Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Επιμύθιο)

Οι τρεις προηγούμενες ιστοριούλες έχουν κάτι κοινό μεταξύ τους. Και στις τρεις, ο φανερός πρωταγωνιστής είναι ο Α και ο κρυφός πρωταγωνιστής ο αδερφός του! Εκτός από αυτό το στοιχείο της πλοκής όμως οι τρεις ιστορίες έχουν κοινό κι ένα ενδιαφέρον μαθηματικό στοιχείο. Ο Α βρέθηκε αντιμέτωπος με τρία διαφορετικά διλήμματα και σε όλα, όπως θα δούμε, ακολούθησε τη λάθος στρατηγική! Ήταν όμως πράγματι διαφορετικά μεταξύ τους τα τρία διλήμματα; Για να το διαπιστώσουμε, θα πρέπει πρώτα να εξετάσουμε το καθένα χωριστά. 

Το δίλημμα της κατσίκας

Σε μία παλαιότερη ανάρτησή μου με τίτλο "με τη χρήση μαθηματικού φορμαλισμού, παρουσιάζεται η αυστηρή απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, την οποία μπορεί να βρει κανείς σε διδακτικά συγγράμματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων [1]. 

Με δεδομένο ότι ο κύριος Α έχει επιλέξει την πόρτα Α, θεωρούμε τα εξής γεγονότα:

\( W_i \) είναι το γεγονός πίσω από την πόρτα \( i \) να βρίσκεται το έπαθλο, όπου \( i \in \{A, B, \Gamma\} \).

\( R_j \) είναι το γεγονός να αποκαλυφθεί το περιεχόμενο που βρίσκεται πίσω από την πόρτα \( j \), όπου \( j \in \{A, B, \Gamma\} \).

Σχετικά εύκολα προκύπτουν οι τιμές για τις διάφορες δεσμευμένες πιθανότητες \( P(R_j | W_i), i, j \in \{A, B, \Gamma\} \), που εκφράζουν την πιθανότητα ο παρουσιαστής να αποκαλύψει το περιεχόμενο της πόρτας \( j \), δεδομένου ότι το έπαθλο βρίσκεται πίσω από την πόρτα \( i \). Οι τιμές αυτές βρίσκονται συγκεντρωμένες στον 

Πίνακας 1

Επιπλέον, προφανώς ισχύει:

\[ P(W_A) = P(W_B) = P(W_{\Gamma}) = \frac{1}{3}. \]

Εμείς, στο πρόβλημά μας θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίζει η πόρτα Α, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β. Δηλαδή, μας ενδιαφέρει η ποσότητα \( P(W_A | R_B) \). Κάνοντας χρήση του Θεωρήματος του Bayes¹

\[ P(W_A | R_B) = \frac{P(R_B | W_A) \cdot P(W_A)}{P(R_B | W_A) \cdot P(W_A) + P(R_B | W_B) \cdot P(W_B) + P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma})}. \]

Αντικαθιστώντας τις τιμές από τον

\[ P(W_A | R_B) = \frac{1}{3}, \] 

δηλαδή ότι η πιθανότητα παραμένει ίση με την αρχική. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται το έπαθλο στην πόρτα Γ, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β, ισούται με

\[ P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma})}{P(R_B | W_{\Gamma}) \cdot P(W_{\Gamma}) + P(R_B | W_A) \cdot P(W_A) + P(R_B | W_B) \cdot P(W_B)}, \]

που μετά τις αντικαταστάσεις καταλήγει στη σχέση 

\[ P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{2}{3}. \] 

Φυσικά στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν χρησιμοποιούσαμε την προφανή σχέση 

\[ P(W_A | R_B) + P(W_B | R_B) + P(W_{\Gamma} | R_B) = 1 \Leftrightarrow P(W_{\Gamma} | R_B) = 1 - P(W_A | Ρ_Β), \]

αφού προφανώς ισχύει \( P(W_B | R_B) = 0 \). Συνεπώς, η πιθανότητα να κερδίσουμε το έπαθλο αν αλλάξουμε πόρτα μετατρέπεται από \( \frac{1}{3} \) σε \( \frac{2}{3} \), δηλαδή διπλασιάζεται!

Το δίλημμα του κατάδικου

Κάνοντας τις αντιστοιχίες

αποφυλακισθείς \( \leftrightarrow \) κατσίκα 

κατάδικος \( \leftrightarrow \) έπαθλο

εύκολα διαπιστώνουμε ότι το δίλημμα του κατάδικου στην ουσία ταυτίζεται με το δίλημμα της κατσίκας, με δύο όμως σημαντικές διαφορές: 

α) Στο δίλημμα της κατσίκας, το επιθυμητό ενδεχόμενο είναι ένα, ενώ στο δίλημμα του κατάδικου τα επιθυμητά ενδεχόμενα είναι δύο

β) Ενώ στο δίλημμα της κατσίκας έχουμε τη δυνατότητα να αλλάξουμε επιλογή, στην περίπτωση του κατάδικου, η αρχική μας επιλογή, ότι δηλαδή είμαστε ο εαυτός μας, παραμένει αναγκαστικά και η τελική μας επιλογή...

