Όταν οι πόρτες κλείνουν: Xρόνος και Yπαρξιακή Aπομόνωση

Στον Άρη Κωστόπουλο

Από την ομιλία μου στην παρουσίαση του βιβλίου

«Όταν οι πόρτες κλείνουν, ένα ταξίδι στην ύπαρξη»

Το άρθρο αυτό είναι, με μερικές τροποποιήσεις, η ομιλία που έδωσα στην παρουσίαση¹ του καινούργιου βιβλίου του καλού μου φίλου Άρη Κωστόπουλου με τίτλο «Όταν οι πόρτες κλείνουν», από τις εκδόσεις Οσελότος. Ο κεντρικός άξονας του βιβλίου είναι η Κατάθλιψη, την οποία ο συγγραφέας καταφέρνει να παρουσιάσει με ένα γλαφυρό τρόπο, μέσα από την προσωπική του εμπειρία, από την οπτική γωνία τόσο του θεραπευόμενου, όσο και του θεραπευτή. Παρά τον ειδικό του χαρακτήρα, το βιβλίο απευθύνεται σε όλους, καθώς με αφορμή την Κατάθλιψη, θέτει φιλοσοφικούς προβληματισμούς που αφορούν στην ίδια μας την ύπαρξη, όπως άλλωστε ομολογεί και ο υπότιτλος του βιβλίου «Ένα ταξίδι στην ύπαρξη».

Στο άρθρο αυτό, χωρίς να είμαι ειδικός σε θέματα Ψυχολογίας, θα προσπαθήσω σε Φιλοσοφικό επίπεδο, με μία άλλοτε Κοσμολογική και άλλοτε Οντολογική προσέγγιση να εκθέσω κάποιες υπαρξιακές αναζητήσεις που απασχολούν πολλούς από εμάς. Πιο συγκεκριμένα, με αφορμή αποσπάσματα από το βιβλίο, θα παρουσιάσω μέσα από το υποκειμενικό μου πρίσμα τον τρόπο που αντιλαμβάνομαι και ενδεχομένως βιώνω εγώ την Κατάθλιψη, που απορρέει μέσα από δύο πολύ σημαντικά ζητήματα, τον Χρόνο και την Υπαρξιακή Απομόνωση. Φυσικά, θα πρέπει να τονίσω ότι η αναφορά στην Κατάθλιψη γίνεται με την ευρύτερη έννοια του όρου και όχι με την αυστηρά επιστημονική. Ο σκοπός του άρθρου είναι περισσότερο να θέσει προβληματισμούς και να προσφέρει τροφή για περαιτέρω σκέψη γύρω από την Κατάθλιψη, παρά να δώσει συγκεκριμένες απαντήσεις στα ζητήματα αυτά.

Χρόνος 

Τι είναι ο Χρόνος; Είναι η ένδειξη που βλέπουμε στο καντράν του ρολογιού μας ή μήπως είναι οι κόκκοι άμμου που πέφτουν από τη μία μεριά της κλεψύδρας στην άλλη; Τον επινοήσαμε εμείς ή μήπως υπάρχει ανεξάρτητα από τον άνθρωπο; Το Μέλλον υπάρχει ήδη κάπου; Πού έχει πάει το Παρελθόν; Και τι είναι τελοσπάντων το Παρόν; Δυσεπίλυτα προβλήματα που αναμφίβολα βασανίζουν την ανθρώπινη σκέψη. Ο μεγάλος θεωρητικός φυσικός John Wheeler είχε πει «Χρόνος είναι ο τρόπος με τον οποίο η Φύση εμποδίζει να συμβούν τα πάντα την ίδια στιγμή». Οι ρήσεις για τον Χρόνο είναι αρκετές για να γεμίσουν πολλές σελίδες από μόνες τους.

Υπάρχουν διάφορα είδη Χρόνου. Για παράδειγμα, υπάρχει ο Φυσικός Χρόνος, ο οποίος νοείται ως ένα από τα τρία θεμελιώδη μεγέθη στη Φυσική, τα άλλα δύο είναι ο Χώρος και η Μάζα. Το είδος του Χρόνου που κυρίως θα μας απασχολήσει σε αυτό το άρθρο είναι ο Ψυχολογικός ή Υπαρξιακός, ας μου επιτραπεί ο όρος, Χρόνος, ο Χρόνος δηλαδή όπως τον αντιλαμβάνεται και τον βιώνει ο Άνθρωπος. 

Ο συγγραφέας στο βιβλίο κάνει αναφορά στην έννοια του χρόνου, είτε άμεση είτε έμμεση, περίπου 80 φορές! Αυτό, πέρα από κάθε αμφιβολία, δείχνει τον τεράστιο ρόλο που διαδραματίζει ο Χρόνος στην Κατάθλιψη. 

«Τα δευτερόλεπτα που πέρασαν μέχρι να πατήσει το κουδούνι τού φάνηκαν αιώνας», αναφέρει σε κάποιο σημείο. «Καθώς περπατούσε αργά, ο χρόνος φαινόταν να είχε σταματήσει», λέει κάπου αλλού. Τα αποσπάσματα αυτά εγείρουν τον εξής προβληματισμό, που συνδέεται με την Κατάθλιψη: Είναι σταθερός ο ρυθμός με τον οποίο κυλάει ο Χρόνος; Είναι ο ρυθμός αυτός ανεξάρτητος από τον ψυχισμό του Ανθρώπου; Στον χώρο των Φυσικών κυκλοφορεί ο εξής αστεϊσμός: «Η ταχύτητα του Χρόνου είναι ένα δευτερόλεπτο ανά δευτερόλεπτο». Η αυτοαναφορά αυτή θέλει να δείξει το αδιέξοδο στην προσπάθεια να ορίσει κανείς το ρυθμό του Χρόνου. Ο Albert Einstein όταν κάποτε του ζητήσανε να εξηγήσει τη σχετικότητα του Χρόνου με απλά λόγια είχε πει: «Αν ακουμπήσεις με το χέρι σου μια αναμμένη σόμπα για ένα λεπτό θα σου φανεί σαν μία ώρα. Αν καθήσεις δίπλα σε μία όμορφη γυναίκα για μία ώρα θα σου φανεί σαν ένα λεπτό». Είναι σαφές ότι η έννοια του Χρόνου δεν είναι οικουμενική. Όλοι έχουμε νιώσει το Χρόνο να κυλάει άλλοτε πιο γρήγορα και άλλοτε πιο αργά. Ο μεγάλος προσωκρατικός φιλόσοφος Πρωταγόρας είχε πει κάποτε τη ρήση: «Πάντων χρημάτων μέτρον άνθρωπος», δηλαδή ο άνθρωπος είναι το μέτρο των πάντων. Άρα και του Χρόνου.

«Πόσο αστεία έννοια ο χρόνος. Αρχίζει με αργά βήματα και στη συνέχεια επιταχύνει. Χάνεται σε στιγμές, ακολουθεί διαφορετικό ρυθμό πότε σε μία περίπτωση και πότε σε άλλη». Είναι διαδεδομένη η πεποίθηση ότι καθώς μεγαλώνουμε, αισθανόμαστε ότι ο χρόνος κυλάει ολοένα και γρηγορότερα. Είναι αυτό πραγματικότητα ή ψευδαίσθηση; Το επόμενο παράδειγμα είναι προς αυτή την κατεύθυνση. 

Είναι το διάστημα μίας ημέρας μεγάλο; Έστω ότι γεννηθήκατε μόλις χθες και άρα η ηλικία σας είναι μίας ημέρας. Την επόμενη μέρα θα έχετε γίνει δύο ημερών, ο συνολικός χρόνος της ζωής σας δηλαδή θα έχει διπλασιαστεί. Όσο είχατε ζήσει μέχρι σήμερα, άλλο τόσο θα έχετε ζήσει μέχρι αύριο! Έστω τώρα ότι είστε 36 ετών. Αυτό χονδρικά ισοδυναμεί με 13140 περίπου μέρες. Αύριο συνεπώς θα είστε 13141 ημέρας, μία αύξηση του χρόνου ζωής σας της τάξεως του 0,008%. Με βάση την ηλικίας σας, που καθορίζει και την εμπειρία σας στη ζωή, στην πρώτη περίπτωση, η διάρκεια μίας μέρας είναι ένα εξαιρετικά μεγάλο χρονικό διάστημα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση, για εσάς τον ίδιο, η διάρκεια μίας μέρας γίνεται ένα εντελώς αμελητέο χρονικό διάστημα. Πράγματι λοιπόν, με αυτόν τον τρόπο φαίνεται σαν ο χρόνος να επιταχύνεται όσο μεγαλώνουμε. 

Στο σημείο αυτό, νιώθω την ανάγκη να διηγηθώ μια προσωπική μου ιστορία από τα παιδικά μου χρόνια. Στην ηλικία περίπου των 6 ετών, αφού δηλαδή άρχισα να αντιλαμβάνομαι την έννοια του χρόνου, είχαμε στο σπίτι μας ένα στερεοφωνικό συγκρότημα, που έπαιζε κασέτες, με μαγνητική ταινία. Θυμάμαι λοιπόν ότι κάθε κασέτα, στο οπισθώφυλλό της είχε συγκεντρωμένους τους τίτλους των τραγουδιών και τη διάρκειά τους. Ένα μέσο κομμάτι είχε διάρκεια περίπου 3 λεπτά, και το χρονικό αυτό διάστημα μου φαινόταν ασύλληπτα μεγάλο. Να ακούσω για ολόκληρα 3 λεπτά ένα τραγούδι... Αδιανόητο! Εγώ, μέσα σε 3 λεπτά θα μπορούσα να αραδιάσω τις μισές από τις λέξεις που γνώριζα. Ο μπαμπάς μου θυμάμαι μου έλεγε τότε με μεγάλη σοφία «είσαι μικρός, γι αυτό σου φαίνεται μεγάλο το τραγούδι»! Πλέον, στα 36 μου, μπορώ και ακούω μεμιάς ολόκληρες συμφωνίες της μίας ώρας και πραγματικά δεν καταλαβαίνω πώς περνάει ο χρόνος.

