Όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι στρόγγυλοι: Ένας εναλλακτικός ορισμός των πρώτων αριθμών

Αν η μεζούρα μου έχει ακρίβεια εκατοστού (cm), έχει νόημα να πω ότι το ύψος μου είναι \(1784\) χιλιοστά (mm);

Στο άρθρο «Η τάξη μεγέθους και το μέγεθος της τάξης» παρουσιάσαμε μια ειδική μορφή στρογγυλοποίησης, η οποία μας επιτρέπει να εκτιμούμε την τάξη μεγέθους ενός συνόλου ή αντικειμένου. Είδαμε επίσης ότι η τάξη μεγέθους είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε. Στο άρθρο αυτό, θα δούμε άλλη μια χρήσιμη εφαρμογή της (συνήθους αυτή τη φορά) στρογγυλοποίησης, με τη βοήθεια της οποίας θα καταλήξουμε σε έναν εναλλακτικό ορισμό των πρώτων φυσικών αριθμών.

Στις φυσικές επιστήμες, για την έκφραση κάποιου μεγέθους, σημαντικότατο ρόλο παίζει η ακρίβεια του οργάνου μέτρησης, η οποία αναφέρεται πολλές φορές και ως διακριτική ικανότητα. Οποιαδήποτε απόδοση μιας μέτρησης με μονάδες μικρότερες της διακριτικής ικανότητας του οργάνου είναι ανούσια, καθώς ενέχει την πιθανότητα σφάλματος. Σε τέτοιες περιπτώσεις συνήθως καταφεύγουμε στη συνήθη διαδικασία της στρογγυλοποίησης η οποία περιγράφεται παρακάτω:

Αλγόριθμος στρογγυλοποίησης

• Βήμα 1ο: Προσδιορίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. (Στη δική μας περίπτωση, η τάξη αυτή καθορίζεται από τη διακριτική ικανότητα της μεζούρας)
• Βήμα 2ο: Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης
• Περίπτωση 1η: Αν είναι μικρότερο του \( 5 \), τότε προχωράμε στο Βήμα 3ο
• Περίπτωση 2η: Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του \( 5 \), τότε το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1
• Βήμα 3ο: Τα ψηφία όλων των τάξεων που είναι μικρότερες της τάξης στρογγυλοποίησης μηδενίζονται

Στην δική μας περίπτωση, η μεζούρα είναι βαθμονομημένη σε cm και άρα δεν μπορεί να «διακρίνει» μήκη μικρότερα του ενός cm. Γι αυτόν τον λόγο οφείλουμε να κάνουμε στρογγυλοποίηση στην τάξη των cm. Καθώς το ψηφίο \(4\) που ανήκει στην τάξη των mm είναι μικρότερο του \(5\), η μέτρηση στρογγυλοποιείται σε \(1780\). Έτσι, είναι ορθότερο να πω ότι το ύψος μου είναι \(1780\) mm ή απλούστερα \(178\) cm.

Βασισμένοι τώρα στην έννοια της στρογγυλοποίησης, θα δώσουμε έναν εναλλακτικό ορισμό των πρώτων ακεραίων αριθμών. Για το σκοπό αυτό, δίνουμε τον επόμενο τετριμμένο ορισμό:

Ορισμός 1: Ένας ακέραιος αριθμός καλείται στρόγγυλος όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι το μηδέν.

Στο φως αυτού του ορισμού, ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην επόμενη ερώτηση:

Ποιοι από τους επόμενους φυσικούς αριθμούς είναι στρόγγυλοι;

\( 0, 5, 9, 10, 19, 20, 97, 100 \)