Κάνοντας χρήση ακριβώς των ίδιων μαθηματικών σχέσεων, όπως παραπάνω, καταλήγουμε στο ότι:

\( P(W_A | R_B) = \frac{1}{3} \) και \( P(W_{\Gamma} | R_B) = \frac{2}{3} \),

όπου αυτή τη φορά χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς:

\( W_i \) είναι το γεγονός να

\( R_j \) είναι το γεγονός ο φρουρός να ανακοινώσει το όνομα του κατάδικου \( j \), όπου \( j \in \{A, B, \Gamma\} \).

Οι τελικές σχέσεις εκφράζουν ότι η πιθανότητα να μην αποφυλακιστεί ο Α, δεδομένου ότι ο φρουρός αποκάλυψε το όνομα του Β, εξακολουθεί να είναι \( \frac{1}{3} \), όσο δηλαδή και στην αρχή. Ισοδύναμα, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί παραμένει \( \frac{2}{3} \). Με άλλα λόγια, η πληροφορία ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, αντίθετα με αυτό που πίστευε ο Α, δεν επηρεάζει την πιθανότητα του ίδιου να αποφυλακιστεί. Πράγμα, αυτή τη φορά, μάλλον αναμενόμενο! 

Αντίστοιχα, ισχύει ότι από τη στιγμή που αποκαλύπτει ο φρουρός στον Α ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί ο κατάδικος Γ μειώνεται σε \( \frac{1}{3} \). Αυτό το αποτέλεσμα είναι αδιαμφισβήτητα εντυπωσιακό! Κάτι παρόμοιο συμβαίνει άλλωστε και στο δίλημμα της κατσίκας, στο οποίο μετά την αποκάλυψη της μίας κατσίκας πίσω από την πόρτα Β, η πιθανότητα στην πόρτα Γ να βρίσκεται επίσης κατσίκα μειώνεται σε \( \frac{1}{3} \), στο μισό δηλαδή της αρχικής που ήταν \( \frac{2}{3} \). Γι αυτό άλλωστε και συμφέρει η αλλαγή της πόρτας!

Το δίλημμα του φύλου

Μέχρι στιγμής, όπως είδαμε, τα δύο πρώτα διλήμματα ουσιαστικά ταυτίζονται. Τι σχέση όμως έχει με αυτά το τρίτο δίλημμα; Ήδη μια εμφανής διαφορά είναι ότι ενώ στα δύο πρώτα διλήμματα τα εμπλεκόμενα μέρη είναι τρία - δύο κατσίκες και ένα έπαθλο στο πρώτο, δύο αποφυλακισθέντες και ένας κατάδικος στο δεύτερο - στο τρίτο δίλημμα είναι δύο, τα δυο παιδιά. Κι όμως, όπως θα διαπιστώσουμε σύντομα και το τρίτο δίλημμα, υπό μία ευρεία έννοια, ταυτίζεται με τα άλλα δύο!

Αρχικά, εφόσον τα δύο πρώτα διλήμματα ταυτίζονται, αρκεί να μελετήσουμε τη σχέση του διλήμματος του φύλου με ένα από τα δύο. Χωρίς καμιά ιδιαίτερη προτίμηση, ας το κάνουμε αυτό με τη βοήθεια του διλήμματος της κατσίκας. Θεωρούμε τις εξής αντιστοιχίες: 

κατσίκα \( \leftrightarrow \) αγόρι 

αυτοκίνητο \( \leftrightarrow \) κορίτσι

Στο δίλημμα της κατσίκας γνωρίζουμε εξ αρχής ότι μία τουλάχιστον από τις πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα. Έστω τώρα ότι με κάποιον τρόπο αγνοούμε την ύπαρξη της πόρτας Α, αν και το κοινό που παρακολουθεί γνωρίζει για αυτή. Είναι προφανές ότι από τη στιγμή που καθοριστεί ποια από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, η πόρτα που απομένει μπορεί να περιέχει είτε κατσίκα είτε αυτοκίνητο. Αυτό που τελικά όμως περιέχει η πόρτα που απομένει, καθορίζει αυτόματα για το κοινό το περιεχόμενο της πόρτας Α, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι, όπως έχουμε ήδη πει, εμείς δεν γνωρίζουμε καν την ύπαρξή της. Για εμάς λοιπόν, μία τουλάχιστον από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, κατ' αντιστοιχία με το ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά είναι αγόρι.

