θα σου φανεί σαν μία ώρα. Αν καθήσεις δίπλα σε μία όμορφη γυναίκα για μία ώρα θα σου φανεί σαν ένα λεπτό». Είναι σαφές ότι η έννοια του Χρόνου δεν είναι οικουμενική. Όλοι έχουμε νιώσει το Χρόνο να κυλάει άλλοτε πιο γρήγορα και άλλοτε πιο αργά. Ο μεγάλος προσωκρατικός φιλόσοφος Πρωταγόρας είχε πει κάποτε τη ρήση: «Πάντων χρημάτων μέτρον άνθρωπος», δηλαδή ο άνθρωπος είναι το μέτρο των πάντων. Άρα και του Χρόνου.

«Πόσο αστεία έννοια ο χρόνος. Αρχίζει με αργά βήματα και στη συνέχεια επιταχύνει. Χάνεται σε στιγμές, ακολουθεί διαφορετικό ρυθμό πότε σε μία περίπτωση και πότε σε άλλη». Είναι διαδεδομένη η πεποίθηση ότι καθώς μεγαλώνουμε, αισθανόμαστε ότι ο χρόνος κυλάει ολοένα και γρηγορότερα. Είναι αυτό πραγματικότητα ή ψευδαίσθηση; Το επόμενο παράδειγμα είναι προς αυτή την κατεύθυνση. 

Είναι το διάστημα μίας ημέρας μεγάλο; Έστω ότι γεννηθήκατε μόλις χθες και άρα η ηλικία σας είναι μίας ημέρας. Την επόμενη μέρα θα έχετε γίνει δύο ημερών, ο συνολικός χρόνος της ζωής σας δηλαδή θα έχει διπλασιαστεί. Όσο είχατε ζήσει μέχρι σήμερα, άλλο τόσο θα έχετε ζήσει μέχρι αύριο! Έστω τώρα ότι είστε 36 ετών. Αυτό χονδρικά ισοδυναμεί με 13140 περίπου μέρες. Αύριο συνεπώς θα είστε 13141 ημέρας, μία αύξηση του χρόνου ζωής σας της τάξεως του 0,008%. Με βάση την ηλικίας σας, που καθορίζει και την εμπειρία σας στη ζωή, στην πρώτη περίπτωση, η διάρκεια μίας μέρας είναι ένα εξαιρετικά μεγάλο χρονικό διάστημα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση, για εσάς τον ίδιο, η διάρκεια μίας μέρας γίνεται ένα εντελώς αμελητέο χρονικό διάστημα. Πράγματι λοιπόν, με αυτόν τον τρόπο φαίνεται σαν ο χρόνος να επιταχύνεται όσο μεγαλώνουμε. 

Στο σημείο αυτό, νιώθω την ανάγκη να διηγηθώ μια προσωπική μου ιστορία από τα παιδικά μου χρόνια. Στην ηλικία περίπου των 6 ετών, αφού δηλαδή άρχισα να αντιλαμβάνομαι την έννοια του χρόνου, είχαμε στο σπίτι μας ένα στερεοφωνικό συγκρότημα, που έπαιζε κασέτες, με μαγνητική ταινία. Θυμάμαι λοιπόν ότι κάθε κασέτα, στο οπισθώφυλλό της είχε συγκεντρωμένους τους τίτλους των τραγουδιών και τη διάρκειά τους. Ένα μέσο κομμάτι είχε διάρκεια περίπου 3 λεπτά, και το χρονικό αυτό διάστημα μου φαινόταν ασύλληπτα μεγάλο. Να ακούσω για ολόκληρα 3 λεπτά ένα τραγούδι... Αδιανόητο! Εγώ, μέσα σε 3 λεπτά θα μπορούσα να αραδιάσω τις μισές από τις λέξεις που γνώριζα. Ο μπαμπάς μου θυμάμαι μου έλεγε τότε με μεγάλη σοφία «είσαι μικρός, γι αυτό σου φαίνεται μεγάλο το τραγούδι»! Πλέον, στα 36 μου, μπορώ και ακούω μεμιάς ολόκληρες συμφωνίες της μίας ώρας και πραγματικά δεν καταλαβαίνω πώς περνάει ο χρόνος.

Σε κάποιο άλλο σημείο ο συγγραφέας αναφέρει: «Τον τρόμαζε η σκέψη ότι κάθε δευτερόλεπτο είναι μοναδικό, κάθε δευτερόλεπτο που περνάει χάνεται στην άβυσσο του παρελθόντος». Γιατί ο Χρόνος κυλάει μόνο προς μία κατεύθυνση; Γιατί δεν μας δίνει τη δυνατότητα να επαναφέρουμε κάποια πράγματα στην προτέρα τους κατάσταση, ώστε να διορθώσουμε κάποια κακώς κείμενα και να βελτιώσουμε τη ζωή μας; Ίσως όμως το σημαντικότερο ερώτημα είναι αν ήταν δυνατή η αντιστροφή του χρόνου, θα μας βοηθούσε να απαλλαγούμε από τα αισθήματα της Κατάθλιψης ή μήπως απεναντίας σε μια αέναη ταλάντωση του χρόνου μία μπρος και μία πίσω η ζωή θα στερούνταν κάθε ψήγμα νοήματος, βυθίζοντάς μας ακόμη βαθύτερα στην Κατάθλιψη;

Αναμφίβολα, ένα μεγάλο ποσοστό του υπαρξιακού μας άγχους προέρχεται από τη γνώση της μοναδικότητας της κάθε στιγμής της ζωής μας. Επίσης, δεν θα ήταν υπερβολή να πούμε ότι όλη η Ηθική μας φιλτράρεται, αν και συνήθως ασυναίσθητα, από αυτή τη συνθήκη της μοναδικότητας. Θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον να σκεφτούμε πόσο διαφορετική θα ήταν η Ηθική μας αν είχαμε δεύτερη ευκαιρία. Και ακόμη μεγαλύτερο ενδιαφέρον ίσως θα είχε να σκεφτούμε την επίδραση που θα είχε στη στάση μας απέναντι στη ζωή μια ενδεχόμενη διηνεκής επανάληψη των αποφάσεων που παίρνουμε και των ενεργειών που κάνουμε στην τρέχουσα ζωή μας. Όλα αυτά τα ζητήματα έχουν ήδη απασχολίσει μερικούς από τους μεγαλύτερους Φιλόσοφους, όπως για παράδειγμα τον Νίτσε και σίγουρα αξίζει να έρθει κανείς σε επαφή με αυτά τα ζητήματα, αλλά και με τις διάφορες θέσεις, είτε συμφωνεί μαζί τους είτε όχι. 

Προσωπικά, τολμώ να πω ότι ο Χρόνος με βασανίζει περισσότερο από οτιδήποτε άλλο στη ζωή μου. Η τρομακτική ιδέα ότι δεν μας δίνεται δεύτερη ευκαιρία και ότι οδεύουμε με ιλλιγιώδη επιτάχυνση πρόσω ολοταχώς προς το Θάνατο, δεν με αφήνει σε ησυχία ούτε μία μέρα.