Σε κάποιο άλλο σημείο ο συγγραφέας αναφέρει: «Τον τρόμαζε η σκέψη ότι κάθε δευτερόλεπτο είναι μοναδικό, κάθε δευτερόλεπτο που περνάει χάνεται στην άβυσσο του παρελθόντος». Γιατί ο Χρόνος κυλάει μόνο προς μία κατεύθυνση; Γιατί δεν μας δίνει τη δυνατότητα να επαναφέρουμε κάποια πράγματα στην προτέρα τους κατάσταση, ώστε να διορθώσουμε κάποια κακώς κείμενα και να βελτιώσουμε τη ζωή μας; Ίσως όμως το σημαντικότερο ερώτημα είναι αν ήταν δυνατή η αντιστροφή του χρόνου, θα μας βοηθούσε να απαλλαγούμε από τα αισθήματα της Κατάθλιψης ή μήπως απεναντίας σε μια αέναη ταλάντωση του χρόνου μία μπρος και μία πίσω η ζωή θα στερούνταν κάθε ψήγμα νοήματος, βυθίζοντάς μας ακόμη βαθύτερα στην Κατάθλιψη;

Αναμφίβολα, ένα μεγάλο ποσοστό του υπαρξιακού μας άγχους προέρχεται από τη γνώση της μοναδικότητας της κάθε στιγμής της ζωής μας. Επίσης, δεν θα ήταν υπερβολή να πούμε ότι όλη η Ηθική μας φιλτράρεται, αν και συνήθως ασυναίσθητα, από αυτή τη συνθήκη της μοναδικότητας. Θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον να σκεφτούμε πόσο διαφορετική θα ήταν η Ηθική μας αν είχαμε δεύτερη ευκαιρία. Και ακόμη μεγαλύτερο ενδιαφέρον ίσως θα είχε να σκεφτούμε την επίδραση που θα είχε στη στάση μας απέναντι στη ζωή μια ενδεχόμενη διηνεκής επανάληψη των αποφάσεων που παίρνουμε και των ενεργειών που κάνουμε στην τρέχουσα ζωή μας. Όλα αυτά τα ζητήματα έχουν ήδη απασχολίσει μερικούς από τους μεγαλύτερους Φιλόσοφους, όπως για παράδειγμα τον Νίτσε και σίγουρα αξίζει να έρθει κανείς σε επαφή με αυτά τα ζητήματα, αλλά και με τις διάφορες θέσεις, είτε συμφωνεί μαζί τους είτε όχι. 

Προσωπικά, τολμώ να πω ότι ο Χρόνος με βασανίζει περισσότερο από οτιδήποτε άλλο στη ζωή μου. Η τρομακτική ιδέα ότι δεν μας δίνεται δεύτερη ευκαιρία και ότι οδεύουμε με ιλλιγιώδη επιτάχυνση πρόσω ολοταχώς προς το Θάνατο, δεν με αφήνει σε ησυχία ούτε μία μέρα.

Υπαρξιακή Απομόνωση 

Εκτός από τον Χρονο όμως με βασανίζει επίσης και η Υπαρξιακή Απομόνωση. Η Υπαρξιακή Απομόνωση μπορεί να αφορά στον άνθρωπο ως άτομο, αλλά μπορεί να αφορά και στο ανθρώπινο είδος στο σύνολό του. Φυσικά και στις δύο περιπτώσεις, ο αποδέκτης των συναισθημάτων της Κατάθλιψης είναι το άτομο.

«Αυτό που μας φοβίζει, αυτό που κυριαρχεί μέσα μας, είναι ο φόβος της ανυπαρξίας», λέει σε κάποιο σημείο ο συγγραφέας. Αν και ταυτίζομαι με αυτή την άποψη, το να ισχυρίζεται κανείς ότι φοβάται την ανυπαρξία μήπως είναι μια εριστική δήλωση, καθώς προϋποθέτει εξ αρχής την παραδοχή της ύπαρξης; Ύπαρξη και ανυπαρξία είναι ένα ζευγάρι αλληλένδετων εννοιών, που η μία επικαθορίζει την άλλη. Έχει νόημα συνεπώς να μιλάμε για την ύπαρξη; «Το σκοτάδι της ύπαρξης απλά έρχεται να συμπληρώσει το σκοτάδι της ανυπαρξίας», αναφέρει εύστοχα σε κάποιο άλλο σημείο, σαν να άκουσε τη σκέψη μου.

Η ιδέα της έλλειψης υπόστασης της ύπαρξης, στα δικά μου αυτιά ακούγεται άκρως τρομακτική. Ασφαλώς η ιδέα αυτή δεν είναι δική μου, έχει προβληματίσει πολλές σπουδαίες προσωπικότητες ανά τους αιώνες. Ο Καρτέσιος για παράδειγμα είχε εισηγηθεί την αρχή της αμφισβήτησης των πάντων. Σύμφωνα με την αρχή αυτή, πρέπει να γίνουμε τόσο αυστηροί, ώστε να μην δεχόμαστε ως αληθή καμία πρόταση, παρά μόνο αν αυτή είναι αυταπόδεικτη. Βασισμένος σε αυτήν την αρχή, με τη βοήθεια κάποιων λογικών επαγωγών, κατέληξε στην περίφημη φράση: «Cogito, ergo sum», δηλαδή «Σκέφτομαι, άρα υπάρχω». Βαθύς υπαρξιακός στοχασμός που επηρέασε την μετέπειτα φιλοσοφία. 

Ας πάμε λοιπόν με το ρεύμα του Καρτέσιου και ας απαντήσουμε στο δίλημμα της ύπαρξης θετικά. Έστω λοιπόν ότι υπάρχουμε! Πού βρίσκεται όμως τότε το σύνορο μεταξύ ύπαρξης και ανυπαρξίας; Είναι ο θάνατος αυτό το σύνορο; Παύει η ύπαρξη μετά το θάνατο; «Μια μέρα όλοι θα πεθάνουμε και μετά από λίγες γενιές δεν θα υπάρχουμε ούτε ως ανάμνηση. Πάντα προσπαθούμε να ανακαλύψουμε τρόπους και σκοπούς, ώστε να δώσουμε λίγο νόημα στη μαύρη κατά τα άλλα ύπαρξη», λέει ο συγγραφέας, βάζοντάς μας να αναρωτηθούμε αν η μνημόνευση ενός ανθρώπου μετά το θάνατό του συνιστά συνέχιση της ύπαρξής του και αν έχει νόημα να παλεύουμε για να κερδίσουμε τη διαιώνιση της ύπαρξής μας μέσω της υστεροφημίας. Δεν τολμώ μάλιστα να αναφερθώ στο ζήτημα της μεταθάνατον ζωής, καθώς το ζήτημα αυτό είναι ένα ξεχωριστό άρθρο από μόνο του. Τα ερωτήματα είναι ατελείωτα και δυστυχώς, στον αγώνα της αναζήτησης απαντήσεων σε όλους αυτούς τους υπαρξιακούς προβληματισμούς, όπως το είχε θέσει και ο Karl Jaspers, είμαστε απολύτως μόνοι μας.

Πέρα όμως από την «ατομική» μας μοναξιά, υπάρχει και η μοναξιά που «νιώθουμε» καθολικά σαν είδος. Ένα είδος που πασχίζει με κάθε τρόπο να παγιώσει την ύπαρξή του στον Χρόνο και τον Χώρο. Στον Χρόνο μέσω, για παράδειγμα, της φυσικής διαδικασίας της αναπαραγωγής καθώς και της παρασκευής φαρμάκων με απώτερο στόχο, ας μην το κρύβουμε, την εύρεση του ελιξιρίου της ζωής. Στον Χώρο μέσω της αποδήμησής του σε κάθε γωνιά του πλανήτη, αλλά πλέον και μέσω της μετοίκισής του σε άλλους πλανήτες. Είναι αυτό όμως αρκετό για να εξασφαλίσει το ανθρώπινο είδος την ύπαρξή του ανεξάρτητα από το Χρόνο και το Χώρο; Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, ίσως πρέπει να ρωτήσουμε τους εξωγήινους... 

Ο μεγάλος φυσικός Enrico Fermi είχε διατυπώσει μία θεωρία, γνωστή και ως «Παράδοξο του Fermi», η οποία ισχυρίζεται ότι υπάρχει αντίφαση στην έλλειψη στοιχείων για εξωγήινη ζωή, δεδομένης της αρκετά μεγάλης πιθανότητας² ύπαρξης τέτοιας ζωής που προκύπτει από εκτιμήσεις με βάση την απεραντοσύνη του σύμπαντος και τον εξαιρετικά μακρύ βίο του, που εκτιμάται στα 14 σχεδόν δισεκατομμύρια έτη. Η πιθανότητα αυτή μάλιστα ενισχύεται χάρις στην ανακάλυψη περιοχών του σύμπαντος που παρουσιάζουν εντυπωσιακή ομοιότητα με το ηλιακό μας σύστημα και τον πλανήτη μας και οι οποίες δυνητικά θα μπορούσαν να φιλοξενήσουν μορφές ζωής σαν τη δική μας. 

Το γεγονός ότι παρόλα αυτά δεν έχουμε ανακαλύψει, αλλά ούτε μας έχει επισκεφτεί εξωγήινη νοήμων ζωή, ίσως δηλώνει τη μοναδικότητά μας (ή μήπως απομόνωση ή μήπως μοναξιά; ρωτώ ρητορικά). Η άποψη αυτή δίνει τροφή στην λεγόμενη Ανθρωπική Αρχή, η οποία χονδρικά ισχυρίζεται ότι το σύμπαν είναι αυτό που είναι ακριβώς για να υπάρχει το ανθρώπινο είδος. Αυτό κατά τη γνώμη μου αποτελεί μια εντελώς ανθρωποκεντρική - εγωκεντρική θεώρηση που προσπαθεί απεγνωσμένα να δώσει νόημα στην ύπαρξή μας μέσω του επιχειρήματος του ευφυούς σχεδιασμού, ενισχύοντας με αυτόν τον τρόπο την πεποίθηση ότι υπάρχει Θεός – Δημιουργός. Με αυτόν τον τρόπο ανασύρει, κάπως αυθαίρετα, τον Άνθρωπο από την ασημαντότητά του και τον τοποθετεί σε περίοπτη θέση, στο κέντρο του Σύμπαντος, ικανοποιώντας με αυτόν τον τρόπο την απαίτηση που πηγάζει από την κοσμολογική θεώρηση του Αριστοτέλη. Η πλειοψηφία των επιστημόνων φυσικά απορρίπτει την Ανθρωπική Αρχή, διότι θεωρεί ότι οι απαντήσεις σε τέτοιου είδους κοσμολογικά ζητήματα εμπίπτουν στη σφαίρα της Επιστήμης και δεν πρέπει να αποτελούν προϊόντα εικοτολογίας. 