Ας πάμε τώρα στο δίλημμα του αγοριού. Για ευκολία, στα επόμενα σε κάθε παιδί θα τοποθετούμε μία ταμπέλα με την ένδειξη ΑΓΟΡΙ ή ΚΟΡΙΤΣΙ, ανάλογα με το φύλο του. Εφόσον γνωρίζουμε εξ αρχής ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά, τα οποία ας ονομάσουμε Β και Γ, είναι αγόρι, χρειαζόμαστε οπωσδήποτε μία ταμπέλα ΑΓΟΡΙ ώστε να την εκχωρήσουμε κατάλληλα στο παιδί Β ή Γ. Από τη στιγμή που συμβεί αυτό, το παιδί που απομένει, το Γ ή Β αντίστοιχα, μπορεί να είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι. Συνεπώς, χρειαζόμαστε δύο ακόμη ταμπέλες, μια ΑΓΟΡΙ και μία ΚΟΡΙΤΣΙ, ώστε να μπορούμε να του εκχωρήσουμε τη μία από τις δύο. Με αυτόν τον τρόπο θα αποκτήσουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των δύο παιδιών Β και Γ. Σε κάθε συνδυασμό όμως, μία ταμπέλα από τις δύο προηγούμενες θα μείνει αχρησιμοποίητη. Την ταμπέλα αυτή μπορούμε να την τοποθετήσουμε σε ένα φανταστικό παιδί Α. Το παιδί αυτό παίζει το ρόλο της πόρτας Α στο δίλημμα της κατσίκας και με αυτό τον τρόπο η ισοδυναμία μεταξύ των δύο προβλημάτων έχει αποκατασταθεί! Η παραπάνω ανάλυση φαίνεται με παραστατικό τρόπο στην Εικόνα 1.

Εικόνα 1.

Συνοψίζοντας, με βάση την παραπάνω θεώρηση, θα μπορούσαμε να πούμε ότι το δίλημμα του αγοριού αποτελεί περιορισμό των δύο άλλων διλημμάτων ή ισοδύναμα ότι τα δύο πρώτα διλήμματα αποτελούν επέκταση του διλήμματος του αγοριού. Έτσι, με βάση τα προηγούμενα συμπεράσματα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα και το παιδί Β να είναι αγόρι ταυτίζεται με την πιθανότητα οι πόρτες Β και Γ να περιέχουν κατσίκα που είναι ίση με \( \frac{1}{3} \). Ισοδύναμα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα το παιδί Β να είναι κορίτσι ισούται με \( \frac{2}{3} \). Συνεπώς, ο Α θα ήταν προτιμότερο να αγοράσει ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι και μία κούκλα!

Κλείνοντας, για λόγους πληρότητας, παρακάτω δίνουμε και την κλασική απόδειξη αυτού του συμπεράσματος.

Κλασική απόδειξη

Όλα τα απλά γεγονότα του δειγματοχώρου μας είναι προφανώς τα ΑΑ, ΑΚ, ΚΑ, ΚΚ, όπου με Α και Κ συμβολίζουμε το αγόρι και το κορίτσι, αντίστοιχα. Στα επόμενα, με \( A_n \) θα συμβολίζουμε το γεγονός \( n \) 

Αρχικά, οι πιθανότητες για το φύλο των δύο παιδιών είναι

\( P(A_0) = \frac{1}{4} \), αφού \( A_0 = \{KK\} \),

\( P(A_1) = \frac{1}{2} \), αφού \( A_1 = \{AK, KA\} \)

\( P(A_2) = \frac{1}{4} \), αφού \( A_2 = \{AA\} \)

Από τη στιγμή όμως που υπάρχει η πληροφορία ότι ένα τουλάχιστον παιδί είναι αγόρι, αποκλείεται από το δειγματοχώρο το απλό γεγονός ΚΚ. Συνεπώς μένουν τρία γεγονότα, τα \( \{AA, AK, KA\} \). Τότε, η πιθανότητα να είναι και τα δύο παιδιά αγόρια γίνεται

\[ P(A_2 | A_1 \cup A_2) = \frac{1}{3} \]

και φυσικά η πιθανότητα να είναι το ένα παιδί αγόρι και το άλλο κορίτσι είναι

\[ P(A_1 | A_1 \cup A_2) = \frac{2}{3}. \]

¹Bayes Thomas (1702 - 1761): Άγγλος μαθηματικός και φιλόσοφος, ο οποίος πρώτος ανέπτυξε το γενικό τύπο εναλλαγής μεταξύ δεσμευμένων πιθανοτήτων \( P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \), που φέρει τιμητικά το όνομά του.

[1] Στρατής Κουνιάς, Χρόνης Μωυσιάδης, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι, Κλασική Πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανομές, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη 1999.