Δεν νομίζω να υπάρχει αμφιβολία ότι η αυθόρμητη απάντηση είναι ότι στρόγγυλοι αριθμοί είναι οι \( 0 , 10, 20 \) και \( 100 \). Τα πράγματα όμως δεν είναι τόσο απλά. Για να απαντηθεί το ερώτημα, είναι κρίσιμης σημασίας το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε. Στο δεκαδικό σύστημα, ασφαλώς οι στρόγγυλοι αριθμοί του παραπάνω συνόλου είναι οι \( 0, 10, 20 \) και \( 100 \). Ο αριθμός \( 9 \) σαφώς δεν είναι στρόγγυλος στο 10-δικό, ωστόσο είναι στρόγγυλος στο 3-δικό αφού εκεί γράφεται ως \( 100 \). Επίσης, είναι στρόγγυλος προφανώς και στο 9-δικό σύστημα, όπου γράφεται ως \( 10 \). Όμοια, το \( 19 \), που είναι και πρώτος αριθμός, είναι ένας ολοστρόγγυλος αριθμός στο 19-δικό σύστημα, αφού γράφεται ως \( 10 \). 

Από τα παραπάνω, μπορούμε να καταλήξουμε σε μερικές πολύτιμες παρατηρήσεις:

Παρατήρηση 1: Κάθε φυσικός αριθμός, στο αριθμητικό σύστημα με βάση τον εαυτό του, γράφεται ως \( 10 \). Συνεπώς, για κάθε φυσικό αριθμό, υπάρχει ένα τουλάχιστον αριθμητικό σύστημα, στο οποίο αυτός είναι στρόγγυλος! Κατά κάποιον τρόπο, θα μπορούσαμε να πούμε ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι στρόγγυλοι, αρκεί να τους δούμε από την κατάλληλη «αριθμητική οπτική γωνία».

Παρατήρηση 2: Μια ακόμη παρατήρηση που πηγαίνει κόντρα στη διαίσθηση είναι ότι το \( 10 \) μπορεί να είναι πρώτος αριθμός! Πράγματι, όπως είδαμε παραπάνω, το \( 10 \) στο 19-δικό σύστημα είναι πρώτος αριθμός.

Παρατήρηση 3: Στην πραγματικότητα, για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχουν τόσα αριθμητικά συστήματα στα οποία αυτός είναι στρόγγυλος, όσοι και οι φυσικοί του διαιρέτες, εξαιρουμένου του 1. Πιο συγκεκριμένα, αν \( d \) είναι ένας φυσικός διαιρέτης του φυσικού αριθμού \( a \) διάφορος του 1, τότε ο \( a \) είναι στρόγγυλος στο d-δικό σύστημα¹ και αντιστρόφως. Για παράδειγμα, το \( 12 \) είναι στρόγγυλος αριθμός σε \( 5 \) αριθμητικά συστήματα: στο 2-δικό, στο 3-δικό, στο 4-δικό, στο 6-δικό και στο 12-δικό, καθώς οι φυσικοί διαιρέτες του \( 12 \) είναι οι \( 1, 2, 3, 4, 6 \) και \( 12 \). Δια του λόγου το αληθές παρατίθενται οι εκφράσεις του \( 12 \) σε όλα τα αριθμητικά συστήματα με βάση από το \( 2 \) έως το \( 12 \):

Στα συστήματα με βάση μεγαλύτερη του \( 12 \) είναι προφανές ότι το \( 12 \) παύει να είναι στρόγγυλος αριθμός.

Συνδυάζοντας τις τρεις προηγούμενες παρατηρήσεις μπορούμε να καταλήξουμε στο επόμενο θεώρημα, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί και ως ένας εναλλακτικός ορισμός των πρώτων αριθμών. 

Θεώρημα (Εναλλακτικός ορισμός των πρώτων αριθμών): Πρώτος είναι ένας φυσικός αριθμός \(p\), για τον οποίο ισχύει ότι η ελάχιστη αριθμητική βάση στην οποία είναι στρόγγυλος είναι το \(p\).

