- Αν ένα κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τι θα ποντάρατε ότι θα φέρει στην ενδέκατη ρίψη;
Η σωστή απάντηση δεν είναι καθόλου προφανής. Η πλειοψηφία τείνει να ποντάρει στην κορώνα, σε αυτό δηλαδή που έχει καιρό να εμφανιστεί. Ο λόγος είναι η λάθος ερμηνεία του περίφημου ισχυρού Νόμου των Μεγάλων Αριθμών. Ο νόμος αυτός λέει το εξής:
Έστω ότι ένα πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται \( N \) φορές και έστω ότι η θεωρητική (a priori) πιθανότητα κάποιου γεγονότος \( A \) είναι \( p_Α \). Ορίζουμε ως σχετική συχνότητα πραγματοποίησης του \( A \) το πηλίκο \( f_A = \frac{N_A}{N} \), όπου \( N_A \) συμβολίζει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το γεγονός \( A \) στις \( N \) επαναλήψεις του πειράματος. Τότε, καθώς το \( N \) τείνει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα \( f_A \) συγκλίνει στην τιμή \( p_A \). Με άλλα λόγια, όσο περισσότερες φορές επαναλαμβάνεται το πείραμα, τόσο αναμένουμε η τιμή \( f_A \) να πλησιάσει την τιμή \( p_A \).
Η σωστή απάντηση δεν είναι καθόλου προφανής. Η πλειοψηφία τείνει να ποντάρει στην κορώνα, σε αυτό δηλαδή που έχει καιρό να εμφανιστεί. Ο λόγος είναι η λάθος ερμηνεία του περίφημου ισχυρού Νόμου των Μεγάλων Αριθμών. Ο νόμος αυτός λέει το εξής:
Έστω ότι ένα πείραμα τύχης επαναλαμβάνεται \( N \) φορές και έστω ότι η θεωρητική (a priori) πιθανότητα κάποιου γεγονότος \( A \) είναι \( p_Α \). Ορίζουμε ως σχετική συχνότητα πραγματοποίησης του \( A \) το πηλίκο \( f_A = \frac{N_A}{N} \), όπου \( N_A \) συμβολίζει πόσες φορές πραγματοποιήθηκε το γεγονός \( A \) στις \( N \) επαναλήψεις του πειράματος. Τότε, καθώς το \( N \) τείνει στο άπειρο, η σχετική συχνότητα \( f_A \) συγκλίνει στην τιμή \( p_A \). Με άλλα λόγια, όσο περισσότερες φορές επαναλαμβάνεται το πείραμα, τόσο αναμένουμε η τιμή \( f_A \) να πλησιάσει την τιμή \( p_A \).
Αρχικά, για να λύσουμε το πρόβλημα, είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι οι διαδοχικές ρίψεις του κέρματος είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι πιθανότητες δηλαδή για κορώνα ή γράμματα δεν μεταβάλλονται από τη μία ρίψη στην άλλη. Εδώ είναι άλλωστε και το σημείο στο οποίο ξεκινούν οι παρανοήσεις και τα σφάλματα, καθώς πολλοί θεωρούν ότι τα προηγούμενα αποτελέσματα επηρεάζουν με κάποιον «μεταφυσικό» τρόπο την επόμενη ρίψη. Κανένα κέρμα όμως, σε κανένα σημείο του πλανήτη δεν έχει μνήμη. Συνεπώς, το τι έφερε ένα κέρμα στο παρελθόν δεν επηρεάζει σε τίποτα το τι θα φέρει στο μέλλον. Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι δεσμευμένες (a posteriori) πιθανότητες, δεδομένου του αποτελέσματος μίας ρίψης, ταυτίζονται με τις a priori.