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 3ο)

Μετά από μερικές μέρες αφότου άφησε τη φυλακή, ο Α έλαβε ένα απρόσμενο γράμμα από το φρουρό της φυλακής. Με το γράμμα αυτό του ανακοίνωνε ότι τα δύο παιδιά του μυστηριώδους προσώπου που τον είχε βοηθήσει να αποφυλακιστεί έχουν προσεχώς γενέθλια. Με αφορμή λοιπόν αυτό το γεγονός τον προσκαλούσε στο σπίτι του ώστε να γνωριστούν από κοντά. Ο Α, αποδέχτηκε με προθυμία την πρόταση και αισθάνθηκε την ανάγκη να αγοράσει από ένα δώρο για κάθε παιδί. Επειδή όμως δεν γνώριζε το φύλο των παιδιών, έστειλε γράμμα πίσω στο φρουρό, μήπως και μπορούσε με κάποιον τρόπο να μάθει. Η απάντηση που έλαβε ήταν η εξής:

«Αγαπητέ μου, δυστυχώς δεν γνωρίζω ακριβώς το φύλο των δύο παιδιών, ωστόσο έχω πληροφορηθεί ότι ένα τουλάχιστον από αυτά είναι αγόρι. Ελπίζω η πληροφορία αυτή να σταθεί αρκετή ώστε να σε βοηθήσει να πάρεις τη σωστή απόφαση για τα δώρα που σκοπεύεις να αγοράσεις».

«Η πληροφορία ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά είναι αγόρι δεν μου φαίνεται ιδιαίτερα χρήσιμη, αφού το άλλο παιδί μπορεί να είναι κάλλιστα είτε αγόρι είτε κορίτσι με πιθανότητα \( \frac{1}{2} \)», συλλογίστηκε ο Α. Εφόσον το ένα παιδί είναι σίγουρα αγόρι, θα αγοράσω ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι. Γιατί δεν αγοράζω λοιπόν δύο ίδια αυτοκινητάκια, ώστε στην περίπτωση που είναι και τα δύο παιδιά αγόρια, τουλάχιστον να μην μαλώνουν...!

Κρατώντας λοιπόν από ένα αυτοκινητάκι σε κάθε χέρι, ξεκίνησε για το σπίτι του μυστηριώδους προσώπου. Όταν έφτασε μπροστά στην πόρτα, για κάποιον περίεργο λόγο, ένιωσε την καρδιά του να χτυπάει γρήγορα και τον ιδρώτα του να στάζει στο πάτωμα. Η πόρτα που είχε μπροστά του τού θύμισε την πόρτα που πριν από λίγο καιρό είχε διαλέξει στο τηλεπαιχνίδι και του είχε στερήσει την ελευθερία. Ταυτόχρονα όμως του θύμισε και την πόρτα του κελιού του που είχε περάσει για τελευταία φορά χωρίς επιστροφή, ανακτώντας τη χαμένη του ελευθερία. 

Αφήνοντας πίσω τα παλιά, τώρα ανυπομονούσε να δει αν είχε κάνει τη σωστή επιλογή με τα δώρα. Επιπλέον, σε όλη αυτή τη φόρτιση που ένιωθε ήρθε να προστεθεί και η αγωνία να μάθει ποιος επιτέλους κρύβεται πίσω από την αινιγματική φιγούρα που καθόρισε τη ζωή του. 

«Τουλάχιστον τώρα δεν κινδυνεύω να βρεθώ πάλι σε καμιά φυλακή», συλλογίστηκε και χτύπησε επιτέλους το κουδούνι. Σε ελάχιστα δευτερόλεπτα, η πόρτα άνοιξε διάπλατα και μέσα από ένα σκοτεινό διάδρομο βγήκαν σαν σίφουνες ένα γλυκύτατο αγοράκι και ένα πανέμορφο κοριτσάκι για να υποδεχτούν τον καλεσμένο.

«Φτου να πάρει» σκέφτηκε από μέσα του ο Α και φοβούμενος ότι άκουσαν τα παιδιά τη σκέψη του είπε ξεροβήχοντας «Χμ, αγαπητά μου παιδιά, έχω φέρει από ένα δώρο για τον καθένα σας» και στρέφοντας το βλέμμα του προς το κορίτσι συνέχισε κάπως πιο διστακτικά «δυστυχώς όμως έχω φέρει και στους δύο από ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι, καθώς περίμενα να δω δυο αγόρια. Βλέπεις γλυκιά μου δεν μπορούσα να κάνω κάτι καλύτερο, αφού η πιθανότητα να ήσουν αγόρι ήταν ίδια με το να ήσουν κορίτσι».

Δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τη φράση του και μέσα από την ανοιχτή πόρτα άκουσε μια γνώριμη φωνή να του απευθύνει σε τόνο φιλικό και ταυτόχρονα υπαινικτικό:

«Ατυχείν έξεστιν, αμελείν ουκ έξεστιν».