Στην πραγματικότητα, το μήνυμα που μας μεταφέρει το Παράδοξο του Fermi αποδεικνύεται δυσοίωνο για τη συνέχιση της ύπαρξής μας, καθώς το σύμπαν με αυτόν τον τρόπο δείχνει να είναι εντελώς αφιλόξενο ως προς τη ζωή και ίσως προμηνύει τον αφανισμό μας, εν είδει άλλων αφανισμών που έχουν συντελεστεί ήδη στο παρελθόν, όπως αυτός των δεινοσαύρων. Κατά μία άποψη, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η εύρεση άλλων ειδών νοήμονος ζωής είναι κρίσιμη για τη διασφάλιση της υψηλής πιθανότητας επιβίωσής μας σας είδος. 

Ακόμη όμως και η ενδεχόμενη συνάντησή μας με κάποιο εξωγήινο είδος είναι αρκετή για να λύσει το πρόβλημα της υπαρξιακής μας απομόνωσης; Ή μήπως στο ευτυχές σενάριο που κανένας από τους δύο πολιτισμούς δεν θα εξολοθρεύσει τον άλλο και υπάρξει αγαστή συνεργασία, το μόνο που θα συμβεί θα είναι να προκύψει ένα νέο υπερείδος νοήμονος ζωής που θα περιλαμβάνει το ανθρώπινο και το εξωγήινο, τα όντα του οποίου θα εξακολουθήσουν να προβληματίζονται για την ύπαρξη. Μήπως δηλαδή πρόκειται απλά για μια αλλαγή κλίμακας; 

Ακόμη κι αν καταφέρουμε να δώσουμε νόημα σε όλα αυτά και κατορθώσουμε να εξασφαλίσουμε πραγματική, διαχρονική υπόσταση στην ύπαρξή μας, πού θα καταλήξουν όλα αυτά μακροσκοπικά; Ποια είναι η μοίρα του Σύμπαντος; Η απάντηση κρύβεται στην Εντροπία και τον 2ο Θερμοδυναμικό Νόμο! Η Εντροπία ενός συστήματος, με όσο το δυνατόν πιο απλά, εκλαϊκευμένα λόγια, είναι το μέτρο της αταξίας που υπάρχει στο σύστημα. Μεγάλη Εντροπία σημαίνει μεγάλη αταξία. Μικρή Εντροπία σημαίνει μικρή αταξία. Στην εφηβική μου ηλικία για παράδειγμα, η Εντροπία του συστήματος που λεγόταν «Δωμάτιό μου» ήταν συνήθως υψηλή και κατάφερνα να τη διατηρώ σε φυσιολογικά επίπεδα μόνο χάρις στην παρέμβαση της μαμάς μου. Ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος λέει ότι η συνολική Εντροπία, ήτοι η αταξία, ενός απομονωμένου συστήματος αυξάνεται γνησίως με τον Χρόνο. 

Στο σημείο αυτό χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή, καθώς πολλοί κάνουν το λάθος να θεωρούν ότι αταξία σημαίνει ανομοιομορφία, ενώ στην πραγματικότητα ισχύει ακριβώς το αντίθετο. Αταξία σημαίνει ομοιομορφία, ομογενοποίηση. Το αγαπημένο μου παράδειγμα, το οποίο ταυτόχρονα εξηγεί με απλό τρόπο και τον 2ο Θερμοδυναμικό Νόμο είναι του μεγάλου θεωρητικού φυσικού και σπουδαίου εκλαϊκευτή της επιστήμης Jim Al-Khalili. Αν πετάξετε έναν κύβο ζάχαρης μέσα σε ένα ποτήρι νερό, η ζάχαρη μέσα σε λίγη ώρα θα διαλυθεί σε όλο τον όγκο του νερού. Το φαινόμενο αυτό θα συμβαίνει κάθε φορά που επαναλαμβάνετε αυτή τη διαδικασία. Ποτέ δεν θα δείτε τα μόρια της ζάχαρης να συγκεντρώνονται σε ένα σημείο και να ξαναδημιουργούν τον αρχικό κύβο³. Στην αρχή του φαινομένου λοιπόν υπάρχει κάποια ανομοιομορφία, ο όγκος του νερού και το συσσωμάτωμα της ζάχαρης, που δηλώνει μια τάξη η οποία έπειτα από λίγη ώρα καταλήγει στην ομοιόμορφη κατανομή της ζάχαρης στο ποτήρι, που αντιστοιχεί στην απόλυτη αταξία και άρα ομογενοποίηση. 

Ποια είναι η σχέση όμως όλων αυτών με την Κατάθλιψη; Ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος είναι παγκόσμιος, πράγμα που σημαίνει ότι εφαρμόζεται και στο σύμπαν ως ολότητα, ως ένα ενιαίο σύστημα. Η εφαρμογή του λοιπόν στο σύμπαν ουσιαστικά εισηγείται ότι αυτό κάποια στιγμή, νομοτελειακά, θα περιέλθει σε μία κατάσταση στην οποία, λόγω της απόλυτης ομογενοποίησης, θα είναι αδύνατο να ξεχωρίζει οποιαδήποτε μορφή δομής ή πληροφορίας. Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή και ως θερμικός θάνατος του σύμπαντος. Σε ένα τέτοιο περιβάλλον παύει να έχει νόημα οποιαδήποτε έννοια ύπαρξης του ανθρώπινου, αλλά και οποιουδήποτε άλλου είδους. 

Ακόμη κι αν λοιπόν με κάποιον τρόπο εξασφαλίσουμε την αθανασία μας και φυσικά καταφέρουμε να ξεπεράσουμε την επικείμενη καταστροφή του πλανήτη και του ηλιακού μας συστήματος, από φυσικής απόψεως, το ίδιο το σύμπαν από ότι φαίνεται έχει ημερομηνία λήξης, συνεπώς μαζί με αυτό θα εξαφανιστεί και το τελευταίο ίχνος της ανθρώπινης ύπαρξης. Όπως το είχε θέσει προφητικά ο Albert Camus, η ζωή μας δεν έχει κανένα νόημα, καθώς ακόμη κι αν νομίζουμε ότι έχει, το σύμπαν στο οποίο ζούμε δεν έχει κανένα απολύτως σκοπό και είναι σαφές ότι η ύπαρξή μας εξαρτάται απόλυτα από την ύπαρξη του σύμπαντος. Για όσους πρόλαβαν να σκεφτούν «μα καλά, αυτό είναι πολύ μακρινό, θα συμβεί μάλλον μετά από δισεκατομμύρια χρόνια, οπότε δεν με αφορά» θυμίζω τη σχετικότητα του Ψυχολογικού Χρόνου που αναφέρθηκε στην αρχή. Με βάση τη σχετικιστική αυτή προσέγγιση, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα οι έννοιες μικρό και μεγάλο χάνουν κάθε νόημα. Σε κάθε περίπτωση όμως, με την παραπάνω εσχατολογική προσέγγιση εξετάζουμε τη μοίρα του ανθρώπου ως είδος και όχι ως άτομο.

Δεν χρειάζεται όμως να πάμε μακριά. Η εντροπία και ο 2ος Θερμοδυναμικός Νόμος εφαρμόζονται και στις ανθρώπινες κοινωνίες οι οποίες τείνουν με γοργούς ρυθμούς στην αταξία, η οποία σε αυτήν την περίπτωση μεταφράζεται στην πλήρη αποσύνθεση. Το ίδιο συμβαίνει και με τα ανθρώπινα ήθη και αξίες που «διαστέλλονται» με ξέφρενο ρυθμό, παρασύροντας μαζί τους το άτομο, το οποίο αδυνατώντας να ακολουθήσει αυτό το ρυθμό οδηγείται στην απώλεια της υπαρξιακής του ταυτότητας. 

Η απώλεια της υπαρξιακής ταυτότητας του ατόμου όμως, συμβαίνει και σε Οντολογικό επίπεδο. «Φοβάμαι το θάνατο. Όχι μόνο τον τελικό, αλλά και αυτούς που συμβαίνουν στη διάρκεια της ζωής μας» Αυτή η φράση, όπως εξηγεί ο συγγραφέας στη συνέχεια του βιβλίου, αναφέρεται στις ζωντανές απώλειες που έχουμε κατά τη διάρκεια της ζωής μας, όπως για παράδειγμα όταν δικοί μας άνθρωποι μας εγκαταλείπουν. Πηγαίνοντας όμως ένα βήμα παραπέρα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι κάθε χρονική στιγμή συντελείται ένας θάνατος του εαυτού μας, αφού κάθε στιγμή ένα μέρος μας (ή μήπως το σύνολό μας;) πεθαίνει στην κυριολεξία και ένα καινούργιο αναγεννάται, διαρρηγνύοντας τη συνέχεια της ταυτότητάς μας. Η άποψη αυτή έρχεται αναμφίβολα να κλονίσει τα θεμέλια της ύπαρξής μας. Ο 36χρονος Τάσος, που ακούει τις συμφωνίες, είναι το ίδιο πρόσωπο με τον 6χρονο Τάσο, που διάβαζε τα οπισθόφυλλα των κασετών; Τόσο ως προς το σώμα, όσο και ως προς το πνεύμα; 

Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή και ως «Το Παράδοξο της Ταυτότητας». Σύμφωνα με την αρχική εκδοχή αυτού του παραδόξου που οφείλεται στον Πλούταρχο, οι Αθηναίοι συντηρούσαν το πλοίο του Θησέα για πολλά χρόνια. Κάθε φορά που σάπιζε μια σανίδα την άλλαζαν αμέσως. Στο τέλος, μετά από χρόνια, το πλοίο έφτασε να αποτελείται από εντελώς διαφορετικά κομμάτια προκαλώντας το εξής δίλημμα: Ταυτίζεται το τελικό πλοίο με το πρωτότυπο ή όχι; Το παράδοξο αυτό έχει τα ερείσματά του στο προγενέστερο απόφθεγμα του Ηράκλειτου «Κανείς δεν μπορεί να μπει στο ίδιο ποτάμι δύο φορές».

Η εφαρμογή του παραδόξου της ταυτότητας στον άνθρωπο τονίζει την αποδόμηση του ίδιου σε συστατικά στοιχεία, προβάλλοντας μια νέα διάσταση της υπαρξιακής του απομόνωσης, στην οποία το κάθε του κύτταρο έχει τη δική του, ανεξάρτητη, υπόσταση. 

Από τα παραπάνω, διαπιστώνουμε ότι, ύπο μία έννοια, η απομόνωση λαμβάνει χώρα κατά μήκος όλης της κλίμακας της ύπαρξης, από τα άτομα ως το ίδιο το σύμπαν, καθιστώντας την Κατάθλιψη πανταχού παρούσα.