Υπαρξιακή Απομόνωση 

Εκτός από τον Χρονο όμως με βασανίζει επίσης και η Υπαρξιακή Απομόνωση. Η Υπαρξιακή Απομόνωση μπορεί να αφορά στον άνθρωπο ως άτομο, αλλά μπορεί να αφορά και στο ανθρώπινο είδος στο σύνολό του. Φυσικά και στις δύο περιπτώσεις, ο αποδέκτης των συναισθημάτων της Κατάθλιψης είναι το άτομο.

«Αυτό που μας φοβίζει, αυτό που κυριαρχεί μέσα μας, είναι ο φόβος της ανυπαρξίας», λέει σε κάποιο σημείο ο συγγραφέας. Αν και ταυτίζομαι με αυτή την άποψη, το να ισχυρίζεται κανείς ότι φοβάται την ανυπαρξία μήπως είναι μια εριστική δήλωση, καθώς προϋποθέτει εξ αρχής την παραδοχή της ύπαρξης; Ύπαρξη και ανυπαρξία είναι ένα ζευγάρι αλληλένδετων εννοιών, που η μία επικαθορίζει την άλλη. Έχει νόημα συνεπώς να μιλάμε για την ύπαρξη; «Το σκοτάδι της ύπαρξης απλά έρχεται να συμπληρώσει το σκοτάδι της ανυπαρξίας», αναφέρει εύστοχα σε κάποιο άλλο σημείο, σαν να άκουσε τη σκέψη μου.

Η ιδέα της έλλειψης υπόστασης της ύπαρξης, στα δικά μου αυτιά ακούγεται άκρως τρομακτική. Ασφαλώς η ιδέα αυτή δεν είναι δική μου, έχει προβληματίσει πολλές σπουδαίες προσωπικότητες ανά τους αιώνες. Ο Καρτέσιος για παράδειγμα είχε εισηγηθεί την αρχή της αμφισβήτησης των πάντων. Σύμφωνα με την αρχή αυτή, πρέπει να γίνουμε τόσο αυστηροί, ώστε να μην δεχόμαστε ως αληθή καμία πρόταση, παρά μόνο αν αυτή είναι αυταπόδεικτη. Βασισμένος σε αυτήν την αρχή, με τη βοήθεια κάποιων λογικών επαγωγών, κατέληξε στην περίφημη φράση: «Cogito, ergo sum», δηλαδή «Σκέφτομαι, άρα υπάρχω». Βαθύς υπαρξιακός στοχασμός που επηρέασε την μετέπειτα φιλοσοφία. 

Ας πάμε λοιπόν με το ρεύμα του Καρτέσιου και ας απαντήσουμε στο δίλημμα της ύπαρξης θετικά. Έστω λοιπόν ότι υπάρχουμε! Πού βρίσκεται όμως τότε το σύνορο μεταξύ ύπαρξης και ανυπαρξίας; Είναι ο θάνατος αυτό το σύνορο; Παύει η ύπαρξη μετά το θάνατο; «Μια μέρα όλοι θα πεθάνουμε και μετά από λίγες γενιές δεν θα υπάρχουμε ούτε ως ανάμνηση. Πάντα προσπαθούμε να ανακαλύψουμε τρόπους και σκοπούς, ώστε να δώσουμε λίγο νόημα στη μαύρη κατά τα άλλα ύπαρξη», λέει ο συγγραφέας, βάζοντάς μας να αναρωτηθούμε αν η μνημόνευση ενός ανθρώπου μετά το θάνατό του συνιστά συνέχιση της ύπαρξής του και αν έχει νόημα να παλεύουμε για να κερδίσουμε τη διαιώνιση της ύπαρξής μας μέσω της υστεροφημίας. Δεν τολμώ μάλιστα να αναφερθώ στο ζήτημα της μεταθάνατον ζωής, καθώς το ζήτημα αυτό είναι ένα ξεχωριστό άρθρο από μόνο του. Τα ερωτήματα είναι ατελείωτα και δυστυχώς, στον αγώνα της αναζήτησης απαντήσεων σε όλους αυτούς τους υπαρξιακούς προβληματισμούς, όπως το είχε θέσει και ο Karl Jaspers, είμαστε απολύτως μόνοι μας.

Πέρα όμως από την «ατομική» μας μοναξιά, υπάρχει και η μοναξιά που «νιώθουμε» καθολικά σαν είδος. Ένα είδος που πασχίζει με κάθε τρόπο να παγιώσει την ύπαρξή του στον Χρόνο και τον Χώρο. Στον Χρόνο μέσω, για παράδειγμα, της φυσικής διαδικασίας της αναπαραγωγής καθώς και της παρασκευής φαρμάκων με απώτερο στόχο, ας μην το κρύβουμε, την εύρεση του ελιξιρίου της ζωής. Στον Χώρο μέσω της αποδήμησής του σε κάθε γωνιά του πλανήτη, αλλά πλέον και μέσω της μετοίκισής του σε άλλους πλανήτες. Είναι αυτό όμως αρκετό για να εξασφαλίσει το ανθρώπινο είδος την ύπαρξή του ανεξάρτητα από το Χρόνο και το Χώρο; Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, ίσως πρέπει να ρωτήσουμε τους εξωγήινους... 

Ο μεγάλος φυσικός Enrico Fermi είχε διατυπώσει μία θεωρία, γνωστή και ως «Παράδοξο του Fermi», η οποία ισχυρίζεται ότι υπάρχει αντίφαση στην έλλειψη στοιχείων για εξωγήινη ζωή, δεδομένης της αρκετά μεγάλης πιθανότητας² ύπαρξης τέτοιας ζωής που προκύπτει από εκτιμήσεις με βάση την απεραντοσύνη του σύμπαντος και τον εξαιρετικά μακρύ βίο του, που εκτιμάται στα 14 σχεδόν δισεκατομμύρια έτη. Η πιθανότητα αυτή μάλιστα ενισχύεται χάρις στην ανακάλυψη περιοχών του σύμπαντος που παρουσιάζουν εντυπωσιακή ομοιότητα με το ηλιακό μας σύστημα και τον πλανήτη μας και οι οποίες δυνητικά θα μπορούσαν να φιλοξενήσουν μορφές ζωής σαν τη δική μας. 

Το γεγονός ότι παρόλα αυτά δεν έχουμε ανακαλύψει, αλλά ούτε μας έχει επισκεφτεί εξωγήινη νοήμων ζωή, ίσως δηλώνει τη μοναδικότητά μας (ή μήπως απομόνωση ή μήπως μοναξιά; ρωτώ ρητορικά). Η άποψη αυτή δίνει τροφή στην λεγόμενη Ανθρωπική Αρχή, η οποία χονδρικά ισχυρίζεται ότι το σύμπαν είναι αυτό που είναι ακριβώς για να υπάρχει το ανθρώπινο είδος. Αυτό κατά τη γνώμη μου αποτελεί μια εντελώς ανθρωποκεντρική - εγωκεντρική θεώρηση που προσπαθεί απεγνωσμένα να δώσει νόημα στην ύπαρξή μας μέσω του επιχειρήματος του ευφυούς σχεδιασμού, ενισχύοντας με αυτόν τον τρόπο την πεποίθηση ότι υπάρχει Θεός – Δημιουργός. Με αυτόν τον τρόπο ανασύρει, κάπως αυθαίρετα, τον Άνθρωπο από την ασημαντότητά του και τον τοποθετεί σε περίοπτη θέση, στο κέντρο του Σύμπαντος, ικανοποιώντας με αυτόν τον τρόπο την απαίτηση που πηγάζει από την κοσμολογική θεώρηση του Αριστοτέλη. Η πλειοψηφία των επιστημόνων φυσικά απορρίπτει την Ανθρωπική Αρχή, διότι θεωρεί ότι οι απαντήσεις σε τέτοιου είδους κοσμολογικά ζητήματα εμπίπτουν στη σφαίρα της Επιστήμης και δεν πρέπει να αποτελούν προϊόντα εικοτολογίας. 