«Μα...» πρόλαβε να ξεφωνίσει ο Α, όταν μέσα από το σκοτάδι άρχισε να σχηματίζεται μια όψη, η οποία όσο πιο κοντά πλησίαζε τόσο του θύμιζε κάτι. Ώσπου η εικόνα συμπληρώθηκε και ο Α έμεινε με το στόμα ανοιχτό!

«Είπατε ευχαριστώ παιδιά στο θείο για τα δώρα που σας έφερε;», είπε ο οικοδεσπότης αφού έβγαλε τη μάσκα από το πρόσωπό του, σχηματίζοντας με το στόμα ένα πλατύ χαμόγελο!

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 2ο)

Μέσα στη φυλακή, μαζί με τον Α, σε διπλανά κελιά, βρίσκονταν δύο ακόμη κατάδικοι, ο Β και ο Γ, οι οποίοι καταδικάστηκαν και αυτοί για ακάλυπτα χρέη. Υπήρχε μάλιστα κι ένας φρουρός ο οποίος για λόγους ασφαλείας φορούσε μία μάσκα, ώστε να μην αποκαλύπτει το πρόσωπό του στους κρατούμενους. Μια μέρα, τους ανακοινώθηκε από τη διεύθυνση των φυλακών ότι μέσα στην επόμενη εβδομάδα, με τη μεσολάβηση ενός αγνώστου προσώπου το οποίο διέθεσε ένα μεγάλο χρηματικό ποσό, σε δύο από τους τρεις θα δινόταν χάρη και θα αφήνονταν ελεύθεροι. Όμως, στην ανακοίνωση δεν αναφέρονταν ακόμη ρητά τα ονόματά τους. Ο Α, που ήταν ανυπόμονος, ζήτησε από το φρουρό να μπει κρυφά στο γραφείο του διευθυντή για να μάθει αν θα αποφυλακιστεί. Έτσι κι έγινε. Επιστρέφοντας ο φρουρός στον Α, του είπε μέσα από το ειδικό μικρόφωνο επικοινωνίας με το κελί, ότι δυστυχώς, αν και κατάφερε να μπει στο γραφείο, το μόνο που πρόλαβε να δει ήταν το όνομα ενός εκ των δύο άλλων καταδίκων. Πριν προλάβει ωστόσο να του ανακοινώσει το όνομα που είδε, ο Α τον διέκοψε απότομα:

«Μη σε παρακαλώ! Δεν θέλω να μου πεις το όνομα που είδες, γιατί ενώ αρχικά η πιθανότητα να μην αποφυλακιστώ είναι προφανώς \( \frac{1}{3} \), αφού μου πεις το όνομα θα μείνουμε μόνο δύο οι υποψήφιοι, οπότε η πιθανότητα αυτή θα αυξηθεί στο \( \frac{1}{2} \)». 

«Αγαπητέ μου, μου ακούγεται παράλογο ότι η πληροφορία για το ποιος εκ των δύο άλλων καταδίκων θα αποφυλακιστεί μπορεί με κάποιον τρόπο να επηρεάσει τη δική σου πιθανότητα να αποφυλακιστείς, δεδομένου ότι ούτως ή άλλως γνωρίζεις εξαρχής ότι ένας από τους δυο τους είναι βέβαιο ότι θα αποφυλακιστεί! Ωστόσο, η απόφαση είναι δική σου και οφείλω να υπακούσω».

«Άσε! Την τελευταία φορά σε μια παρόμοια περίπτωση την πάτησα άσχημα...», είπε ο Α, έχοντας στο νου του το φιάσκο που υπέστη στο τηλεπαιχνίδι, χωρίς ωστόσο να δώσει περισσότερες εξηγήσεις στο φρουρό.

Αυτή τη φορά, η εξέλιξη ήταν αίσια, καθώς τελικά ο Α ήταν ένας από τους δύο που αποφυλακίστηκαν. Βγαίνοντας από την κεντρική πύλη της φυλακής, έριξε μια φευγαλέα ματιά πίσω του και νιώθοντας ότι στην περίπτωση αυτή ακολούθησε τη σωστή στρατηγική περπάτησε μέχρι το σπίτι του ευτυχισμένος.

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 1ο)

Ο κύριος Α τον τελευταίο καιρό διένυε μια δύσκολη περίοδο στη ζωή του. Ένα χρόνο πριν, είχε έρθει σε ρήξη με τον αδερφό του για τα κληρονομικά και οι δυο τους τότε δοκίμασαν να λύσουν τις διαφορές τους στα δικαστήρια. Ο Α έχασε τη δίκη και μαζί της την κληρονομιά και έκτοτε βρέθηκε σε ασφυκτική οικονομική στενότητα. Μέσα στη γενικότερη συμφορά του, η απόλυση από τη δουλειά του τις προηγούμενες μέρες, ήρθε να τον αποτελειώσει. 