Σύνοψη

Από τα προηγούμενα ίσως φαίνεται σαν να ανέλυσα το «μανιφέστο της Κατάθλιψης της επιστημονικής γνώσης». Όσο περισσότερα γνωρίζουμε τόσο περισσότερο υπαρξιακό άγχος και φόβο φαίνεται να εκδηλώνουμε. Συνεπώς, κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι η πνευματική ολιγάρκεια ίσως είναι ο δρόμος που πρέπει να ακολουθήσουμε για να απαγκιστρωθούμε από την Κατάθλιψη και να φτάσουμε σε υψηλότερα επίπεδα ευτυχίας. Η αναφορά του συγγραφέα στην ευτυχία ενός σκύλου που αρκείται σε ένα απλό χάδι, χωρίς να τον απασχολούν οποιοιδήποτε φιλοσοφικοί προβληματισμοί, θίγει ακριβώς αυτό το σημείο. Θέλουμε όμως οι Άνθρωποι κάτι τέτοιο; Κατά τη γνώμη μου, δεν πρόκειται για ζήτημα επιλογής. Είτε το θέλουμε είτε όχι, «ο Άνθρωπος είναι καταδικασμένος να σκέφτεται, γι αυτό και δεν θα βρει ποτέ λύση στα προβλήματα της ύπαρξης», για να χρησιμοποιήσω τα λόγια του συγγραφέα. 

Το ζητούμενο λοιπόν είναι να πάψουμε να γυρίζουμε την πλάτη στην πραγματικότητα, να τολμήσουμε να την κοιτάξουμε κατάματα και να την αντιμετωπίσουμε κατά μέτωπον. Οι προηγούμενοι, αλλά και άλλοι, υπαρξιακοί προβληματισμοί μας αφορούν όλους. Απλώς, μερικοί άνθρωποι, κάποια στιγμή σε κάποια περίοδο της ζωής τους εκδηλώνουν μεγαλύτερη ευαισθησία μπροστά σε αυτούς, με αποτέλεσμα να γίνονται πιο ευάλωτοι στα σκοτεινά μηνύματα που μεταφέρουν οι προβληματισμοί αυτοί. Είναι σημαντικό απέναντι στους ανθρώπους αυτούς να εκδηλώνουμε μια υποτυπώδη ενσυναίσθηση και κάνοντας χρήση της έμφυτης συλλογικότητας του αγελαίου είδους που λέγεται Άνθρωπος να τους στηρίζουμε.

Επίλογος 

Ταξιδεύουμε με το διαστημόπλοιο «Γη» στην άκρη ενός γαλαξία, σε κάποια ασήμαντη γωνιά του αχανούς σύμπαντος, με ένα προσδόκιμο ζωής γύρω στα 70 έτη, με την αντίληψή μας περιορισμένη στις 3 χωρικές συν τη 1 χρονική διάσταση, απομονωμένοι από οποιαδήποτε πιθανότητα ύπαρξης έταιρης νοήμονος ζωής. Αυτό αφενός μεν δείχνει τη μικρότητά μας, αφετέρου δε, σε μία ορθή ερμηνεία-ανάγνωση της Ανθρωπικής Αρχής, μας θυμίζει τη σπουδαιότητά μας, καθώς, αν και εντελώς συμπτωματικά, είμαστε εφοδιασμένοι με τα μοναδικά προνόμια της σκέψης και της νόησης. Τα προνόμια αυτά μας δίνουν την ικανότητα να δημιουργούμε φαντασιακές πραγματικότητες. Η ικανότητα αυτή μετατρέπεται στη δυνατότητα να κάνουμε όνειρα και το σημαντικότερο, να τα μοιραζόμαστε με άλλους ανθρώπους. Για να κλείσω με τα λόγια του συγγραφέα: «Μόνο τα όνειρα μας επιτρέπουν να στεκόμαστε και να βλέπουμε τον κόσμο γύρω μας πιο όμορφο από ότι πραγματικά είναι».

¹Η παρουσίαση πραγματοποιήθηκε διαδικτυακά την Τετάρτη 25 Νοεμβρίου 2020. Το βίντεο της παρουσίασης βρίσκεται στον παρακάτω σύνδεσμο:

https://youtu.be/fECP8LP1tqc

 

²Έχει γίνει μάλιστα προσπάθεια η πιθανότητα ύπαρξης εξωγήινης νοήμονος ζωής να ποσοτικοποιηθεί. Παράδειγμα αποτελεί η εξίσωση του Drake.

³Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι το γεγονός ότι η πιθανότητα τα μόρια της ζάχαρης να καταλάβουν όλο τον όγκο του νερού είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από την πιθανότητα να καταλάβουν μία μόνο μικρή περιοχή του ποτηριού, όπου στον υπολογισμό των πιθανοτήτων αυτών λαμβάνουμε υπόψιν και την ενεργειακή κατάσταση του συστήματος. 

Το οικοδόμημα των Μαθηματικών

Μόλις έχετε επιστρέψει από τον πρωινό σας περίπατο και ετοιμάζεστε να ανοίξετε την πόρτα του σπιτιού σας. Βάζετε το χέρι στην τσέπη και συνειδητοποιείτε ότι έχετε χάσει τα κλειδιά σας. Ρίχνετε ενστικτωδώς μια ματιά τριγύρω με την ελπίδα να έχουν πέσει κάπου κοντά. Μάταια! Για καλή σας τύχη, ένας γείτονας που παρακολουθεί τη σκηνή και έχει αντιληφθεί τι συμβαίνει, πλησιάζει και σας λέει ότι πριν λίγο είδε έναν κύριο να σκύβει και να παίρνει κάτι κλειδιά πεσμένα στο δρόμο και έπειτα να μπαίνει στην απέναντι πολυκατοικία. Προφανώς πρόκειται για ένοικο της πολυκατοικίας, ο οποίος τα μάζεψε από κάτω με πρόθεση να τα επιστρέψει σε αυτόν που θα τα αναζητήσει. Δυστυχώς όμως, ο γείτονας δεν γνωρίζει σε ποιον όροφο μένει ο ένοικος. Τι θα κάνατε;

Αφού φυσικά ευχαριστούσατε το γείτονα για τη χρήσιμη πληροφόρηση, θα πηγαίνατε στην απέναντι πολυκατοικία και θα επισκεπτόσασταν ένα-ένα τα διαμερίσματα για να πάρετε πίσω τα κλειδιά σας. Με ποια σειρά όμως θα επισκεπτόσασταν τα διαμερίσματα; Δεν νομίζω να υπάρχει αμφιβολία ότι θα ξεκινούσατε από τον πρώτο όροφο, αν δεν τα βρίσκατε θα ανεβαίνατε στο δεύτερο όροφο, κ.ο.κ.

Φανταστείτε τώρα ότι είστε μαθητής της γ' Λυκείου και σας δίνουν μία άσκηση μαθηματικών την οποία σας ζητούν να λύσετε. Όλα τα προηγούμενα χρόνια, έχετε εφοδιάσει τη μαθηματική φαρέτρα σας με μία μεγάλη γκάμα από εργαλεία, τα οποία έχετε στη διάθεσή σας να τα χρησιμοποιήσετε για να λύσετε την άσκηση. Κάποια από αυτά τα εργαλεία είναι απλά, ενώ κάποια άλλα περισσότερο περίπλοκα και έχουν προκύψει ως συνδυασμός πρότερης γνώσης. Ποια εργαλεία θα δοκιμάζατε να χρησιμοποιήσετε πρώτα; 

Πριν απαντήσουμε, ας ανοίξουμε μια παρένθεση. Τα μαθηματικά, από πολλούς παρομοιάζονται με ένα οικοδόμημα. Στη βάση του βρίσκονται τα αξιώματα και επάνω σε αυτά χτίζεται όλη η μαθηματική γνώση. Στα θεμέλια δηλαδή βρίσκονται απλές μαθηματικές έννοιες οι οποίες καθώς ανεβαίνουμε «ορόφους» γίνονται ολοένα και πιο σύνθετες. Έτσι, για παράδειγμα, είναι αδύνατο να γνωρίζεις Διαφορικό Λογισμό αν δεν έχεις πρωτίστως διδαχθεί Συναρτήσεις, όπως με τον ίδιο ακριβώς τρόπο είναι αδύνατο να χτίσεις το δεύτερο όροφο αν προηγουμένως δεν έχεις χτίσει τον πρώτο.

Αν και για την οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης αυτή η σειρά είναι εμφανής, για κάποιο λόγο, όταν πρόκειται για τη χρήση αυτής της γνώσης, τα πράγματα φαίνεται να μπερδεύονται. Είναι γενική διαπίστωση ότι οι μαθητές, όσο αναπτύσσουν τις ικανότητές τους και όσο εμπλουτίζουν τις γνώσεις τους στα μαθηματικά, ανεβάζοντας το επίπεδο των εργαλείων τους, τόσο απομακρύνονται από τη στοιχειώδη γνώση, με αποτέλεσμα κάποιες φορές να δυσκολεύονται ή ακόμη και να μην καταφέρνουν να λύσουν προβλήματα για την αντιμετώπιση των οποίων αρκεί μια απλοϊκή προσέγγιση. Στην αναζήτηση του κλειδιού της πόρτας μας, ξεκινάμε από τον πρώτο όροφο και συνεχίζουμε για όσο χρειαστεί προς τα πάνω. Γιατί λοιπόν δεν κάνουμε το ίδιο και όταν επισκεπτόμαστε το μαθηματικό οικοδόμημα προς αναζήτηση του «κλειδιού» για τη λύση της άσκησης;

Παρακάτω ακολουθεί ένα παράδειγμα το οποίο ακριβώς δείχνει ότι για να βρεις το κλειδί για τη λύση μιας άσκησης, καλό είναι προτού ανέβεις στο δεύτερο όροφο να περάσεις πρώτα μια βόλτα από τον πρώτο.

Να βρεθούν, αν υπάρχουν, όλες οι ακέραιες λύσεις $x$ της επόμενης εξίσωσης δευτέρου βαθμού.

$$\alpha x^2+(\alpha +1)x+1=0$$

όπου ο $\alpha$ είναι ακέραιος αριθμός.