Στην πραγματικότητα, το μήνυμα που μας μεταφέρει το Παράδοξο του Fermi αποδεικνύεται δυσοίωνο για τη συνέχιση της ύπαρξής μας, καθώς το σύμπαν με αυτόν τον τρόπο δείχνει να είναι εντελώς αφιλόξενο ως προς τη ζωή και ίσως προμηνύει τον αφανισμό μας, εν είδει άλλων αφανισμών που έχουν συντελεστεί ήδη στο παρελθόν, όπως αυτός των δεινοσαύρων. Κατά μία άποψη, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η εύρεση άλλων ειδών νοήμονος ζωής είναι κρίσιμη για τη διασφάλιση της υψηλής πιθανότητας επιβίωσής μας σας είδος. 

Ακόμη όμως και η ενδεχόμενη συνάντησή μας με κάποιο εξωγήινο είδος είναι αρκετή για να λύσει το πρόβλημα της υπαρξιακής μας απομόνωσης; Ή μήπως στο ευτυχές σενάριο που κανένας από τους δύο πολιτισμούς δεν θα εξολοθρεύσει τον άλλο και υπάρξει αγαστή συνεργασία, το μόνο που θα συμβεί θα είναι να προκύψει ένα νέο υπερείδος νοήμονος ζωής που θα περιλαμβάνει το ανθρώπινο και το εξωγήινο, τα όντα του οποίου θα εξακολουθήσουν να προβληματίζονται για την ύπαρξη. Μήπως δηλαδή πρόκειται απλά για μια αλλαγή κλίμακας; 

Ακόμη κι αν καταφέρουμε να δώσουμε νόημα σε όλα αυτά και κατορθώσουμε να εξασφαλίσουμε πραγματική, διαχρονική υπόσταση στην ύπαρξή μας, πού θα καταλήξουν όλα αυτά μακροσκοπικά; Ποια είναι η μοίρα του Σύμπαντος; Η απάντηση κρύβεται στην Εντροπία και τον 2ο Θερμοδυναμικό Νόμο! Η Εντροπία ενός συστήματος, με όσο το δυνατόν πιο απλά, εκλαϊκευμένα λόγια, είναι το μέτρο της αταξίας που υπάρχει στο σύστημα. Μεγάλη Εντροπία σημαίνει μεγάλη αταξία. Μικρή Εντροπία σημαίνει μικρή αταξία. Στην εφηβική μου ηλικία για παράδειγμα, η Εντροπία του συστήματος που λεγόταν «Δωμάτιό μου» ήταν συνήθως υψηλή και κατάφερνα να τη διατηρώ σε φυσιολογικά επίπεδα μόνο χάρις στην παρέμβαση της μαμάς μου. Ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος λέει ότι η συνολική Εντροπία, ήτοι η αταξία, ενός απομονωμένου συστήματος αυξάνεται γνησίως με τον Χρόνο. 

Στο σημείο αυτό χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή, καθώς πολλοί κάνουν το λάθος να θεωρούν ότι αταξία σημαίνει ανομοιομορφία, ενώ στην πραγματικότητα ισχύει ακριβώς το αντίθετο. Αταξία σημαίνει ομοιομορφία, ομογενοποίηση. Το αγαπημένο μου παράδειγμα, το οποίο ταυτόχρονα εξηγεί με απλό τρόπο και τον 2ο Θερμοδυναμικό Νόμο είναι του μεγάλου θεωρητικού φυσικού και σπουδαίου εκλαϊκευτή της επιστήμης Jim Al-Khalili. Αν πετάξετε έναν κύβο ζάχαρης μέσα σε ένα ποτήρι νερό, η ζάχαρη μέσα σε λίγη ώρα θα διαλυθεί σε όλο τον όγκο του νερού. Το φαινόμενο αυτό θα συμβαίνει κάθε φορά που επαναλαμβάνετε αυτή τη διαδικασία. Ποτέ δεν θα δείτε τα μόρια της ζάχαρης να συγκεντρώνονται σε ένα σημείο και να ξαναδημιουργούν τον αρχικό κύβο³. Στην αρχή του φαινομένου λοιπόν υπάρχει κάποια ανομοιομορφία, ο όγκος του νερού και το συσσωμάτωμα της ζάχαρης, που δηλώνει μια τάξη η οποία έπειτα από λίγη ώρα καταλήγει στην ομοιόμορφη κατανομή της ζάχαρης στο ποτήρι, που αντιστοιχεί στην απόλυτη αταξία και άρα ομογενοποίηση. 

Ποια είναι η σχέση όμως όλων αυτών με την Κατάθλιψη; Ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος είναι παγκόσμιος, πράγμα που σημαίνει ότι εφαρμόζεται και στο σύμπαν ως ολότητα, ως ένα ενιαίο σύστημα. Η εφαρμογή του λοιπόν στο σύμπαν ουσιαστικά εισηγείται ότι αυτό κάποια στιγμή, νομοτελειακά, θα περιέλθει σε μία κατάσταση στην οποία, λόγω της απόλυτης ομογενοποίησης, θα είναι αδύνατο να ξεχωρίζει οποιαδήποτε μορφή δομής ή πληροφορίας. Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή και ως θερμικός θάνατος του σύμπαντος. Σε ένα τέτοιο περιβάλλον παύει να έχει νόημα οποιαδήποτε έννοια ύπαρξης του ανθρώπινου, αλλά και οποιουδήποτε άλλου είδους. 

Ακόμη κι αν λοιπόν με κάποιον τρόπο εξασφαλίσουμε την αθανασία μας και φυσικά καταφέρουμε να ξεπεράσουμε την επικείμενη καταστροφή του πλανήτη και του ηλιακού μας συστήματος, από φυσικής απόψεως, το ίδιο το σύμπαν από ότι φαίνεται έχει ημερομηνία λήξης, συνεπώς μαζί με αυτό θα εξαφανιστεί και το τελευταίο ίχνος της ανθρώπινης ύπαρξης. Όπως το είχε θέσει προφητικά ο Albert Camus, η ζωή μας δεν έχει κανένα νόημα, καθώς ακόμη κι αν νομίζουμε ότι έχει, το σύμπαν στο οποίο ζούμε δεν έχει κανένα απολύτως σκοπό και είναι σαφές ότι η ύπαρξή μας εξαρτάται απόλυτα από την ύπαρξη του σύμπαντος. Για όσους πρόλαβαν να σκεφτούν «μα καλά, αυτό είναι πολύ μακρινό, θα συμβεί μάλλον μετά από δισεκατομμύρια χρόνια, οπότε δεν με αφορά» θυμίζω τη σχετικότητα του Ψυχολογικού Χρόνου που αναφέρθηκε στην αρχή. Με βάση τη σχετικιστική αυτή προσέγγιση, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα οι έννοιες μικρό και μεγάλο χάνουν κάθε νόημα. Σε κάθε περίπτωση όμως, με την παραπάνω εσχατολογική προσέγγιση εξετάζουμε τη μοίρα του ανθρώπου ως είδος και όχι ως άτομο.