Απόδειξη:

Με βάση την Παρατήρηση 1 και 2, ο \(p\) στο αριθμητικό σύστημα με βάση \(p\) είναι στρόγγυλος. Από την Παρατήρηση 3 όμως εγκαθιδρύεται μια πλήρης αντιστοιχία ανάμεσα στους διαιρέτες του \(p\) και στις αριθμητικές βάσεις στις οποίες ο \(p\) είναι στρόγγυλος. Με άλλα λόγια, το \(d\) είναι διαιρέτης του \(p\) αν και μόνο αν ο \(p\) είναι στρόγγυλος στο \(d\)-δικό σύστημα. Με βάση τα παραπάνω, προχωράμε στην απόδειξη του θεωρήματος:

(\( \Rightarrow \)): Έστω \(p\) ένας πρώτος αριθμός. Από τον ορισμό των πρώτων, οι μόνοι διαιρέτες του \(p\) είναι το \(1\) και το \(p\). Εφόσον ο \(p\) δεν έχει διαιρέτες που να είναι μικρότεροι του \(p\) και ταυτόχρονα μεγαλύτεροι του \(1\), ο \(p\) δεν είναι στρόγγυλος σε καμία αριθμητική βάση \(d\) με \( 2 \le d \le p-1 \). Συνεπώς, η ελάχιστη αριθμητική βάση στην οποία ο \(p\) είναι στρόγγυλος είναι το \(p\).

(\( \Leftarrow \)): Αντιστρόφως. Έστω ότι η ελάχιστη αριθμητική βάση στην οποία ο \(p\) είναι στρόγγυλος είναι το \(p\). Ας υποθέσουμε ότι ο \(p\) δεν είναι πρώτος, άρα έχει έναν τουλάχιστον διαιρέτη \(d\) με \( 2 \le d \le p-1 \). Αυτό σημαίνει ότι ο \(p\) είναι στρόγγυλος στο αριθμητικό σύστημα με βάση \(d\). Συνεπώς, το \(p\) δεν είναι η ελάχιστη βάση στην οποία ο \(p\) είναι στρόγγυλος. Καταλήγουμε δηλαδή σε άτοπο, το οποίο σημαίνει ότι ο \(p\) είναι πρώτος αριθμός.

Κλείνοντας, παρέχουμε μερικές επιπλέον χρήσιμες παρατηρήσεις καθώς και μερικά παραδείγματα στα οποία γίνεται χρήση του θεωρήματος αυτού:

Παρατήρηση 4: Προφανώς, κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του \( 2 \) είναι στρόγγυλος στο δυαδικό σύστημα, συνεπώς δεν είναι πρώτος. 

Παρατήρηση 5: Η έκφραση κάθε αριθμού \( a \) σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα με βάση \( b \), τέτοια ώστε \( \frac{a}{2} < b < a \) είναι \( (1 (a-b))_b \). Για παράδειγμα, η έκφραση του \( a=13 \) στο \(8\)-δικό είναι \( 15 \), δεδομένου ότι \( a-b=5 \). Στην προσπάθεια να διαπιστώσουμε αν ένας αριθμός \( a \) είναι πρώτος, η παρατήρηση αυτή μας επιτρέπει να εξετάσουμε αν ο αριθμός αυτός είναι στρόγγυλος στα αριθμητικά συστήματα με βάση από \( 2 \) έως τον μεγαλύτερο φυσικό που είναι μικρότερος του \( \frac{a}{2} \). Φυσικά, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι ακόμη καλύτερα, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα της θεωρίας αριθμών, η διαδικασία εύρεσης μιας βάσης στην οποία ο \( a \) είναι στρόγγυλος μπορεί να περιοριστεί στο διάστημα φυσικών από \( 2 \) έως και \( \sqrt{a} \). 

Παράδειγμα 1: Έστω ο αριθμός \( 13 \) του δεκαδικού συστήματος. Οι εκφράσεις του \( 13 \) στα διάφορα συστήματα είναι οι εξής:

Είναι φανερό ότι για καμία βάση μικρότερη του \( 13 \), ο αριθμός \( 13 \) δεν είναι στρόγγυλος. Συνεπώς, με βάση τον Ορισμό 2, το \( 13 \) είναι πρώτος αριθμός.

Παράδειγμα 2: Έστω τέλος ο αριθμός \( 15 \) του δεκαδικού συστήματος. Οι εκφράσεις του \( 15 \) στα διάφορα συστήματα είναι οι εξής:

Παρατηρούμε ότι το \( 15 \) είναι στρόγγυλος στα αριθμητικά συστήματα με βάση το \( 3 \) και το \( 5 \), συνεπώς είναι σύνθετος αριθμός.