Λόγω ακριβώς της ανεξαρτησίας των διαδοχικών επαναλήψεων, για να μπορέσουμε να αποφανθούμε που συμφέρει να ποντάρουμε, το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η a priori πιθανότητα για κάθε ενδεχόμενο. Στα επόμενα θεωρούμε τις a priori πιθανότητες \( p_K \) και \( p_{\Gamma} \), το κέρμα να φέρει κορώνα και γράμματα, αντίστοιχα. Εξετάζουμε δύο περιπτώσεις:
Γνωστές a priori πιθανότητες:
Αυτή είναι η ιδανική εκδοχή. Η γνώση των a priori πιθανοτήτων κάποιου πειράματος συνήθως βασίζεται στους νόμους της φυσικής ή σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αν γνωρίζουμε τα \( p_K \) και \( p_{\Gamma} \), τότε φυσικά ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα.
α) Αν \( p_K = p_{\Gamma} \), αν δηλαδή η πιθανότητα το κέρμα να φέρει γράμματα ισούται με την πιθανότητα να φέρει κορώνα, τότε δεν έχει σημασία που θα ποντάρουμε, αφού σε κάθε περίπτωση προσδοκούμε να κερδίσουμε με πιθανότητα \( 50\% \). Σε αυτήν την περίπτωση το κέρμα λέγεται δίκαιο. Πολλοί θεωρούν ότι εφόσον το κέρμα έφερε 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, κατά κάποιον τρόπο «οφείλει» να φέρει κάποια στιγμή κορώνα ώστε οι σχετικές συχνότητες των γεγονότων «κορώνα» και «γράμματα» να πλησιάσουν την αναμενόμενη τιμή \( 50\% \). Και όντως, περιμένουμε κάποια στιγμή να φέρει κορώνα, όχι όμως λόγω του παρελθόντος, αλλά για τον απλούστατο λόγο ότι το \( 50\% \) αποτελεί μεγάλη τιμή πιθανότητας. Για να συμβεί τώρα η σύγκλιση των σχετικών συχνοτήτων, το μόνο που «οφείλει» το κέρμα είναι να συνεχίσει να φέρνει in perpetuum κορώνα ή γράμματα με πιθανότητα \( 50\% \) το καθένα. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό αν υποθέσουμε για παράδειγμα ότι στις επόμενες 999990 φορές το κέρμα φέρει 499995 φορές κορώνα και 499995 φορές γράμματα. Τότε, παρότι στην αρχή είχαμε \( f_K = 0\% \) και \( f_{\Gamma} = 100\% \), στο τέλος οι τιμές αυτές ανανεώνονται στις \( f_K = \frac{499995}{1000000} = 49.9995\% \) και \( f_{\Gamma} = \frac{1000005}{1000000} = 50.0005\% \) αντίστοιχα. Και οι δύο δηλαδή πλησιάζουν πάρα πολύ τη θεωρητική τιμή \( 50\% \).
β) Στην πραγματικότητα, πολλές φορές κάνουμε κάποιες θεωρητικές παραδοχές οι οποίες δεν ισχύουν απαραίτητα και στην πράξη. Το κέρμα δηλαδή μπορεί να μην είναι και τόσο δίκαιο όσο θα περιμέναμε. Για παράδειγμα, το ανάγλυφο σχήμα του, έστω και ανεπαίσθητα καταστρέφει την ομοιομορφία του κέρματος, με αποτέλεσμα να στρεβλώνεται το ισοπίθανο των δύο όψεων. Στην περίπτωση αυτή φυσικά συμφέρει να ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Αν για παράδειγμα, \( p_{\Gamma} > p_K \), τότε πρέπει να ποντάρουμε ξανά στα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι τις 10 τελευταίες φορές ήρθαν γράμματα.
Άγνωστες a priori πιθανότητες:
Αυτή είναι η πιο ρεαλιστική εκδοχή. Η a priori πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν είναι σε όλα τα πειράματα γνωστή. Υπάρχουν για παράδειγμα πειράματα, στα οποία δεν μπορούμε να κάνουμε καμία υπόθεση βασιζόμενοι σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αυτό που γίνεται συχνά στην πράξη είναι η εκτίμηση των a priori πιθανοτήτων των γεγονότων μέσα από την επανάληψη του πειράματος τύχης. Με κάθε επανάληψη του πειράματος μοντελοποιούμε καλύτερα τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου χρησιμοποιώντας τις σχετικές συχνότητες ως εκτιμητές. Στην περίπτωση αυτή συνεπώς, αν και οι προηγούμενες ρίψεις δεν επηρεάζουν τις επόμενες, μας παρέχουν πολύτιμη πληροφορία ώστε να εκτιμήσουμε μέσα σε συγκεκριμένα διαστήματα εμπιστοσύνης τις άγνωστες a priori πιθανότητες των δύο γεγονότων.
Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τις a priori πιθανότητες των ενδεχομένων κορώνα και γράμματα, αν το κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τότε μία καλή τακτική είναι να ποντάρουμε και την ενδέκατη φορά στα γράμματα! Οι 10 προηγούμενες φορές υποδεικνύουν μία τάση (bias) του κέρματος να φέρνει περισσότερες φορές γράμματα. Αν για τις 10 ρίψεις το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται παράλογο, αρκεί να σκεφτούμε ένα κέρμα το οποίο έχει φέρει 1000000 συνεχόμενες φορές γράμματα! Τότε, σίγουρα όλοι θα σκεφτόμασταν ότι το γεγονός αυτό μάλλον δεν είναι καθόλου τυχαίο και με μεγάλη βεβαιότητα θα περιμέναμε και στην εκατομμυριοστή πρώτη ρίψη το κέρμα να φέρει γράμματα.
Φυσικά το αποτέλεσμα αυτό δεν έχει να κάνει με τις συνεχόμενες ρίψεις, αλλά με τη γνώση που έχουμε για το πλήθος εμφάνισης του κάθε ενδεχομένου. Αν δηλαδή, στις προηγούμενες 100 ρίψεις το κέρμα έφερνε 90 φορές κορώνα και 10 φορές γράμματα, τότε θα έπρεπε να αλλάξουμε γνώμη και να ποντάρουμε στην κορώνα, παρά το γεγονός ότι στις δέκα τελευταίες ρίψεις έφερε γράμματα!
α) Αν \( p_K = p_{\Gamma} \), αν δηλαδή η πιθανότητα το κέρμα να φέρει γράμματα ισούται με την πιθανότητα να φέρει κορώνα, τότε δεν έχει σημασία που θα ποντάρουμε, αφού σε κάθε περίπτωση προσδοκούμε να κερδίσουμε με πιθανότητα \( 50\% \). Σε αυτήν την περίπτωση το κέρμα λέγεται δίκαιο. Πολλοί θεωρούν ότι εφόσον το κέρμα έφερε 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, κατά κάποιον τρόπο «οφείλει» να φέρει κάποια στιγμή κορώνα ώστε οι σχετικές συχνότητες των γεγονότων «κορώνα» και «γράμματα» να πλησιάσουν την αναμενόμενη τιμή \( 50\% \). Και όντως, περιμένουμε κάποια στιγμή να φέρει κορώνα, όχι όμως λόγω του παρελθόντος, αλλά για τον απλούστατο λόγο ότι το \( 50\% \) αποτελεί μεγάλη τιμή πιθανότητας. Για να συμβεί τώρα η σύγκλιση των σχετικών συχνοτήτων, το μόνο που «οφείλει» το κέρμα είναι να συνεχίσει να φέρνει in perpetuum κορώνα ή γράμματα με πιθανότητα \( 50\% \) το καθένα. Αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό αν υποθέσουμε για παράδειγμα ότι στις επόμενες 999990 φορές το κέρμα φέρει 499995 φορές κορώνα και 499995 φορές γράμματα. Τότε, παρότι στην αρχή είχαμε \( f_K = 0\% \) και \( f_{\Gamma} = 100\% \), στο τέλος οι τιμές αυτές ανανεώνονται στις \( f_K = \frac{499995}{1000000} = 49.9995\% \) και \( f_{\Gamma} = \frac{1000005}{1000000} = 50.0005\% \) αντίστοιχα. Και οι δύο δηλαδή πλησιάζουν πάρα πολύ τη θεωρητική τιμή \( 50\% \).