Δεν χρειάζεται όμως να πάμε μακριά. Η εντροπία και ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος εφαρμόζονται και στις ανθρώπινες κοινωνίες οι οποίες τείνουν με γοργούς ρυθμούς στην αταξία, η οποία σε αυτήν την περίπτωση μεταφράζεται στην πλήρη αποσύνθεση. Το ίδιο συμβαίνει και με τα ανθρώπινα ήθη και αξίες που «διαστέλλονται» με ξέφρενο ρυθμό, παρασύροντας μαζί τους το άτομο, το οποίο αδυνατώντας να ακολουθήσει αυτό το ρυθμό οδηγείται στην απώλεια της υπαρξιακής του ταυτότητας. 

Η απώλεια της υπαρξιακής ταυτότητας του ατόμου όμως, συμβαίνει και σε Οντολογικό επίπεδο. «Φοβάμαι το θάνατο. Όχι μόνο τον τελικό, αλλά και αυτούς που συμβαίνουν στη διάρκεια της ζωής μας» Αυτή η φράση, όπως εξηγεί ο συγγραφέας στη συνέχεια του βιβλίου, αναφέρεται στις ζωντανές απώλειες που έχουμε κατά τη διάρκεια της ζωής μας, όπως για παράδειγμα όταν δικοί μας άνθρωποι μας εγκαταλείπουν. Πηγαίνοντας όμως ένα βήμα παραπέρα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι κάθε χρονική στιγμή συντελείται ένας θάνατος του εαυτού μας, αφού κάθε στιγμή ένα μέρος μας (ή μήπως το σύνολό μας;) πεθαίνει στην κυριολεξία και ένα καινούργιο αναγεννάται, διαρρηγνύοντας τη συνέχεια της ταυτότητάς μας. Η άποψη αυτή έρχεται αναμφίβολα να κλονίσει τα θεμέλια της ύπαρξής μας. Ο 36χρονος Τάσος, που ακούει τις συμφωνίες, είναι το ίδιο πρόσωπο με τον 6χρονο Τάσο, που διάβαζε τα οπισθόφυλλα των κασετών; Τόσο ως προς το σώμα, όσο και ως προς το πνεύμα; 

Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή και ως «Το Παράδοξο της Ταυτότητας». Σύμφωνα με την αρχική εκδοχή αυτού του παραδόξου που οφείλεται στον Πλούταρχο, οι Αθηναίοι συντηρούσαν το πλοίο του Θησέα για πολλά χρόνια. Κάθε φορά που σάπιζε μια σανίδα την άλλαζαν αμέσως. Στο τέλος, μετά από χρόνια, το πλοίο έφτασε να αποτελείται από εντελώς διαφορετικά κομμάτια προκαλώντας το εξής δίλημμα: Ταυτίζεται το τελικό πλοίο με το πρωτότυπο ή όχι; Το παράδοξο αυτό έχει τα ερείσματά του στο προγενέστερο απόφθεγμα του Ηράκλειτου «Κανείς δεν μπορεί να μπει στο ίδιο ποτάμι δύο φορές».

Η εφαρμογή του παραδόξου της ταυτότητας στον άνθρωπο τονίζει την αποδόμηση του ίδιου σε συστατικά στοιχεία, προβάλλοντας μια νέα διάσταση της υπαρξιακής του απομόνωσης, στην οποία το κάθε του κύτταρο έχει τη δική του, ανεξάρτητη, υπόσταση. 

Από τα παραπάνω, διαπιστώνουμε ότι, ύπο μία έννοια, η απομόνωση λαμβάνει χώρα κατά μήκος όλης της κλίμακας της ύπαρξης, από τα άτομα ως το ίδιο το σύμπαν, καθιστώντας την Κατάθλιψη πανταχού παρούσα.

Σύνοψη

Από τα προηγούμενα ίσως φαίνεται σαν να ανέλυσα το «μανιφέστο της Κατάθλιψης της επιστημονικής γνώσης». Όσο περισσότερα γνωρίζουμε τόσο περισσότερο υπαρξιακό άγχος και φόβο φαίνεται να εκδηλώνουμε. Συνεπώς, κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι η πνευματική ολιγάρκεια ίσως είναι ο δρόμος που πρέπει να ακολουθήσουμε για να απαγκιστρωθούμε από την Κατάθλιψη και να φτάσουμε σε υψηλότερα επίπεδα ευτυχίας. Η αναφορά του συγγραφέα στην ευτυχία ενός σκύλου που αρκείται σε ένα απλό χάδι, χωρίς να τον απασχολούν οποιοιδήποτε φιλοσοφικοί προβληματισμοί, θίγει ακριβώς αυτό το σημείο. Θέλουμε όμως οι Άνθρωποι κάτι τέτοιο; Κατά τη γνώμη μου, δεν πρόκειται για ζήτημα επιλογής. Είτε το θέλουμε είτε όχι, «ο Άνθρωπος είναι καταδικασμένος να σκέφτεται, γι αυτό και δεν θα βρει ποτέ λύση στα προβλήματα της ύπαρξης», για να χρησιμοποιήσω τα λόγια του συγγραφέα. 

Το ζητούμενο λοιπόν είναι να πάψουμε να γυρίζουμε την πλάτη στην πραγματικότητα, να τολμήσουμε να την κοιτάξουμε κατάματα και να την αντιμετωπίσουμε κατά μέτωπον. Οι προηγούμενοι, αλλά και άλλοι, υπαρξιακοί προβληματισμοί μας αφορούν όλους. Απλώς, μερικοί άνθρωποι, κάποια στιγμή σε κάποια περίοδο της ζωής τους εκδηλώνουν μεγαλύτερη ευαισθησία μπροστά σε αυτούς, με αποτέλεσμα να γίνονται πιο ευάλωτοι στα σκοτεινά μηνύματα που μεταφέρουν οι προβληματισμοί αυτοί. Είναι σημαντικό απέναντι στους ανθρώπους αυτούς να εκδηλώνουμε μια υποτυπώδη ενσυναίσθηση και κάνοντας χρήση της έμφυτης συλλογικότητας του αγελαίου είδους που λέγεται Άνθρωπος να τους στηρίζουμε.