¹ Το 1 εξαιρείται καθώς δεν νοείται αριθμητικό σύστημα με βάση το 1.

Δυαδικό σύστημα και ορθός τρόπος γραφής

Ποια είναι η σωστή έκφραση του αριθμού \(1101\) στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης;

Η απάντηση φαίνεται απλή:

\[ (1101)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \]

Κρύβει όμως μια παραξενιά. Στην παραπάνω αληθή σχέση χρησιμοποιούνται αριθμητικά σύμβολα του δεκαδικού συστήματος και δεν υπάρχει τίποτα το μεμπτό σε αυτό. Ας φανταστούμε όμως ότι ζούμε σε ένα δυαδικό κόσμο. Τότε, ασφαλώς θα αδυνατούσαμε να κατανοήσουμε σύμβολα όπως το 2, το 3, κτλ., αφού τα μόνα αριθμητικά σύμβολα σε έναν τέτοιο κόσμο θα ήταν το 0 και το 1. Είναι φανερό λοιπόν ότι αποκλείεται η παραπάνω σχέση να αποτελεί έκφραση στο δυαδικό σύστημα.

Ας προσπαθήσουμε να βάλουμε τα πράγματα στη θέση τους. Για το σκοπό αυτό είναι σημαντικό να διαχωρίσουμε τις έννοιες έκφραση και ανάλυση. Η έκφραση αφορά στα τυπικά σύμβολα που χρησιμοποιούνται για τη γραφή μιας σχέσης, ενώ η ανάλυση αναφέρεται στα δομικά συστατικά του αριθμητικού συστήματος που χρησιμοποιούνται για να κατασκευαστεί η εν λόγω σχέση¹.

Με βάση τα παραπάνω, γίνεται φανερό ότι η αρχική ερώτηση «ποια είναι η σωστή έκφραση του αριθμού \( 1101 \) στο δυαδικό σύστημα» είναι ελλιπής και κατά συνέπεια η απάντηση είναι σχετική. Στα επόμενα δίνονται οι διάφορες περιπτώσεις ξεχωριστά.

Περίπτωση 1α: 

\[ (1101)_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \]

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού \( 1101 \) στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης, εκφρασμένη στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. 

Περίπτωση 1β:

\[ (1101)_2 = 1 \times 10^{11} + 1 \times 10^{10} + 0 \times 10^1 + 1 \times 10^0 \]

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού  \( 1101 \) στο δυαδικό σύστημα, εκφρασμένη επίσης στο δυαδικό σύστημα. Θα πρέπει να επισημάνουμε φυσικά ότι \( (11)_2 = (3)_{10} \) και \( (10)_2 = (2)_{10} \).

Περίπτωση 2α:

\[ (1101)_{10} = 1 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 1 \times 10^0 \]

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού \( 1101 \) στο δεκαδικό σύστημα, εκφρασμένη στο δεκαδικό σύστημα.

Περίπτωση 2β:

\[ (1101)_{10} = 1 \times 1010^{11} + 1 \times 1010^{10} + 0 \times 1010^1 + 0 \times 1010^0 \]

Αυτή είναι η ανάλυση του αριθμού \( 1101 \) στο δεκαδικό σύστημα, εκφρασμένη στο δυαδικό σύστημα.

Κλείνοντας, δεν θα μπορούσα να παραλείψω την πανέξυπνη ρήση του μαθηματικού Ian Stewart: 

Σε ελληνική μετάφραση: "Υπάρχουν 10 είδη ανθρώπων στον κόσμο: αυτοί που κατανοούν τους δυαδικούς αριθμούς και εκείνοι που δεν τους κατανοούν".

¹ Εξ όσων γνωρίζω ή «to the best of my knowledge», όπως συνηθίζουν να λένε οι αγγλοσάξονες, η προσέγγιση αυτή είναι καθαρά δική μου και σε καμία περίπτωση δεν αξιώνει ευρεία αποδοχή από τη μαθηματική κοινότητα.