β) Στην πραγματικότητα, πολλές φορές κάνουμε κάποιες θεωρητικές παραδοχές οι οποίες δεν ισχύουν απαραίτητα και στην πράξη. Το κέρμα δηλαδή μπορεί να μην είναι και τόσο δίκαιο όσο θα περιμέναμε. Για παράδειγμα, το ανάγλυφο σχήμα του, έστω και ανεπαίσθητα καταστρέφει την ομοιομορφία του κέρματος, με αποτέλεσμα να στρεβλώνεται το ισοπίθανο των δύο όψεων. Στην περίπτωση αυτή φυσικά συμφέρει να ποντάρουμε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη πιθανότητα. Αν για παράδειγμα, \( p_{\Gamma} > p_K \), τότε πρέπει να ποντάρουμε ξανά στα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι τις 10 τελευταίες φορές ήρθαν γράμματα.
Άγνωστες a priori πιθανότητες:
Αυτή είναι η πιο ρεαλιστική εκδοχή. Η a priori πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν είναι σε όλα τα πειράματα γνωστή. Υπάρχουν για παράδειγμα πειράματα, στα οποία δεν μπορούμε να κάνουμε καμία υπόθεση βασιζόμενοι σε κάποιο θεωρητικό μοντέλο. Αυτό που γίνεται συχνά στην πράξη είναι η εκτίμηση των a priori πιθανοτήτων των γεγονότων μέσα από την επανάληψη του πειράματος τύχης. Με κάθε επανάληψη του πειράματος μοντελοποιούμε καλύτερα τις πιθανότητες του κάθε ενδεχομένου χρησιμοποιώντας τις σχετικές συχνότητες ως εκτιμητές. Στην περίπτωση αυτή συνεπώς, αν και οι προηγούμενες ρίψεις δεν επηρεάζουν τις επόμενες, μας παρέχουν πολύτιμη πληροφορία ώστε να εκτιμήσουμε μέσα σε συγκεκριμένα διαστήματα εμπιστοσύνης τις άγνωστες a priori πιθανότητες των δύο γεγονότων.
Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τις a priori πιθανότητες των ενδεχομένων κορώνα και γράμματα, αν το κέρμα έχει φέρει 10 συνεχόμενες φορές γράμματα, τότε μία καλή τακτική είναι να ποντάρουμε και την ενδέκατη φορά στα γράμματα! Οι 10 προηγούμενες φορές υποδεικνύουν μία τάση (bias) του κέρματος να φέρνει περισσότερες φορές γράμματα. Αν για τις 10 ρίψεις το παραπάνω συμπέρασμα φαίνεται παράλογο, αρκεί να σκεφτούμε ένα κέρμα το οποίο έχει φέρει 1000000 συνεχόμενες φορές γράμματα! Τότε, σίγουρα όλοι θα σκεφτόμασταν ότι το γεγονός αυτό μάλλον δεν είναι καθόλου τυχαίο και με μεγάλη βεβαιότητα θα περιμέναμε και στην εκατομμυριοστή πρώτη ρίψη το κέρμα να φέρει γράμματα.
Φυσικά το αποτέλεσμα αυτό δεν έχει να κάνει με τις συνεχόμενες ρίψεις, αλλά με τη γνώση που έχουμε για το πλήθος εμφάνισης του κάθε ενδεχομένου. Αν δηλαδή, στις προηγούμενες 100 ρίψεις το κέρμα έφερνε 90 φορές κορώνα και 10 φορές γράμματα, τότε θα έπρεπε να αλλάξουμε γνώμη και να ποντάρουμε στην κορώνα, παρά το γεγονός ότι στις δέκα τελευταίες ρίψεις έφερε γράμματα!