Επίλογος 

Ταξιδεύουμε με το διαστημόπλοιο «Γη» στην άκρη ενός γαλαξία, σε κάποια ασήμαντη γωνιά του αχανούς σύμπαντος, με ένα προσδόκιμο ζωής γύρω στα 70 έτη, με την αντίληψή μας περιορισμένη στις 3 χωρικές συν τη 1 χρονική διάσταση, απομονωμένοι από οποιαδήποτε πιθανότητα ύπαρξης έταιρης νοήμονος ζωής. Αυτό αφενός μεν δείχνει τη μικρότητά μας, αφετέρου δε, σε μία ορθή ερμηνεία-ανάγνωση της Ανθρωπικής Αρχής, μας θυμίζει τη σπουδαιότητά μας, καθώς, αν και εντελώς συμπτωματικά, είμαστε εφοδιασμένοι με τα μοναδικά προνόμια της σκέψης και της νόησης. Τα προνόμια αυτά μας δίνουν την ικανότητα να δημιουργούμε φαντασιακές πραγματικότητες. Η ικανότητα αυτή μετατρέπεται στη δυνατότητα να κάνουμε όνειρα και το σημαντικότερο, να τα μοιραζόμαστε με άλλους ανθρώπους. Για να κλείσω με τα λόγια του συγγραφέα: «Μόνο τα όνειρα μας επιτρέπουν να στεκόμαστε και να βλέπουμε τον κόσμο γύρω μας πιο όμορφο από ότι πραγματικά είναι».

¹Η παρουσίαση πραγματοποιήθηκε διαδικτυακά την Τετάρτη 25 Νοεμβρίου 2020. Το βίντεο της παρουσίασης βρίσκεται στον παρακάτω σύνδεσμο:

https://youtu.be/fECP8LP1tqc

 

²Έχει γίνει μάλιστα προσπάθεια η πιθανότητα ύπαρξης εξωγήινης νοήμονος ζωής να ποσοτικοποιηθεί. Παράδειγμα αποτελεί η εξίσωση του Drake.

³Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η πιθανότητα τα μόρια της ζάχαρης να καταλάβουν όλο τον όγκο του νερού είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από την πιθανότητα να καταλάβουν μία μόνο μικρή περιοχή του ποτηριού, όπου στον υπολογισμό των πιθανοτήτων αυτών λαμβάνουμε υπόψιν και την ενεργειακή κατάσταση του συστήματος. 

Υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το άπειρο;

Στα αγαπημένα μου ανήψια Σοφία και Ιάσονα

Την ερώτηση αυτή μου έθεσαν πριν μερικές ημέρες τα δυο απίθανα ανήψια μου, 8 και 6 ετών. «Υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το άπειρο;». Μια απλή ερώτηση που λίγο πολύ όλοι κάποτε έχουμε σκεφτεί. Η εμπειρία μας διδάσκει ότι συνήθως οι απλές ερωτήσεις συνοδεύονται από δύσκολες απαντήσεις. Το ίδιο ισχύει κι εδώ. Η απάντηση είναι πιο περίπλοκη από όσο φαντάζει αρχικά. Η πρώτη σκέψη που έρχεται στο νου είναι ότι κανείς αριθμός δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από το άπειρο, αφού αυτός ακριβώς είναι ο λόγος που έχει εισαχθεί η έννοια του απείρου, μια μαθηματική οντότητα που είναι μεγαλύτερη από κάθε πραγματικό αριθμό. Όταν όμως παίζει κανείς με το άπειρο πρέπει να είναι πολύ προσεκτικός για να αποφύγει τις κακοτοπιές, όπως θα δούμε παρακάτω. Στο άρθρο αυτό, με τη βοήθεια ερωτήσεων-απαντήσεων, θα κάνουμε ένα σύντομο ταξίδι στο άπειρο και θα δούμε που θα μας βγάλει. 

Ξεκινώντας το ταξίδι μας είναι απαραίτητες κάποιες προκαταρκτικές έννοιες που αν και φαινομενικά άσχετες με το θέμα, θα μας επιτρέψουν να πλησιάσουμε το άπειρο. 

- Πόσα είδη αριθμών υπάρχουν;

Υπάρχουν τριών ειδών αριθμοί: Πληθικοί, Τακτικοί και Δεικτοδοτικοί. 

Πληθικοί αριθμοί (cardinal numbers) είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου. Για παράδειγμα, λέμε οι αθλητές που πήραν μέρος στον αγώνα δρόμου ήταν 14.

Τακτικοί αριθμοί (ordinal numbers) είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε τη θέση (σειρά) ενός στοιχείου σε σχέση με τα υπόλοιπα στοιχεία ενός συνόλου όταν αυτά βρίσκονται σε κάποια διάταξη. Για παράδειγμα, λέμε ο Έλληνας αθλητής που πήρε μέρος στον αγώνα δρόμου τερμάτισε στη θέση 14.

Δεικτοδοτικοί αριθμοί (tag numbers) είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε την ταυτότητα ενός στοιχείου εντός ενός συνόλου. Για παράδειγμα, λέμε ο Έλληνας αθλητής του αγώνα δρόμου είχε τη φανέλα με το νούμερο 14.

Εμάς θα μας απασχολήσουν μόνο οι πληθικοί αριθμοί, επάνω στους οποίους, στα πλαίσια της Θεωρίας Συνόλων, έχει τα θεμέλιά του το άπειρο. 

- Πώς μετράμε το πλήθος ενός συνόλου;

Για να μπορέσουμε να μετρήσουμε το πλήθος ενός συνόλου θα πρέπει πρώτα να είμαστε σε θέση να συγκρίνουμε δύο οποιαδήποτε σύνολα. Προς αυτήν την κατεύθυνση, συνήθως βοηθάει το επόμενο παράδειγμα.

Έστω ότι έχουμε ένα σύνολο από καρέκλες και ένα σύνολο από ανθρώπους. Θα θέλαμε να συγκρίνουμε το πλήθος των δύο αυτών συνόλων. Για να το πετύχουμε αυτό τοποθετούμε σε κάθε άδεια καρέκλα έναν άνθρωπο μέχρι να εξαντληθούν είτε οι καρέκλες, είτε οι άνθρωποι, είτε και τα δύο ταυτόχρονα. Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι το πλήθος των ανθρώπων είναι μεγαλύτερο από αυτό των καρεκλών, εφόσον δεν έφτασαν οι καρέκλες για όλους τους ανθρώπους. Όμοια, στη δεύτερη περίπτωση λέμε ότι το πλήθος των καρεκλών είναι μεγαλύτερο από αυτό των ανθρώπων, καθώς κάθησαν όλοι και περίσσεψαν μάλιστα και κάποιες καρέκλες. Τέλος, στην τρίτη περίπτωση λέμε ότι τα δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος, αφού και κάθησαν όλοι οι άνθρωποι και δεν περίσσεψε καμία καρέκλα.