Δεύτερος όροφος:

Στο άκουσμα της έκφρασης "εξίσωση δευτέρου βαθμού" η «μηχανή αναζήτησης» του εγκεφάλου μας αυτόματα ανασύρει από τη μνήμη μας λέξεις κλειδιά όπως "τριώνυμο" και "διακρίνουσα" και ομολογουμένως είναι πολύ δύσκολο να αντισταθεί κανείς στον πειρασμό να προσπαθήσει να λύσει την εξίσωση κάνοντας χρήση των γνωστών τύπων για την επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Ακολουθώντας αυτή την προσέγγιση θα έχουμε:

$$\mathrm{\Delta }=(\alpha +1{)}^2-4\alpha ={\alpha }^2+2\alpha +1-4\alpha =(\alpha -1{)}^2$$

$$x_{1,2}=\frac{-(\alpha +1)\pm \sqrt{(\alpha -1{)}^2}}{2\alpha }=\frac{-\alpha -1\pm |\alpha -1|}{2\alpha }$$

Λόγω της εμφάνισης της απόλυτης τιμής, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις για την τιμή του $\alpha$:

$\alpha \ge 1:$

$$x_1=\frac{-\alpha -1+(\alpha -1)}{2\alpha }=-\frac{1}{\alpha }$$

$$x_2=\frac{-\alpha -1-(\alpha -1)}{2\alpha }=-1$$

Από την πρώτη λύση $x_1$, προκύπτει ότι για να έχουμε ακέραια λύση, πρέπει ο αριθμός $-\frac{1}{\alpha }$ να είναι ακέραιος. Αυτό όμως μπορεί να συμβεί μόνο όταν ο παρονομαστής διαιρεί τον αριθμητή, όταν δηλαδή ο $\alpha$ διαιρεί τη μονάδα. Οι μόνοι διαιρέτες όμως της μονάδας είναι το 1 και το -1. Συνεπως, θα πρέπει να ισχύει ότι $\alpha =1$ ή $\alpha =-1$. Επειδή όμως έχουμε υποθέσει ότι $\alpha \ge 1$, η μόνη αποδεκτή περίπτωση είναι $\alpha =1$. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει την ακέραια λύση $x=-1$.

Από τη δεύτερη λύση $x_2$, προκύπτει ότι γενικά η εξίσωση εχει την ακέραια λύση $x=-1$, για κάθε τιμή του $\alpha$ μεγαλύτερη ή ίση του 1.

$\alpha <1:$

$$x_3=\frac{-\alpha -1+(1-\alpha )}{2\alpha }=-\frac{1}{\alpha }$$

$$x_4=\frac{-\alpha -1-(1-\alpha )}{2\alpha }=-1$$

Από την τρίτη λύση $x_3$, προκύπτει όπως και παραπάνω, ότι για να έχουμε ακέραια λύση, πρέπει $\alpha =1$ ή $\alpha =-1$. Επειδή όμως αυτή τη φορά έχουμε υποθέσει ότι $\alpha <1$, η μόνη αποδεκτή περίπτωση είναι $\alpha =-1$. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει την ακέραια λύση $x=1$. 

Από την τέταρτη λύση $x_4$, προκύπτει ότι γενικά το πρόβλημα έχει την ακέραια λύση $x=-1$, για κάθε τιμή του $\alpha$ μικρότερη του 1.

Συνοψίζοντας, η εξίσωση έχει για κάθε τιμή του $\alpha$ την ακέραια λύση $x=-1$ και στην ειδική περίπτωση που $\alpha =-1$, έχει και μια δεύτερη ακέραια λύση $x=1$.

Πρώτος όροφος:

Η εξίσωση μπορεί να είναι δευτέρου βαθμού, όμως τα εργαλεία που μας αρκούν είναι πρώτου ορόφου... Στη λύση της εξίσωσης μπορούμε να φτάσουμε ακολουθώντας μια πιο απλή, λιτή και κομψή προσέγγιση, που δεν απαιτεί καμία γνώση επίλυσης τριωνύμου, παρά μόνο τη θεμελιώδη έννοια της διαιρετότητας.

Έστω ότι η δοσμένη εξίσωση έχει ακέραια λύση $x=\rho$. Τότε, θα ισχύει 

$$\alpha {\rho }^2+(\alpha +1)\rho +1=0\iff \rho (\alpha \rho +\alpha +1)=-1\iff \alpha \rho +\alpha +1=-\frac{1}{\rho }.$$

Επειδή όμως το αριστερό μέλος είναι ακέραιος αριθμός, ως άθροισμα ακεραίων, το ίδιο πρέπει να συμβαίνει και με το δεξί μέλος. Πρέπει δηλαδή $-\frac{1}{\rho }$ ακέραιος. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο όταν το $\rho$ διαιρεί το -1, οπότε $\rho =-1$ ή $\rho =1$. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση $x=-1$, έχουμε $\alpha -(\alpha +1)+1=0$ που ισχύει ταυτοτικά. Άρα το $x=-1$ είναι ακέραια λύση. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση $x=1$, έχουμε $\alpha +(\alpha +1)+1=0\iff \alpha =-1$. Στην ειδική περίπτωση δηλαδή που $\alpha =-1$, έχουμε και δεύτερη ακέραια λύση την $x=1$, όπως ακριβώς αποδείξαμε και προηγουμένως.

Το παραπάνω αποτελεί σαφές παράδειγμα που δικαιώνει την «from bottom to top» στρατηγική που εκθέσαμε προηγουμένως. Την επόμενη φορά που θα χρειαστεί να ανεβείτε στο δεύτερο όροφο, ρίξτε μια ματιά και στον πρώτο, μπορεί να βρείτε εκεί αυτό που ψάχνετε. Εκτός αν το κτήριο διαθέτει ασανσέρ...

Το ματ της ασφυξίας

Κάποια στιγμή, στην προσπάθειά μου να συλλέξω διδακτικές σημειώσεις με θέμα «Εικόνες ματ», ανακάλυψα ότι εκτός από το γνωστό, τουλάχιστον στους σκακιστές, «Ματ του αποπνιγμού» (Smothered mate) υπάρχει και το «Ματ της ασφυξίας» (Suffocation mate). Και στις δύο περιπτώσεις, το ματ δίνεται από τον Ίππο. Η διαφορά είναι η εξής: 

α) Στο ματ του αποπνιγμού ο αντίπαλος Βασιλιάς δεν μπορεί να ξεφύγει από το σαχ του Ίππου, επειδή όλα τα τετράγωνα διαφυγής είναι κατειλημμένα από κομάτια της δικής του παράταξης.

β) Στο ματ της ασφυξίας, υπάρχουν ελεύθερα τετράγωνα γύρω από τον αντίπαλο Βασιλιά, τα οποία ωστόσο στερεί ελέγχοντάς τα ο Αξιωματικός της παράταξης που δίνει το ματ.

Ένα τέτοιο ματ είχα την ευκαιρία να πραγματοποιήσω πρόσφατα σε μια παρτίδα-μινιατούρα στο διαδίκτυο. Παίζω με τα λευκά.

Sicilian Defence, Najdorf Variation

1. e4 c5, 2. Nf3 d6, 3. d4 cxd4,  4. Nxd4 Nf6, 5. Nc3 a6, 6. h3 

Μια βαριάντα της Najdorf με την οποία μου αρέσει τελευταία να πειραματίζομαι.

6...Qc7, 7. Be3 Nc6, 8. Qd2 e6, 9. O-O-O b5

Θεματική κίνηση με στόχο την άμεση αντεπίθεση των μαύρων κομματιών επάνω στο λευκό Βασιλιά.

10. f3 

Ενδιαφέρον έχει και το 10. Nxc6 Qxc6, 11. e5 b4, 12. exf6 bxc3, 13. Qxc3 Qxc3, 14. bxc3 gxf6, 15. Kd2 με αμφίρροπο παιχνίδι στο οποίο τα λευκά στέκονται ίσως λίγο καλύτερα.

10...Be7, 11. Bxb5!? 

Μια θυσία που βάζει σε μπελάδες τα μαύρα, τα οποία πρέπει να παίξουν πολύ προσεκτικά αν θέλουν να εκμεταλλευτούν το επιπλέον ελαφρύ κομμάτι που διαθέτουν.

11...axb5, 12. Ndxb5 Qa5?, 13. Nxd6 

Τα μαύρα παίζουν ήδη την πρώτη ανακρίβεια. Η Βασίλισσα έπρεπε οπωσδήποτε να κρατήσει επαφή με το τετράγωνο d6, για παράδειγμα με 12...Qb8.

13...Bxd6?, 14. Qxd6 

Το πάρσιμο του Ίππου είναι σφάλμα που δίνει προβάδισμα στα λευκά. Η σωστή κίνηση για τα μαύρα θα ήταν 13...Kf8!, θυσιάζοντας το δικαίωμα του ροκέ για να κρατήσουν την ισορροπία στην παρτίδα.

14...Bd7, 15. Bc5 

Η πίεση γύρω από το μαύρο Βασιλιά αρχίζει να γίνεται... ασφυκτική.

15...Qd8?? 

Μεγάλο λάθος που οδηγεί σε άμεση ήττα. Έπρεπε να παιχτεί το δύσκολο O-O-O. Στην περίπτωση αυτή τα λευκά θα ήταν και πάλι καλύτερα, όμως η παρτίδα θα είχε ίσως δρόμο ακόμη.

16. Nb5 Rc8?

Τα λευκά απειλούν να δώσουν φορσέ ματ στο μαύρο Βασιλιά που ασφυκτιά στο κέντρο της σκακιέρας, όμως αυτό διέφυγε της προσοχής των μαύρων. Για να αποφύγουν το ματ, τα μαύρα έπρεπε να προσφέρουν «οξυγόνο» στον Βασιλιά τους μετακινώντας την Βασίλισσα στο b8. 

17. Qf8!! 

Θεαματική θυσία της Βασίλισσας με στόχο να απελευθερωθεί το τετράγωνο d6 για τον Ίππο και να καθοδηγηθεί ο μαύρος Πύργος δίπλα στον αφέντη του!

17...Rxf8, 18. Nd6+ 

Ο Βασιλιάς είναι εγκλωβισμένος από τα ίδια του τα κομμάτια και όλες του οι κινήσεις είναι φορσέ.

18...Ke7, 19. Nf5+ 

Διπλό σαχ που δεν αφήνει κανένα περιθώριο. Ο Βασιλιάς επιστρέφει στην αρχική του θέση.

19...Kd8, 20. Nxg7#

Μία Βασίλισσα, δύο Πύργοι, δύο Ίπποι, ένας Αξιωματικός και μερικά πιόνια είναι ανίκανα να σώσουν τον Βασιλιά τους! Η άψογη συνεργασία Ίππου - Αξιωματικού κατέληξε σε μια πανέμορφη εικόνα ματ της ασφυξίας. 

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Επιμύθιο)

Οι τρεις προηγούμενες ιστοριούλες έχουν κάτι κοινό μεταξύ τους. Και στις τρεις, ο φανερός πρωταγωνιστής είναι ο Α και ο κρυφός πρωταγωνιστής ο αδερφός του! Εκτός από αυτό το στοιχείο της πλοκής όμως οι τρεις ιστορίες έχουν κοινό κι ένα ενδιαφέρον μαθηματικό στοιχείο. Ο Α βρέθηκε αντιμέτωπος με τρία διαφορετικά διλήμματα και σε όλα, όπως θα δούμε, ακολούθησε τη λάθος στρατηγική! Ήταν όμως πράγματι διαφορετικά μεταξύ τους τα τρία διλήμματα; Για να το διαπιστώσουμε, θα πρέπει πρώτα να εξετάσουμε το καθένα χωριστά. 