Ερώτηση bonus: Αν ένα κέρμα έχει φέρει τις τελευταίες 100 φορές τις επόμενες ενδείξεις με τη σειρά που αναγράφονται παρακάτω, τότε πού θα ποντάρατε στην 101η ρίψη;
Απάντηση: Αν βιαστήκατε να απαντήσετε κορώνα, τότε προφανώς έχετε παρασυρθεί από το μοτίβο των περιοδικών εμφανίσεων των δύο όψεων. Για να απαντήσετε σωστά όμως, αναρωτηθείτε πρώτα δύο πράγματα:
α) Ισχύει η ανεξαρτησία ανάμεσα στις διαδοχικές ρίψεις του κέρματος;
Αν το πείραμα επαναλαμβάνεται στον ίδιο χώρο, με σταθερές περιβαλλοντικές συνθήκες και χωρίς τη χρήση κάποιου τεχνάσματος, π.χ. συγκεκριμένη αρχική θέση και ταχύτητα (βλ. παρακάτω), τότε δεν υπάρχει λόγος να απορριφθεί η ανεξαρτησία. Στην περίπτωση αυτή, το μοτίβο των περιοδικών επαναλήψεων εμφανίστηκε εντελώς συμπτωματικά, οπότε πρέπει να αγνοηθεί. Αν κάποια από τις προηγούμενες προϋποθέσεις δεν ισχύει, τότε ενδέχεται να παραβιάζεται η ανεξαρτησία, συνεπώς στην περίπτωση αυτή, το παραπάνω μοτίβο ίσως να υπάγεται σε κάποιου είδους νομοτέλεια η οποία θα πρέπει να ληφθεί σοβαρά υπόψιν στην απόφαση σας.
Παράδειγμα παραβίασης της ανεξαρτησίας αποτελεί η περίπτωση στην οποία η ρίψη ξεκινάει με τη μία από τις δύο όψεις από πάνω και την άλλη από κάτω. Υπάρχει μία βάσιμη θεωρία που διατείνεται ότι η όψη που βρίσκεται από πάνω στην αρχή έχει κατά τι μεγαλύτερη πιθανότητα να εμφανιστεί και στο τελείωμα της ρίψης! Αυτό οφείλεται στον απλούστατο λόγο ότι κατά τη διάρκεια της ρίψης, η όψη αυτή μένει για μεγαλύτερο ή τουλάχιστον ίσο χρονικό διάστημα από πάνω σε σύγκριση με την άλλη όψη. Λογικό, εφόσον η ρίψη ξεκινάει με αυτήν την όψη από πάνω και ή τελειώνει στην ίδια όψη ή αλλάζει όψη με βάση την επόμενη ακολουθία:
Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π - Κ - Π ...
όπου με «Π» και «Κ», πάνω και κάτω αντίστοιχα, συμβολίζουμε την κατάσταση στην οποία βρίσκεται η αρχική όψη κάθε χρονική στιγμή. Για αυτόν το λόγο την επόμενη φορά που θα σας προκαλέσει κάποιος σε «κορώνα-γράμματα» απαιτήστε το κέρμα στην αρχή να βρίσκεται σε πλάγια θέση ή ακόμη καλύτερα ζητήστε να ρίξετε εσείς το κέρμα εφόσον πλέον γνωρίζετε πώς να το κάνετε καλύτερα!
β) Γνωρίζετε ή όχι τις a priori πιθανότητες;
Αν ναι, τότε αγνοήστε τι έφερε το κέρμα τις τελευταίες 100 φορές και ποντάρετε στο γεγονός με τη μεγαλύτερη a priori. Αν όχι, τότε το μόνο όπλο που έχετε είναι η εκτίμηση των a priori. Καθώς το κέρμα έφερε 60 φορές γράμματα και 40 φορές κορώνα, τότε έχει μια λογική να προτιμήσετε τα γράμματα, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι στις τελευταίες 12 ρίψεις ήρθαν ξανά γράμματα και με βάση το μοτίβο θα έπρεπε να ακολουθήσει κορώνα.
Πολύ ωραία θα πείτε τώρα όλα αυτά. Πώς μπορούμε όμως να είμαστε βέβαιοι ότι γνωρίζουμε ή όχι τις a priori πιθανότητες ή ότι ισχύει η αρχή της ανεξαρτησίας; Αν ρωτάτε εμένα, ή απάντηση είναι απλή. Ρίξτε κέρμα...