Ουσιαστικά με τη βοήθεια του παραπάνω παραδείγματος αναφερθήκαμε σιωπηρά στη θεμελιώδη μαθηματική έννοια της 1 προς 1 συνάρτησης, η οποία αντιστοιχεί κάθε στοιχείο ενός συνόλου σε ακριβώς ένα στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου. Αν καταφέρει κανείς και κατασκευάσει μια τέτοια συνάρτηση μεταξύ δύο συνόλων Α και Β, τότε έχει ουσιαστικά αποδείξει ότι τα δύο σύνολα είναι ισοπληθή ή όπως συνήθως λένε οι μαθηματικοί ισοδύναμα. Αυτό συμβολίζεται ως Α~Β. Αν υπάρχει μια 1 προς 1 συνάρτηση από το σύνολο Α σε ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β, τότε το σύνολο Α είναι μεγαλύτερο από το Β. Συμβολικά Α>Β. Τέλος, αν υπάρχει 1 προς 1 συνάρτηση από ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Α στο σύνολο Β, τότε το σύνολο Α είναι μικρότερο από το Β (Α<Β). 

Για να αποφύγουμε να συγκρίνουμε κάθε φορά δύο οποιαδήποτε σύνολα μεταξύ τους, χρειαζόμαστε ένα παγκόσμιο μέτρο σύγκρισης. Ένα σύνολο αναφοράς δηλαδή με το οποίο θα συγκρίνεται κάθε φορά το σύνολο του οποίου το μέγεθος θέλουμε να μετρήσουμε. Το μέτρο αυτό μας προσφέρουν οι γνώριμοι σε όλους μας φυσικοί αριθμοί: 1, 2, 3, κ.ο.κ. Όταν λοιπόν θέλουμε να μετρήσουμε το πλήθος ενός συνόλου, αυτό που κάνουμε είναι να βρούμε έναν κατάλληλο φυσικό ν, να πάρουμε το απόκομμα των ν πρώτων φυσικών {1, 2, 3, ..., ν} και να κατασκευάσουμε μια 1 προς 1 αντιστοιχία μεταξύ του αποκόμματος και του εν λόγω συνόλου. Τότε λέμε ότι το πλήθος του συνόλου αυτού είναι ν. Στην περίπτωση αυτή μάλιστα λέμε ότι το σύνολο έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Με αυτόν τον τρόπο πετυχαίνουμε να μετράμε και να συγκρίνουμε όλα τα πεπερασμένα σύνολα με κοινό μέτρο αναφοράς.

- Τι είναι το άπειρο;

Η προηγούμενη διαδικασία μέτρησης συνόλων, μας οδηγεί με φυσικό τρόπο στην έννοια του απείρου: Δεδομένου ενός συνόλου, αν για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό ν, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια 1 προς 1 συνάρτηση από το απόκομμα φυσικών {1, 2, ..., ν} στο εν λόγω σύνολο, τότε λέμε ότι το σύνολο αυτό έχει άπειρο πλήθος στοιχείων. Άπειρο λοιπόν ονομάζουμε τον πληθικό αριθμό κάθε συνόλου μη πεπερασμένου πλήθους στοιχείων. Είναι φανερό ότι ένα τέτοιο σύνολο με άπειρο πληθικό αριθμό είναι το ίδιο το σύνολο ℕ των φυσικών αριθμών. Ένα άλλο παράδειγμα άπειρου συνόλου είναι το σύνολο όλων των θετικών αρτίων {2, 4, 6, κ.ο.κ.} που συμβολίζεται και με 2ℕ. Το επόμενο ερώτημα θα αποκαλύψει γρήγορα τις παραξενιές που κρύβει το άπειρο.

- ΄Οσα ισχύουν για τη σύγκριση και τη μέτρηση πεπερασμένων συνόλων εξακολουθούν να ισχύουν και για σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα ας προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε το σύνολο ℕ των φυσικών με το σύνολο 2ℕ των θετικών αρτίων. Καταρχάς παρατηρούμε ότι το 2ℕ είναι γνήσιο υποσύνολο του ℕ. Πράγματι, όλοι οι θετικοί άρτιοι περιλαμβάνονται στο ℕ και επιπλέον υπάρχουν άπειροι θετικοί περιττοί που ενώ ανήκουν στο ℕ, δεν ανήκουν στο 2ℕ. Βασισμένη σε αυτήν την παρατήρηση, η διαίσθηση μας λέει ότι το πλήθος των φυσικών αριθμών είναι σαφώς μεγαλύτερο από εκείνο των θετικών αρτίων. Μάλιστα θα ήταν λογικοφανές να πούμε ότι το πλήθος των φυσικών είναι διπλάσιο από εκείνο των θετικών αρτίων. Σωστά; Λάθος! Θεωρούμε τη συνάρτηση ƒ(ν) = 2ν, που σε κάθε φυσικό ν αντιστοιχεί το διπλάσιό του. Για παράδειγμα, η συνάρτηση αυτή αντιστοιχεί το 1 στο 2, το 2 στο 4, το 3 στο 6, κ.ο.κ. Η συνάρτηση αυτή είναι 1 προς 1 αφού αντιστοιχεί κάθε φυσικό σε έναν ακριβώς θετικό άρτιο και δεν αφήνει κανέναν θετικό άρτιο χωρίς ταίρι. Κατασκευάσαμε λοιπόν μια 1 προς 1 συνάρτηση από το ℕ στο 2ℕ, πράγμα που αποδεικνύει ότι ℕ~2ℕ. Έχουμε δηλαδή ένα σύνολο το οποίο έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με ένα γνήσιο υποσύνολό του! Κάτι τέτοιο κατ' ουδέναν τρόπο μπορεί να συμβεί σε πεπερασμένα σύνολα.

Το παράδειγμα αυτό μας δείχνει ότι όταν χειριζόμαστε το άπειρο θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί και να αποφεύγουμε το λάθος να του συμπεριφερόμαστε σαν να ήταν ένας απλός αριθμός. Επίσης το παράδειγμα αυτό μας εξοικειώνει με παράδοξες καταστάσεις που σχετίζονται με το άπειρο ώστε να μάθουμε να αποδεχόμαστε πιο εύκολα τα περίεργα (όπως θα δούμε) συμπεράσματα που απορρέουν από τη φύση του απείρου. Με παρόμοια συλλογιστική αποδεικνύεται ότι ισοδύναμο με το ℕ είναι και το σύνολο ℤ των ακεραίων, αλλά και το σύνολο ℚ των ρητών αριθμών!

- Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ισοδύναμο με το ℕ;

Το εύλογο ερώτημα που γεννάται στο σημείο αυτό είναι αν όμοια με τα υπόλοιπα σύνολα και το σύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ, το σύνολο που αποτελείται δηλαδή από όλους τους ρητούς και όλους τους άρρητους αριθμούς, είναι ισοδύναμο με το ℕ. Η απάντηση αυτή τη φορά είναι όχι! Με αρκετά πιο δύσκολο τρόπο, αποδεικνύεται ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από εκείνο των φυσικών. Εδώ η διαίσθηση μας πέφτει μέσα. Το περίεργο τώρα όμως είναι ότι έχουμε δυο άπειρα σύνολα με διαφορετικό πλήθος στοιχείων. Δύο διαφορετικά δηλαδή άπειρα από τα οποία το ένα είναι μεγαλύτερο του άλλου! Πόσο εύστοχη ήταν η ερώτηση των ανηψιών μου...! Δεδομένου ότι υπάρχουν διαφορετικά άπειρα, οι μαθηματικοί έχουν συμφωνήσει να συμβολίζουν το πλήθος των φυσικών και όλων των ισοδύναμων με αυτά συνόλων με ℵ₀ (Άλεφ μηδέν¹), ενώ το πλήθος των πραγματικών και όλων των ισοδύναμων με αυτούς συνόλων με το αγγλικό γράμμα c, από το continuum (συνεχές). Για αυτά τα δύο άπειρα επομένως ισχύει ℵ₀ < c. 