Όντας στα πρόθυρα της οικονομικής εξαθλίωσης, ο Α έλαβε ένα περίεργο γράμμα από κάποιον άγνωστο αποστολέα. Ο αποστολέας ήταν φανερό ότι είχε γνώση της άσχημης κατάστασής του και τον παρότρυνε να πάρει μέρος στο γνωστό τηλεπαιχνίδι Let's make a deal με την ελπίδα να κερδίσει το μεγάλο έπαθλο, ώστε να ξεχρεώσει όλες του τις οφειλές και να συνεχίσει να ζει μια αξιοπρεπή ζωή. 

Όταν πήγε λοιπόν στο παιχνίδι, ο παρουσιαστής τον καλωσόρισε στο πλατό, όπου υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες. Όπως πάντα, εξήγησε εν συντομία τους κανόνες του παιχνιδιού, υπενθυμίζοντας ότι οι συντελεστές της παραγωγής, με τυχαίο τρόπο, είχαν τοποθετήσει στις δύο από τις τρεις πόρτες από μια κατσίκα, ενώ στην τρίτη είχαν βάλει το πολυπόθητο έπαθλο: μια επιταγή του ενός εκατομμυρίου ευρώ. Έπειτα, χωρίς επιπλέον καθυστέρηση, ζήτησε από τον Α να επιλέξει μία πόρτα. Ο Α, για ευνόητους λόγους, διάλεξε την πόρτα Α. 

Μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, από τα μεγάφωνα του στούντιο ακούστηκε μια παραμορφωμένη φωνή να δίνει εντολή να ανοίξει η πόρτα Β, ώστε να αποκαλυφθεί η μία από τις δύο κατσίκες. Η φωνή αυτή ανήκε στον άνθρωπο που βρισκόταν πίσω από τις κάμερες, ο οποίος ήταν γνωστός και ως «τέρας», γνώριζε τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και στην πραγματικότητα διηύθυνε την εξέλιξη του παιχνιδιού.

Αφού άνοιξε η πόρτα Β, το «τέρας» απευθυνόμενο στον Α του είπε με τη χαρακτηριστική του μπάσα φωνή:

«Αφού σου αποκαλύφθηκε η κατσίκα που βρίσκεται στην πόρτα Β, σου δίνεται τώρα η δυνατότητα να παραμείνεις στην αρχική σου επιλογή ή να αλλάξεις πόρτα και να πας στη Γ».

Ο Α με αποφασιστικότητα και μια δόση ειρωνείας απάντησε:

«Τα γνωρίζω καλά αυτά τα πονηρά κόλπα, όμως θα ήθελα να ξέρεις ότι δεν περνάνε σε μένα. Στην πραγματικότητα δεν μου έδωσες καμία πληροφορία, αφού ήταν ήδη γνωστό ότι μία τουλάχιστον από τις δύο πόρτες που άφησα περιέχει κατσίκα. Το ότι άνοιξες λοιπόν την πόρτα Β δεν αλλάζει την αρχική πιθανότητα να έχω επιλέξει το έπαθλο, που είναι \( \frac{1}{3} \)». 

«Αυτό που λες μοιάζει να είναι σωστό, ωστόσο θα πρέπει να σου θυμίσω ότι εκτός από την αυτονόητη πληροφορία που λες ότι σου έδωσα, επιπλέον σου έδειξα και πίσω από ποια συγκεκριμένη πόρτα βρίσκεται η κατσίκα», του αντιγύρισε το «τέρας» και συνέχισε «νιώθω λοιπόν την ανάγκη να σε ρωτήσω για δεύτερη φορά. Είσαι σίγουρος ότι παραμένεις στην αρχική σου απόφαση;», τον ρώτησε και παρά το γεγονός ότι κανείς δεν μπορούσε να δει το πρόσωπό του, ήταν σχεδόν βέβαιο ότι του έκλεισε το μάτι...

«Όσες φορές κι αν με ρωτήσεις αγαπητό μου «τέρας», δεν πρόκειται να μετακινηθεί ως δια μαγείας το περιεχόμενο πίσω από τις πόρτες. Παρακαλώ», απάντησε με αδιαλλαξία ο Α, κάνοντας νεύμα προς την πόρτα Α.

«Ατυχείν έξεστιν, αμελείν ουκ έξεστιν¹»

«Παρακαλώ να ανοίξει η πόρτα Α για να δούμε τι κρύβεται από πίσω», διέταξε αμέσως ο παρουσιαστής, ο οποίος παρακολουθούσε όλη αυτή την ώρα με αμείωτο ενδιαφέρον το διάλογο ανάμεσα στον Α και στο «τέρας».