Το δίλημμα της κατσίκας

Σε μία παλαιότερη ανάρτησή μου με τίτλο "με τη χρήση μαθηματικού φορμαλισμού, παρουσιάζεται η αυστηρή απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, την οποία μπορεί να βρει κανείς σε διδακτικά συγγράμματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων [1]. 

Με δεδομένο ότι ο κύριος Α έχει επιλέξει την πόρτα Α, θεωρούμε τα εξής γεγονότα:

$W_i$ είναι το γεγονός πίσω από την πόρτα $i$ να βρίσκεται το έπαθλο, όπου $i\in \{A,B,\mathrm{\Gamma }\}$.

$R_j$ είναι το γεγονός να αποκαλυφθεί το περιεχόμενο που βρίσκεται πίσω από την πόρτα $j$, όπου $j\in \{A,B,\mathrm{\Gamma }\}$.

Σχετικά εύκολα προκύπτουν οι τιμές για τις διάφορες δεσμευμένες πιθανότητες $P(R_j|W_i),i,j\in \{A,B,\mathrm{\Gamma }\}$, που εκφράζουν την πιθανότητα ο παρουσιαστής να αποκαλύψει το περιεχόμενο της πόρτας $j$, δεδομένου ότι το έπαθλο βρίσκεται πίσω από την πόρτα $i$. Οι τιμές αυτές βρίσκονται συγκεντρωμένες στον 

Πίνακας 1

Επιπλέον, προφανώς ισχύει:

$$P(W_A)=P(W_B)=P(W_{\mathrm{\Gamma }})=\frac{1}{3}.$$

Εμείς, στο πρόβλημά μας θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίζει η πόρτα Α, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β. Δηλαδή, μας ενδιαφέρει η ποσότητα $P(W_A|R_B)$. Κάνοντας χρήση του Θεωρήματος του Bayes¹

$$P(W_A|R_B)=\frac{P(R_B|W_A)\cdot P(W_A)}{P(R_B|W_A)\cdot P(W_A)+P(R_B|W_B)\cdot P(W_B)+P(R_B|W_{\mathrm{\Gamma }})\cdot P(W_{\mathrm{\Gamma }})}.$$

Αντικαθιστώντας τις τιμές από τον

$$P(W_A|R_B)=\frac{1}{3},$$ 

δηλαδή ότι η πιθανότητα παραμένει ίση με την αρχική. Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε ότι η πιθανότητα να βρίσκεται το έπαθλο στην πόρτα Γ, δεδομένου ότι ο παρουσιαστής έχει ανοίξει την πόρτα Β, ισούται με

$$P(W_{\mathrm{\Gamma }}|R_B)=\frac{P(R_B|W_{\mathrm{\Gamma }})\cdot P(W_{\mathrm{\Gamma }})}{P(R_B|W_{\mathrm{\Gamma }})\cdot P(W_{\mathrm{\Gamma }})+P(R_B|W_A)\cdot P(W_A)+P(R_B|W_B)\cdot P(W_B)},$$

που μετά τις αντικαταστάσεις καταλήγει στη σχέση 

$$P(W_{\mathrm{\Gamma }}|R_B)=\frac{2}{3}.$$ 

Φυσικά στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε και αν χρησιμοποιούσαμε την προφανή σχέση 

$$P(W_A|R_B)+P(W_B|R_B)+P(W_{\mathrm{\Gamma }}|R_B)=1\iff P(W_{\mathrm{\Gamma }}|R_B)=1-P(W_A|{{\rm P}}_{{\rm B}}),$$

αφού προφανώς ισχύει $P(W_B|R_B)=0$. Συνεπώς, η πιθανότητα να κερδίσουμε το έπαθλο αν αλλάξουμε πόρτα μετατρέπεται από $\frac{1}{3}$ σε $\frac{2}{3}$, δηλαδή διπλασιάζεται!

Το δίλημμα του κατάδικου

Κάνοντας τις αντιστοιχίες

αποφυλακισθείς $\leftrightarrow$ κατσίκα 

κατάδικος $\leftrightarrow$ έπαθλο

εύκολα διαπιστώνουμε ότι το δίλημμα του κατάδικου στην ουσία ταυτίζεται με το δίλημμα της κατσίκας, με δύο όμως σημαντικές διαφορές: 

α) Στο δίλημμα της κατσίκας, το επιθυμητό ενδεχόμενο είναι ένα, ενώ στο δίλημμα του κατάδικου τα επιθυμητά ενδεχόμενα είναι δύο

β) Ενώ στο δίλημμα της κατσίκας έχουμε τη δυνατότητα να αλλάξουμε επιλογή, στην περίπτωση του κατάδικου, η αρχική μας επιλογή, ότι δηλαδή είμαστε ο εαυτός μας, παραμένει αναγκαστικά και η τελική μας επιλογή...

Κάνοντας χρήση ακριβώς των ίδιων μαθηματικών σχέσεων, όπως παραπάνω, καταλήγουμε στο ότι:

$P(W_A|R_B)=\frac{1}{3}$ και $P(W_{\mathrm{\Gamma }}|R_B)=\frac{2}{3}$,

όπου αυτή τη φορά χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς:

$W_i$ είναι το γεγονός να

$R_j$ είναι το γεγονός ο φρουρός να ανακοινώσει το όνομα του κατάδικου $j$, όπου $j\in \{A,B,\mathrm{\Gamma }\}$.

Οι τελικές σχέσεις εκφράζουν ότι η πιθανότητα να μην αποφυλακιστεί ο Α, δεδομένου ότι ο φρουρός αποκάλυψε το όνομα του Β, εξακολουθεί να είναι $\frac{1}{3}$, όσο δηλαδή και στην αρχή. Ισοδύναμα, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί παραμένει $\frac{2}{3}$. Με άλλα λόγια, η πληροφορία ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, αντίθετα με αυτό που πίστευε ο Α, δεν επηρεάζει την πιθανότητα του ίδιου να αποφυλακιστεί. Πράγμα, αυτή τη φορά, μάλλον αναμενόμενο! 

Αντίστοιχα, ισχύει ότι από τη στιγμή που αποκαλύπτει ο φρουρός στον Α ότι ο κατάδικος Β θα αποφυλακιστεί, η πιθανότητα να αποφυλακιστεί ο κατάδικος Γ μειώνεται σε $\frac{1}{3}$. Αυτό το αποτέλεσμα είναι αδιαμφισβήτητα εντυπωσιακό! Κάτι παρόμοιο συμβαίνει άλλωστε και στο δίλημμα της κατσίκας, στο οποίο μετά την αποκάλυψη της μίας κατσίκας πίσω από την πόρτα Β, η πιθανότητα στην πόρτα Γ να βρίσκεται επίσης κατσίκα μειώνεται σε $\frac{1}{3}$, στο μισό δηλαδή της αρχικής που ήταν $\frac{2}{3}$. Γι αυτό άλλωστε και συμφέρει η αλλαγή της πόρτας!

Το δίλημμα του φύλου

Μέχρι στιγμής, όπως είδαμε, τα δύο πρώτα διλήμματα ουσιαστικά ταυτίζονται. Τι σχέση όμως έχει με αυτά το τρίτο δίλημμα; Ήδη μια εμφανής διαφορά είναι ότι ενώ στα δύο πρώτα διλήμματα τα εμπλεκόμενα μέρη είναι τρία - δύο κατσίκες και ένα έπαθλο στο πρώτο, δύο αποφυλακισθέντες και ένας κατάδικος στο δεύτερο - στο τρίτο δίλημμα είναι δύο, τα δυο παιδιά. Κι όμως, όπως θα διαπιστώσουμε σύντομα και το τρίτο δίλημμα, υπό μία ευρεία έννοια, ταυτίζεται με τα άλλα δύο!

Αρχικά, εφόσον τα δύο πρώτα διλήμματα ταυτίζονται, αρκεί να μελετήσουμε τη σχέση του διλήμματος του φύλου με ένα από τα δύο. Χωρίς καμιά ιδιαίτερη προτίμηση, ας το κάνουμε αυτό με τη βοήθεια του διλήμματος της κατσίκας. Θεωρούμε τις εξής αντιστοιχίες: 

κατσίκα $\leftrightarrow$ αγόρι 

αυτοκίνητο $\leftrightarrow$ κορίτσι

Στο δίλημμα της κατσίκας γνωρίζουμε εξ αρχής ότι μία τουλάχιστον από τις πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα. Έστω τώρα ότι με κάποιον τρόπο αγνοούμε την ύπαρξη της πόρτας Α, αν και το κοινό που παρακολουθεί γνωρίζει για αυτή. Είναι προφανές ότι από τη στιγμή που καθοριστεί ποια από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, η πόρτα που απομένει μπορεί να περιέχει είτε κατσίκα είτε αυτοκίνητο. Αυτό που τελικά όμως περιέχει η πόρτα που απομένει, καθορίζει αυτόματα για το κοινό το περιεχόμενο της πόρτας Α, ανεξάρτητα από το γεγονός ότι, όπως έχουμε ήδη πει, εμείς δεν γνωρίζουμε καν την ύπαρξή της. Για εμάς λοιπόν, μία τουλάχιστον από τις δύο πόρτες Β και Γ περιέχει κατσίκα, κατ' αντιστοιχία με το ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά είναι αγόρι.

Ας πάμε τώρα στο δίλημμα του αγοριού. Για ευκολία, στα επόμενα σε κάθε παιδί θα τοποθετούμε μία ταμπέλα με την ένδειξη ΑΓΟΡΙ ή ΚΟΡΙΤΣΙ, ανάλογα με το φύλο του. Εφόσον γνωρίζουμε εξ αρχής ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά, τα οποία ας ονομάσουμε Β και Γ, είναι αγόρι, χρειαζόμαστε οπωσδήποτε μία ταμπέλα ΑΓΟΡΙ ώστε να την εκχωρήσουμε κατάλληλα στο παιδί Β ή Γ. Από τη στιγμή που συμβεί αυτό, το παιδί που απομένει, το Γ ή Β αντίστοιχα, μπορεί να είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι. Συνεπώς, χρειαζόμαστε δύο ακόμη ταμπέλες, μια ΑΓΟΡΙ και μία ΚΟΡΙΤΣΙ, ώστε να μπορούμε να του εκχωρήσουμε τη μία από τις δύο. Με αυτόν τον τρόπο θα αποκτήσουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των δύο παιδιών Β και Γ. Σε κάθε συνδυασμό όμως, μία ταμπέλα από τις δύο προηγούμενες θα μείνει αχρησιμοποίητη. Την ταμπέλα αυτή μπορούμε να την τοποθετήσουμε σε ένα φανταστικό παιδί Α. Το παιδί αυτό παίζει το ρόλο της πόρτας Α στο δίλημμα της κατσίκας και με αυτό τον τρόπο η ισοδυναμία μεταξύ των δύο προβλημάτων έχει αποκατασταθεί! Η παραπάνω ανάλυση φαίνεται με παραστατικό τρόπο στην Εικόνα 1.