- Υπάρχει κάποιο άπειρο που να βρίσκεται μεταξύ του ℵ₀ και του c;

Αυτό είναι πραγματικά ενδιαφέρον ερώτημα και έχει επικρατήσει στους κύκλους των μαθηματικών ως «Η υπόθεση του Συνεχούς». Πιο συγκεκριμένα, η υπόθεση του συνεχούς ισχυρίζεται ότι δεν υπάρχει τέτοιο άπειρο. Η υπόθεση αυτή προτάθηκε αρχικά από τον Georg Cantor και παρουσιάστηκε από τον David Hilbert ως ένα από τα 23 άλυτα μαθηματικά προβλήματα στο μεγάλο μαθηματικό συνέδριο στο Παρίσι, το 1900.

Georg Cantor (3 Μαρτίου 1845 - 6 Ιανουαρίου 1918).

Η υπόθεση του συνεχούς παρέμενε αναπόδεικτη μέχρι που το 1940 ο κατά πολλούς μεγαλύτερος μαθηματικός του 20ού αιώνα Kurt G­­ödel απέδειξε ότι δεν μπορεί να διαψευσθεί από τα μαθηματικά αξιώματα. Αυτό αν και όχι απόδειξη, ήταν μια ένδειξη ότι η υπόθεση του συνεχούς ισχύει. Προς μεγάλη έκπληξη όλων όμως, το 1963 ο Paul Cohen απέδειξε ότι και η άρνηση της υπόθεσης δεν μπορεί να διαψευσθεί στα πλαίσια του αξιωματικού συστήματος των μαθηματικών. Απέδειξε δηλαδή ότι αν και η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να διαψευσθεί, ωστόσο δεν μπορεί ούτε και να αποδειχτεί με τη χρήση των μαθηματικών αξιωμάτων. Συνεπώς, συνδυάζοντας κάποιος τα δυο αυτά αποτελέσματα, μπορεί να θεωρήσει είτε ότι ισχύει, είτε ότι δεν ισχύει, χωρίς να περιπέσει σε καμία απολύτως αντίφαση! Φυσικά οι αποδείξεις τόσο του Gödel όσο και του Cohen υπερβαίνουν κατά πολύ τους σκοπούς αυτού του άρθρου και προϋποθέτουν βουτιά στα έγκατα των μαθηματικών γνώσεων για να γίνουν κατανοητές. 

- Υπάρχει κάποιο άπειρο που να βρίσκεται πέρα από το c;

Αν εντυπωσιαστήκατε με τα παραπάνω, τώρα έρχεται η μεγαλύτερη έκπληξη. Ακόμη κι αν διαπιστώσαμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικά άπειρα, ακόμη κι αν ήρθαμε αντιμέτωποι με την υπόθεση του συνεχούς, δεν νιώθουμε και τόσο περίεργα καθώς όλα αυτά αναφέρονται στα γνώριμα σε όλους μας σύνολα ℕ των φυσικών και ℝ των πραγματικών αριθμών. Είδαμε μάλιστα ότι το ℵ₀ είναι το μικρότερο άπειρο καθώς πριν από αυτό υπάρχουν οι πεπερασμένοι αριθμοί. Όλα καλά λοιπόν μέχρι εδώ. Τι γίνεται όμως πέρα από το c; Υπάρχει άπειρο μεγαλύτερο από αυτό; Ο Cantor βασισμένος σε ένα μαθηματικό αξίωμα, το αξίωμα του δυναμοσυνόλου², έδειξε τον τρόπο κατασκευής μιας ακολουθίας απείρων ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, κ.ο.κ, στην οποία το ℵ₁ ταυτίζεται με το c. Απέδειξε δηλαδή όχι ότι απλά υπάρχει ένα, αλλά άπειρα... άπειρα μετά το c των πραγματικών!

- Τελειώνει αυτή η ιστορία με τα άπειρα πουθενά επιτέλους;

Από την προηγούμενη διαδικασία είναι φανερό ότι ο Cantor δημιούργησε μια ακολουθία απείρων με δείκτες τους φυσικούς αριθμούς. Συνεχίζοντας λοιπόν αυτή τη διαδικασία θα φτάσουμε κάποια στιγμή να ορίσουμε τον ℵ_ℵ0, δηλαδή τον Άλεφ με δείκτη το πλήθος ℵ₀ των φυσικών και συνεχίζοντας θα φτάσουμε στον ℵ_ℵℵ0 και πάει λέγοντας. Και αν νομίζετε ότι εδώ τελειώσαμε κάνετε μεγάλο λάθος. Με μαθηματικά που υπερβαίνουν κατά πολύ τους σκοπούς αυτού του κειμένου μπορούμε να ορίσουμε αριθμούς που δεν μπορούν να προσεγγιστούν από κάτω με την παραπάνω κατασκευαστική διαδικασία. Τους αριθμούς αυτούς ονομάζουμε απρόσιτους. Συνεχίζοντας μπορούμε να ορίσουμε αριθμούς που δεν μπορούν να προσεγγιστούν από μια ακολουθία απρόσιτων. Τους αριθμούς αυτούς ονομάζουμε υπεραπρόσιτους και η διαδικασία αυτή συνεχίζεται εις το διηνεκές... ή μήπως όχι; Ο Cantor πίστευε πως αυτό το ταξίδι στο σύμπαν των απείρων τερματίζεται κάποτε σε ένα «απόλυτο άπειρο» το οποίο ταύτιζε με το Θεό! 

- Πού καταλήγουμε τελικά;

Γυρνώντας εκεί από όπου ξεκινήσαμε, στην απλή ερώτηση των ανηψιών μου αν υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το άπειρο, η απάντηση είναι ότι σίγουρα υπάρχει κάτι μετά το άπειρο που μας επέτρεψε να κάνουμε ένα ταξίδι με ή χωρίς προορισμό. Δεν ξέρω αν με αυτό το ταξίδι στο άπειρο «αγγίξαμε» το Θεό, φτάσαμε όμως σίγουρα στα σύνορα μεταξύ Μαθηματικών και Φιλοσοφίας.


¹Το πρώτο γράμμα του Σημιτικού αλφαβήτου.
²Το αξίωμα του δυναμοσυνόλου προέρχεται από την αξιωματική θεωρία συνόλων ZF, από τους Zermelo-Fraenkel, και λέει ότι για κάθε σύνολο στοιχείων, υπάρχει το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του.