Ο Α με την αγωνία του στο κατακόρυφο, είδε με απογοήτευση τη συνονόματη πόρτα να ανοίγει και να ξεπετιέται από μέσα μια ανέμελη κατσίκα. Η εξέλιξη ήταν θλιβερή. Αδυνατώντας να διευθετήσει τα χρέη του, δεν άργησε να βρεθεί πίσω από τα κάγκελα της φυλακής.

¹Αρχαιοελληνικό γνωμικό που σημαίνει «το να είσαι άτυχος επιτρέπεται, όμως το να αμελείς είναι ανεπίτρεπτο»

Η στάνη του Monty Hall

Βρίσκεστε σε ένα τηλεπαιχνίδι στο οποίο σας παρουσιάζονται τρεις πόρτες. Πίσω από τις δύο πόρτες κρύβεται από μία κατσίκα, ενώ πίσω από την τρίτη βρίσκεται το πολυπόθητο έπαθλο, ένα αυτοκίνητο. Καλείστε να επιλέξετε μια από τις τρεις πόρτες. Αφού επιλέξετε, ο παρουσιαστής ανοίγει μία από τις άλλες δύο αποκαλύπτοντας τη μία κατσίκα. Έπειτα σας ρωτάει αν θέλετε να αλλάξετε πόρτα ή να επιμείνετε στην αρχική σας επιλογή. Τι θα κάνατε;

Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό στους μαθηματικούς (και μη) κύκλους ως το πρόβλημα του Monty Hall, από τον ομώνυμο παρουσιαστή του τηλεπαιχνιδιού "Let's make a deal" που ξεκίνησε να προβάλλεται στις αμερικανικές τηλεοράσεις τη δεκαετία του '70 [1]. Πολλές φορές αναφέρεται και ως παράδοξο, καθώς σύμφωνα με την άποψη ορισμένων η λύση του έρχεται σε ρήξη με την ανθρώπινη διαίσθηση.

Η σωστή στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσετε, όσο κι αν φαίνεται περίεργο, είναι να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή και να διαλέξετε την πόρτα που απομένει αφότου ο παρουσιαστής σας επιδείξει τη μία από τις δύο κατσίκες. Με αυτόν τον τρόπο μάλιστα διπλασιάζετε την πιθανότητα να κερδίσετε το αυτοκίνητο! Γιατί όμως;

Όταν επιλέγετε στην αρχή μία πόρτα υπάρχουν τρία ισοπίθανα ενδεχόμενα:

1) Επιλέγετε την κατσίκα 1
2) Επιλέγετε την κατσίκα 2
3) Επιλέγετε το αυτοκίνητο

Η πιθανότητα λοιπόν να κερδίσετε το αυτοκίνητο αν δεν αλλάξετε επιλογή είναι \( \frac{1}{3} = 0.333... \).

Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει σε καθένα από αυτά τα τρία ενδεχόμενα ξεχωριστά, αν ακολουθήσετε τη στρατηγική της αλλαγής.

1) Έστω ότι αρχικά έχετε επιλέξει την κατσίκα 1. Τότε ο παρουσιαστής είναι αναγκασμένος να σας ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα 2 και συνεπώς αν αλλάξετε απόφαση θα επιλέξετε την πόρτα με το αυτοκίνητο. 

2) Όμοια με την περίπτωση 1, αν έχετε επιλέξει την κατσίκα 2, ο παρουσιαστής σας αποκαλύπτει την κατσίκα 1 κι επομένως αν αλλάξετε θα πέσετε και πάλι στο αυτοκίνητο. 

3) Τέλος, αν αρχικά έχετε επιλέξει το αυτοκίνητο, ο παρουσιαστής σας αποκαλύπτει με τυχαίο τρόπο μία από τις δύο κατσίκες. Στην περίπτωση αυτή, αν αλλάξετε επιλογή προφανώς θα πέσετε επάνω στην εναπομείνασα κατσίκα.

Είναι φανερό λοιπόν ότι στις 2 από τις 3 παραπάνω περιπτώσεις κερδίζετε το αυτοκίνητο. Η πιθανότητα δηλαδή νίκης ανέρχεται στα \( \frac{2}{3} = 0.666... \), δύο φορές δηλαδή η αρχική πιθανότητα!

Ας προσπαθήσουμε τώρα να επεκτείνουμε το πρόβλημα ως εξής:

Έστω ότι απέναντί σας έχετε \( n \) πόρτες. Αυτή τη φορά πίσω από μία ακριβώς πόρτα βρίσκεται το αυτοκίνητο και πίσω από τις υπόλοιπες \( n-1 \) κρύβεται μια κατσίκα. 