Εικόνα 1.

Συνοψίζοντας, με βάση την παραπάνω θεώρηση, θα μπορούσαμε να πούμε ότι το δίλημμα του αγοριού αποτελεί περιορισμό των δύο άλλων διλημμάτων ή ισοδύναμα ότι τα δύο πρώτα διλήμματα αποτελούν επέκταση του διλήμματος του αγοριού. Έτσι, με βάση τα προηγούμενα συμπεράσματα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα και το παιδί Β να είναι αγόρι ταυτίζεται με την πιθανότητα οι πόρτες Β και Γ να περιέχουν κατσίκα που είναι ίση με $\frac{1}{3}$. Ισοδύναμα, δεδομένου ότι το παιδί Γ είναι αγόρι, η πιθανότητα το παιδί Β να είναι κορίτσι ισούται με $\frac{2}{3}$. Συνεπώς, ο Α θα ήταν προτιμότερο να αγοράσει ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι και μία κούκλα!

Κλείνοντας, για λόγους πληρότητας, παρακάτω δίνουμε και την κλασική απόδειξη αυτού του συμπεράσματος.

Κλασική απόδειξη

Όλα τα απλά γεγονότα του δειγματοχώρου μας είναι προφανώς τα ΑΑ, ΑΚ, ΚΑ, ΚΚ, όπου με Α και Κ συμβολίζουμε το αγόρι και το κορίτσι, αντίστοιχα. Στα επόμενα, με $A_n$ θα συμβολίζουμε το γεγονός $n$ 

Αρχικά, οι πιθανότητες για το φύλο των δύο παιδιών είναι

$P(A_0)=\frac{1}{4}$, αφού $A_0=\{KK\}$,

$P(A_1)=\frac{1}{2}$, αφού $A_1=\{AK,KA\}$

$P(A_2)=\frac{1}{4}$, αφού $A_2=\{AA\}$

Από τη στιγμή όμως που υπάρχει η πληροφορία ότι ένα τουλάχιστον παιδί είναι αγόρι, αποκλείεται από το δειγματοχώρο το απλό γεγονός ΚΚ. Συνεπώς μένουν τρία γεγονότα, τα $\{AA,AK,KA\}$. Τότε, η πιθανότητα να είναι και τα δύο παιδιά αγόρια γίνεται

$$P(A_2|A_1\cup A_2)=\frac{1}{3}$$

και φυσικά η πιθανότητα να είναι το ένα παιδί αγόρι και το άλλο κορίτσι είναι

$$P(A_1|A_1\cup A_2)=\frac{2}{3}.$$

¹Bayes Thomas (1702 - 1761): Άγγλος μαθηματικός και φιλόσοφος, ο οποίος πρώτος ανέπτυξε το γενικό τύπο εναλλαγής μεταξύ δεσμευμένων πιθανοτήτων $P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$, που φέρει τιμητικά το όνομά του.

[1] Στρατής Κουνιάς, Χρόνης Μωυσιάδης, Θεωρία Πιθανοτήτων Ι, Κλασική Πιθανότητα, Μονοδιάστατες Κατανομές, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη 1999.

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 3ο)

Μετά από μερικές μέρες αφότου άφησε τη φυλακή, ο Α έλαβε ένα απρόσμενο γράμμα από το φρουρό της φυλακής. Με το γράμμα αυτό του ανακοίνωνε ότι τα δύο παιδιά του μυστηριώδους προσώπου που τον είχε βοηθήσει να αποφυλακιστεί έχουν προσεχώς γενέθλια. Με αφορμή λοιπόν αυτό το γεγονός τον προσκαλούσε στο σπίτι του ώστε να γνωριστούν από κοντά. Ο Α, αποδέχτηκε με προθυμία την πρόταση και αισθάνθηκε την ανάγκη να αγοράσει από ένα δώρο για κάθε παιδί. Επειδή όμως δεν γνώριζε το φύλο των παιδιών, έστειλε γράμμα πίσω στο φρουρό, μήπως και μπορούσε με κάποιον τρόπο να μάθει. Η απάντηση που έλαβε ήταν η εξής:

«Αγαπητέ μου, δυστυχώς δεν γνωρίζω ακριβώς το φύλο των δύο παιδιών, ωστόσο έχω πληροφορηθεί ότι ένα τουλάχιστον από αυτά είναι αγόρι. Ελπίζω η πληροφορία αυτή να σταθεί αρκετή ώστε να σε βοηθήσει να πάρεις τη σωστή απόφαση για τα δώρα που σκοπεύεις να αγοράσεις».

«Η πληροφορία ότι ένα τουλάχιστον από τα δύο παιδιά είναι αγόρι δεν μου φαίνεται ιδιαίτερα χρήσιμη, αφού το άλλο παιδί μπορεί να είναι κάλλιστα είτε αγόρι είτε κορίτσι με πιθανότητα $\frac{1}{2}$», συλλογίστηκε ο Α. Εφόσον το ένα παιδί είναι σίγουρα αγόρι, θα αγοράσω ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι. Γιατί δεν αγοράζω λοιπόν δύο ίδια αυτοκινητάκια, ώστε στην περίπτωση που είναι και τα δύο παιδιά αγόρια, τουλάχιστον να μην μαλώνουν...!

Κρατώντας λοιπόν από ένα αυτοκινητάκι σε κάθε χέρι, ξεκίνησε για το σπίτι του μυστηριώδους προσώπου. Όταν έφτασε μπροστά στην πόρτα, για κάποιον περίεργο λόγο, ένιωσε την καρδιά του να χτυπάει γρήγορα και τον ιδρώτα του να στάζει στο πάτωμα. Η πόρτα που είχε μπροστά του τού θύμισε την πόρτα που πριν από λίγο καιρό είχε διαλέξει στο τηλεπαιχνίδι και του είχε στερήσει την ελευθερία. Ταυτόχρονα όμως του θύμισε και την πόρτα του κελιού του που είχε περάσει για τελευταία φορά χωρίς επιστροφή, ανακτώντας τη χαμένη του ελευθερία. 

Αφήνοντας πίσω τα παλιά, τώρα ανυπομονούσε να δει αν είχε κάνει τη σωστή επιλογή με τα δώρα. Επιπλέον, σε όλη αυτή τη φόρτιση που ένιωθε ήρθε να προστεθεί και η αγωνία να μάθει ποιος επιτέλους κρύβεται πίσω από την αινιγματική φιγούρα που καθόρισε τη ζωή του. 

«Τουλάχιστον τώρα δεν κινδυνεύω να βρεθώ πάλι σε καμιά φυλακή», συλλογίστηκε και χτύπησε επιτέλους το κουδούνι. Σε ελάχιστα δευτερόλεπτα, η πόρτα άνοιξε διάπλατα και μέσα από ένα σκοτεινό διάδρομο βγήκαν σαν σίφουνες ένα γλυκύτατο αγοράκι και ένα πανέμορφο κοριτσάκι για να υποδεχτούν τον καλεσμένο.

«Φτου να πάρει» σκέφτηκε από μέσα του ο Α και φοβούμενος ότι άκουσαν τα παιδιά τη σκέψη του είπε ξεροβήχοντας «Χμ, αγαπητά μου παιδιά, έχω φέρει από ένα δώρο για τον καθένα σας» και στρέφοντας το βλέμμα του προς το κορίτσι συνέχισε κάπως πιο διστακτικά «δυστυχώς όμως έχω φέρει και στους δύο από ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκινητάκι, καθώς περίμενα να δω δυο αγόρια. Βλέπεις γλυκιά μου δεν μπορούσα να κάνω κάτι καλύτερο, αφού η πιθανότητα να ήσουν αγόρι ήταν ίδια με το να ήσουν κορίτσι».

Δεν πρόλαβε να ολοκληρώσει τη φράση του και μέσα από την ανοιχτή πόρτα άκουσε μια γνώριμη φωνή να του απευθύνει σε τόνο φιλικό και ταυτόχρονα υπαινικτικό:

«Ατυχείν έξεστιν, αμελείν ουκ έξεστιν».

«Μα...» πρόλαβε να ξεφωνίσει ο Α, όταν μέσα από το σκοτάδι άρχισε να σχηματίζεται μια όψη, η οποία όσο πιο κοντά πλησίαζε τόσο του θύμιζε κάτι. Ώσπου η εικόνα συμπληρώθηκε και ο Α έμεινε με το στόμα ανοιχτό!

«Είπατε ευχαριστώ παιδιά στο θείο για τα δώρα που σας έφερε;», είπε ο οικοδεσπότης αφού έβγαλε τη μάσκα από το πρόσωπό του, σχηματίζοντας με το στόμα ένα πλατύ χαμόγελο!

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 2ο)

Μέσα στη φυλακή, μαζί με τον Α, σε διπλανά κελιά, βρίσκονταν δύο ακόμη κατάδικοι, ο Β και ο Γ, οι οποίοι καταδικάστηκαν και αυτοί για ακάλυπτα χρέη. Υπήρχε μάλιστα κι ένας φρουρός ο οποίος για λόγους ασφαλείας φορούσε μία μάσκα, ώστε να μην αποκαλύπτει το πρόσωπό του στους κρατούμενους. Μια μέρα, τους ανακοινώθηκε από τη διεύθυνση των φυλακών ότι μέσα στην επόμενη εβδομάδα, με τη μεσολάβηση ενός αγνώστου προσώπου το οποίο διέθεσε ένα μεγάλο χρηματικό ποσό, σε δύο από τους τρεις θα δινόταν χάρη και θα αφήνονταν ελεύθεροι. Όμως, στην ανακοίνωση δεν αναφέρονταν ακόμη ρητά τα ονόματά τους. Ο Α, που ήταν ανυπόμονος, ζήτησε από το φρουρό να μπει κρυφά στο γραφείο του διευθυντή για να μάθει αν θα αποφυλακιστεί. Έτσι κι έγινε. Επιστρέφοντας ο φρουρός στον Α, του είπε μέσα από το ειδικό μικρόφωνο επικοινωνίας με το κελί, ότι δυστυχώς, αν και κατάφερε να μπει στο γραφείο, το μόνο που πρόλαβε να δει ήταν το όνομα ενός εκ των δύο άλλων καταδίκων. Πριν προλάβει ωστόσο να του ανακοινώσει το όνομα που είδε, ο Α τον διέκοψε απότομα:

«Μη σε παρακαλώ! Δεν θέλω να μου πεις το όνομα που είδες, γιατί ενώ αρχικά η πιθανότητα να μην αποφυλακιστώ είναι προφανώς $\frac{1}{3}$, αφού μου πεις το όνομα θα μείνουμε μόνο δύο οι υποψήφιοι, οπότε η πιθανότητα αυτή θα αυξηθεί στο $\frac{1}{2}$». 