Τι είναι τα Μαθηματικά

Στην ερώτηση τι είναι Μαθηματικά μου αρέσει να δίνω την επόμενη μονολεκτική (φαινομενικά τουλάχιστον) απάντηση. «Τα Μαθηματικά είναι ΛΕΦΤΑ». Φυσικά θα ήταν αδύνατο να χρησιμοποιήσω κυριολεκτικά μια τόσο ευτελή αξία όπως το χρήμα για να χαρακτηρίσω κάτι τόσο ιερό όπως τα Μαθηματικά. Θα προσπαθήσω λοιπόν πολύ σύντομα να εξηγήσω τι εννοώ λέγοντας ότι τα Μαθηματικά είναι ΛΕΦΤΑ.

• Το πρώτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Λ. Τα Μαθηματικά είναι Λογική, αφού παρέχουν ένα σύνολο ορθολογικών κανόνων συλλογισμού και συμπερασματολογίας. Η Μαθηματική λογική αποτελεί βάση της ανθρώπινης αναλυτικής και συνθετικής σκέψης σε πολλούς τομείς. 
• Το δεύτερο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Ε. Τα Μαθηματικά είναι Επιστήμη. Είναι εκείνη η επιστήμη που μελετά τους αριθμούς, τα γεωμετρικά σχήματα, τα σύνολα και τις δομές τους. Τα Μαθηματικά αποτελούν μια από τις πιο θεμελιώδεις επιστήμες επάνω στην οποία στηρίζονται πολλές άλλες επιστήμες.
• Το τρίτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Φ. Τα Μαθηματικά είναι Φιλοσοφία, αφού έχουν χρησιμοποιηθεί ως μέσο για την κατάκτηση των ανθρώπινων φιλοσοφικών αναζητήσεων και υπαρξιακών προβληματισμών. Πολλές κοσμοθεωρητικές προσεγγίσεις έχουν τη βάση τους στα μαθηματικά.
• Το τέταρτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Τ. Τα Μαθηματικά είναι Τέχνη. Αφενός διότι κάθε μορφή τέχνης χρησιμοποιεί μαθηματικές οντότητες για να εκφραστεί και αφετέρου επειδή τα ίδια τα μαθηματικά και οι τυπικές εκφράσεις τους περιέχουν το στοιχείο της αισθητικής και του ωραίου.
• Το πέμπτο γράμμα της λέξης ΛΕΦΤΑ είναι το Α. Τα Μαθηματικά είναι Αθλητισμός. Εξασκούν όλα τα "θετικά" πνευματικά χαρακτηριστικά των ανθρώπων και διεγείρουν τη φαντασία, η οποία είναι απαραίτητη για την πρόοδο της ανθρωπότητας.

Η λέξη ΛΕΦΤΑ λοιπόν είναι ένας μνημονικός κανόνας για να περιγράψει κανείς με πέντε μόνο λέξεις τι είναι τα Μαθηματικά: Λογική, Επιστήμη, Φιλοσοφία, Τέχνη, Αθλητισμός.

Και τώρα λίγα λόγια για την χρησιμότητα των Μαθηματικών. Ο σπουδαίος Κινέζος φιλόσοφος του 6ου αιώνα π.Χ. Λάο Τσε είχε πει: «Για να φανταστούμε τη χρησιμότητα των Μαθηματικών στη ζωή μας αρκεί να φανταστούμε τη ζωή μας χωρίς τα Μαθηματικά». Πράγματι, εάν προσπαθήσουμε να φανταστούμε τη ζωή μας χωρίς τα Μαθηματικά, πολύ γρήγορα θα καταλήξουμε σε αδιέξοδο, διότι απλούστατα τα Μαθηματικά βρίσκονται παντού. Ο μεγάλος Γαλιλαίος είχε πει ότι το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των Μαθηματικών. Με μια μικρή παράφραση θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα του σύμπαντος και συνεπώς για να μπορέσει κανείς να γνωρίσει τον κόσμο γύρω του πρέπει να γνωρίζει Μαθηματικά. 

Δε χρειάζεται να πάει κανείς μακριά για να διαπιστώσει τη σημασία των Μαθηματικών. Τα Μαθηματικά υπάρχουν:

• στη Φυσική, αφού οι φυσικοί νόμοι περιγράφονται με τη χρήση μαθηματικών τύπων.
• στη Χημεία, αφού οι περισσότερες χημικές διεργασίες διέπονται από μαθηματικές εξισώσεις.
• στη Βιολογία, αφού οι οργανισμοί και οι ιδιότητές τους μπορούν να μετρηθούν με αριθμούς.
• στην Αστρονομία, αφού οι κινήσεις των ουρανίων σωμάτων περιγράφονται με τη βοήθεια της γεωμετρίας και του διαφορικού λογισμού.
• στην Οικονομία, αφού σχεδόν όλες οι οικονομικές θεωρίες χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα.
• στην Πληροφορική, αφού οι ίδιοι οι υπολογιστές στηρίζουν τη λειτουργία τους σε μαθηματικούς μηχανισμούς.
• στη Γλωσσολογία, αφού και οι δύο επιστήμες χρησιμοποιούν την θεμελιώδη έννοια της συνάρτησης για να αντιστοιχίσουν αφηρημένες έννοιες ή αντικείμενα σε λέξεις ή όρους.

Και η λίστα δε σταματά εδώ.

Τα Μαθηματικά συγκεντρώνουν ένα πλήθος αρετών οι οποίες τα τοποθετούν σε περίοπτη θέση στην ανθρώπινη διανόηση. Και για αυτόν το λόγο η επαφή με τα Μαθηματικά μπορεί να αποδειχθεί ευεργετική για τον άνθρωπο στη διαμόρφωση ενός ορθού και συγκροτημένου χαρακτήρα. Πιο συγκεκριμένα, τα Μαθηματικά είναι:

• δίκαια. 1 + 1 κάνουν 2.
• συνεπή. 1 + 1 κάνουν πάντα 2.
• αντικειμενικά. Το 1 το δικό μου δε διαφέρει σε τίποτα από το 1 το δικό σου.
• αμερόληπτα. Το 0 είναι πάντα μικρότερο από το 1 εφόσον έτσι έχει συμφωνηθεί.
• ακριβή. Το 1 είναι πάντα ακριβώς 1 και όχι περίπου 1.

Αλλά συγκεντρώνουν κι άλλα χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα είναι:

• αυτάρκη. Δεν εξαρτώνται από καμία άλλη επιστήμη για να δώσουν απαντήσεις.
• απέριττα. Δίνουν λύση με τα λιγότερα δυνατά δεδομένα.
• περιγραφικά. Με αυτά μπορούμε να περιγράψουμε τα διάφορα φαινόμενα που συμβαίνουν γύρω μας καθώς και να τα ερμηνεύσουμε.
• δημιουργικά. Παρέχουν ένα σύνολο κανόνων με τη χρήση των οποίων μπορεί κάποιος με όπλο τη φαντασία να ανακαλύψει καινούργια γνώση.

Τα Μαθηματικά όμως πέραν από όλα τα άλλα έχουν κι ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα που είναι κρυμμένο στην ίδια τους τη φύση και σπάνια αναγνωρίζεται. Είναι απλά. Όσο δύσκολα κι αν φαντάζουν δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα σύνολο απλών λογικών επαγωγών.