Όπως και στο βασικό πρόβλημα, επιλέγουμε τυχαία μια πόρτα. Ο παρουσιαστής ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες η οποία κρύβει κατσίκα και μας δίνει το δικαίωμα να παραμείνουμε στην αρχική μας επιλογή ή να αλλάξουμε πόρτα. Τι μας συμφέρει να κάνουμε; Αλλάζει κάτι σε σχέση με το βασικό πρόβλημα;

Ας προσπαθήσουμε και πάλι να προσεγγίσουμε το πρόβλημα με παρόμοιο σκεπτικό. Τα κύρια ενδεχόμενα σε αυτήν την εκδοχή είναι $n$ και απαριθμούνται παρακάτω:

1) Επιλέγουμε την κατσίκα 1
2) Επιλέγουμε την κατσίκα 2

...

n-1) Επιλέγουμε την κατσίκα \( n-1 \)

n) Επιλέγουμε το αυτοκίνητο

Σε αυτήν την εκδοχή του προβλήματος, η αρχική πιθανότητα να επιλέξουμε το αυτοκίνητο ισούται με \( \frac{1}{n} \). Επιπλέον, είναι φανερό ότι εάν έχουμε επιλέξει το αυτοκίνητο, τότε με απόλυτη βεβαιότητα εφόσον αλλάξουμε πόρτα, θα το χάσουμε. Σε καθένα από τα υπόλοιπα ενδεχόμενα, αν εξαιρέσουμε την κατσίκα που έχουμε επιλέξει και την κατσίκα που ο παρουσιαστής αποκαλύπτει, οι υπόλοιπες κατσίκες καταλαμβάνουν τις \( n-3 \) θέσεις από τις \( n-2 \) που απομένουν. Συνεπώς, αν αλλάξουμε πόρτα, το να πέσουμε επάνω στο αυτοκίνητο έχει πιθανότητα \( \frac{1}{n-2} \). Η πιθανότητα αυτή είναι δεσμευμένη από το γεγονός ότι έχουμε αρχικά επιλέξει κατσίκα. Έτσι, η συνολική πιθανότητα να επιλέξουμε τελικά το αυτοκίνητο, δεδομένου ότι ακολουθούμε τη στρατηγική της αλλαγής ισούται με:

\[ P_n = (n-1) \frac{1}{n} \frac{1}{n-2} = \frac{n-1}{n(n-2)}. \]

Επαληθεύοντας, για \( n=3 \) έχουμε \( P_3 = \frac{2}{3}$ \) καταλήγοντας στη βασική εκδοχή του προβλήματος.

Παρατηρούμε ότι \( \frac{n-1}{n(n-2)} > \frac{1}{n} \), συνεπώς και πάλι συμφέρει να αλλάξουμε πόρτα. Πάντως \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n-1}{n(n-2)} - \frac{1}{n} = 0 \), που δείχνει ότι όσο το \( n \) μεγαλώνει, τόσο μικραίνει η επίδραση της αλλαγής στην πιθανότητα νίκης.

Τέλος, ας επιχειρήσουμε μια ακόμη μεγαλύτερη γενίκευση. Έστω ότι πάλι έχουμε απέναντί μας \( n \) πόρτες. Αυτή τη φορά όμως ο παρουσιαστής εφόσον έχουμε επιλέξει μια πόρτα, μας αποκαλύπτει \( k \) από τις κατσίκες που κρύβονται στις υπόλοιπες πόρτες. Ποια είναι η πιθανότητα να πετύχουμε το αυτοκίνητο τώρα; 

Και πάλι, για να έχουμε ελπίδες να κερδίσουμε το αυτοκίνητο πρέπει αναγκαστικά να έχουμε επιλέξει αρχικά κατσίκα. Σε αυτήν την περίπτωση, εφόσον μας αποκαλύπτονται \( k \) κατσίκες, η πιθανότητα να πέσουμε στο αυτοκίνητο γίνεται 

\[ P_n^k = (n-1) \frac{1}{n} \frac{1}{n-k-1} = \frac{n-1}{n(n-k-1)}. \]

Για \( k=1 \) έχουμε την προηγούμενη γενίκευση. Επιπλέον, για \( k=1 \) και \( n=3 \) παρατηρούμε ότι καταλήγουμε ξανά στη βασική εκδοχή του προβλήματος.

Και πάλι εύκολα προκύπτει ότι \( \frac{n-1}{n(n-k-1)} > \frac{1}{n} \). Επίσης, είναι φανερό ότι όσο μεγαλύτερο είναι το \( k \), τόσο μεγαλύτερη και η πιθανότητα νίκης. Με απλά λόγια, όσο περισσότερες πόρτες ανοίγει ο παρουσιαστής, τόσο λιγότερες επιλογές πόρτας μας δίνει και συνεπώς τόσο πιο μεγάλη γίνεται η πιθανότητα να πετύχουμε το αυτοκίνητο. 

Αν λοιπόν ποτέ βρεθείτε σε ένα αντίστοιχο τηλεπαιχνίδι, μη διστάσετε να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή πόρτας, αρκεί βέβαια να προτιμάτε το αυτοκίνητο έναντι της κατσίκας...

[1] http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html