«Αγαπητέ μου, μου ακούγεται παράλογο ότι η πληροφορία για το ποιος εκ των δύο άλλων καταδίκων θα αποφυλακιστεί μπορεί με κάποιον τρόπο να επηρεάσει τη δική σου πιθανότητα να αποφυλακιστείς, δεδομένου ότι ούτως ή άλλως γνωρίζεις εξαρχής ότι ένας από τους δυο τους είναι βέβαιο ότι θα αποφυλακιστεί! Ωστόσο, η απόφαση είναι δική σου και οφείλω να υπακούσω».

«Άσε! Την τελευταία φορά σε μια παρόμοια περίπτωση την πάτησα άσχημα...», είπε ο Α, έχοντας στο νου του το φιάσκο που υπέστη στο τηλεπαιχνίδι, χωρίς ωστόσο να δώσει περισσότερες εξηγήσεις στο φρουρό.

Αυτή τη φορά, η εξέλιξη ήταν αίσια, καθώς τελικά ο Α ήταν ένας από τους δύο που αποφυλακίστηκαν. Βγαίνοντας από την κεντρική πύλη της φυλακής, έριξε μια φευγαλέα ματιά πίσω του και νιώθοντας ότι στην περίπτωση αυτή ακολούθησε τη σωστή στρατηγική περπάτησε μέχρι το σπίτι του ευτυχισμένος.

Η κατσίκα, ο κατάδικος και το αγόρι (Μέρος 1ο)

Ο κύριος Α τον τελευταίο καιρό διένυε μια δύσκολη περίοδο στη ζωή του. Ένα χρόνο πριν, είχε έρθει σε ρήξη με τον αδερφό του για τα κληρονομικά και οι δυο τους τότε δοκίμασαν να λύσουν τις διαφορές τους στα δικαστήρια. Ο Α έχασε τη δίκη και μαζί της την κληρονομιά και έκτοτε βρέθηκε σε ασφυκτική οικονομική στενότητα. Μέσα στη γενικότερη συμφορά του, η απόλυση από τη δουλειά του τις προηγούμενες μέρες, ήρθε να τον αποτελειώσει. 

Όντας στα πρόθυρα της οικονομικής εξαθλίωσης, ο Α έλαβε ένα περίεργο γράμμα από κάποιον άγνωστο αποστολέα. Ο αποστολέας ήταν φανερό ότι είχε γνώση της άσχημης κατάστασής του και τον παρότρυνε να πάρει μέρος στο γνωστό τηλεπαιχνίδι Let's make a deal με την ελπίδα να κερδίσει το μεγάλο έπαθλο, ώστε να ξεχρεώσει όλες του τις οφειλές και να συνεχίσει να ζει μια αξιοπρεπή ζωή. 

Όταν πήγε λοιπόν στο παιχνίδι, ο παρουσιαστής τον καλωσόρισε στο πλατό, όπου υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες. Όπως πάντα, εξήγησε εν συντομία τους κανόνες του παιχνιδιού, υπενθυμίζοντας ότι οι συντελεστές της παραγωγής, με τυχαίο τρόπο, είχαν τοποθετήσει στις δύο από τις τρεις πόρτες από μια κατσίκα, ενώ στην τρίτη είχαν βάλει το πολυπόθητο έπαθλο: μια επιταγή του ενός εκατομμυρίου ευρώ. Έπειτα, χωρίς επιπλέον καθυστέρηση, ζήτησε από τον Α να επιλέξει μία πόρτα. Ο Α, για ευνόητους λόγους, διάλεξε την πόρτα Α. 

Μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, από τα μεγάφωνα του στούντιο ακούστηκε μια παραμορφωμένη φωνή να δίνει εντολή να ανοίξει η πόρτα Β, ώστε να αποκαλυφθεί η μία από τις δύο κατσίκες. Η φωνή αυτή ανήκε στον άνθρωπο που βρισκόταν πίσω από τις κάμερες, ο οποίος ήταν γνωστός και ως «τέρας», γνώριζε τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και στην πραγματικότητα διηύθυνε την εξέλιξη του παιχνιδιού.

Αφού άνοιξε η πόρτα Β, το «τέρας» απευθυνόμενο στον Α του είπε με τη χαρακτηριστική του μπάσα φωνή:

«Αφού σου αποκαλύφθηκε η κατσίκα που βρίσκεται στην πόρτα Β, σου δίνεται τώρα η δυνατότητα να παραμείνεις στην αρχική σου επιλογή ή να αλλάξεις πόρτα και να πας στη Γ».

Ο Α με αποφασιστικότητα και μια δόση ειρωνείας απάντησε:

«Τα γνωρίζω καλά αυτά τα πονηρά κόλπα, όμως θα ήθελα να ξέρεις ότι δεν περνάνε σε μένα. Στην πραγματικότητα δεν μου έδωσες καμία πληροφορία, αφού ήταν ήδη γνωστό ότι μία τουλάχιστον από τις δύο πόρτες που άφησα περιέχει κατσίκα. Το ότι άνοιξες λοιπόν την πόρτα Β δεν αλλάζει την αρχική πιθανότητα να έχω επιλέξει το έπαθλο, που είναι $\frac{1}{3}$». 

«Αυτό που λες μοιάζει να είναι σωστό, ωστόσο θα πρέπει να σου θυμίσω ότι εκτός από την αυτονόητη πληροφορία που λες ότι σου έδωσα, επιπλέον σου έδειξα και πίσω από ποια συγκεκριμένη πόρτα βρίσκεται η κατσίκα», του αντιγύρισε το «τέρας» και συνέχισε «νιώθω λοιπόν την ανάγκη να σε ρωτήσω για δεύτερη φορά. Είσαι σίγουρος ότι παραμένεις στην αρχική σου απόφαση;», τον ρώτησε και παρά το γεγονός ότι κανείς δεν μπορούσε να δει το πρόσωπό του, ήταν σχεδόν βέβαιο ότι του έκλεισε το μάτι...

«Όσες φορές κι αν με ρωτήσεις αγαπητό μου «τέρας», δεν πρόκειται να μετακινηθεί ως δια μαγείας το περιεχόμενο πίσω από τις πόρτες. Παρακαλώ», απάντησε με αδιαλλαξία ο Α, κάνοντας νεύμα προς την πόρτα Α.

«Ατυχείν έξεστιν, αμελείν ουκ έξεστιν¹»

«Παρακαλώ να ανοίξει η πόρτα Α για να δούμε τι κρύβεται από πίσω», διέταξε αμέσως ο παρουσιαστής, ο οποίος παρακολουθούσε όλη αυτή την ώρα με αμείωτο ενδιαφέρον το διάλογο ανάμεσα στον Α και στο «τέρας».

Ο Α με την αγωνία του στο κατακόρυφο, είδε με απογοήτευση τη συνονόματη πόρτα να ανοίγει και να ξεπετιέται από μέσα μια ανέμελη κατσίκα. Η εξέλιξη ήταν θλιβερή. Αδυνατώντας να διευθετήσει τα χρέη του, δεν άργησε να βρεθεί πίσω από τα κάγκελα της φυλακής.

¹Αρχαιοελληνικό γνωμικό που σημαίνει «το να είσαι άτυχος επιτρέπεται, όμως το να αμελείς είναι ανεπίτρεπτο»

Ο Covid-19 και το ξυράφι του Occam

Τον τελευταίο καιρό ακούγεται από πολλούς ότι η εξάπλωση του κορονοϊού, γνωστού με την επιστημονική ονομασία Covid-19, ακολουθεί εκθετικό ρυθμό. Τι σημαίνει αυτό και γιατί συμβαίνει; 

First things first! Αρχικά να διευκρινίσουμε ότι η πεποίθηση αυτή δεν είναι απόλυτα ακριβής. Στην πραγματικότητα αν και στην μαθηματική περιγραφή της εξάπλωσης του ιού όντως κάνει την εμφάνισή της η εκθετική συνάρτηση, ωστόσο η τελική συνάρτηση που εκφράζει το μέγεθος της διασποράς του ιού είναι η λεγόμενη «λογιστική», κατά πολλούς «σιγμοειδής» συνάρτηση. Προς αποφυγήν παρεξηγήσεων βέβαια σπεύδω να διευκρινίσω ότι η λογιστική στο αρχικό της διάστημα όντως προσομοιάζει την εκθετική. Ας δούμε όμως τα πράγματα πιο αναλυτικά. 

Στη βιβλιογραφία έχουν προταθεί πολλά μοντέλα για την εξάπλωση μιας επιδημίας. Το γνωστότερο ίσως είναι το SIR, από τα αρχικά (S)usceptible, (I)nfected, (R)ecovered. Το μοντέλο αυτό χωρίζει τον πληθυσμό σε τρία ξένα μεταξύ τους σύνολα, των οποίων το πλήθος μεταβάλλεται  με την πάροδο του χρόνου. Στο πρώτο σύνολο ανήκουν όσοι είναι ευάλωτοι στον ιό και αποτελούν υποψήφιους νέους φορείς. Ασφαλώς στην αρχή της επιδημίας στο σύνολο αυτό ανήκει όλος ο πληθυσμός. Στο δεύτερο σύνολο ανήκουν όσοι είναι μολυσμένοι από τον ιό και τέλος, στο τρίτο σύνολο ανήκουν όσοι έχουν είτε αναρρώσει είτε καταλήξει. Καθώς υπάρχουν πολλά κατατοπιστικά άρθρα και παραστατικά video στο διαδίκτυο, εμείς εδώ δεν θα εμβαθύνουμε στο μοντέλο αυτό. Ενδεικτικά, ακολουθώντας τους παρακάτω συνδέσμους θα μπορούσε κανείς να μάθει περισσότερα για το SIR, αλλά και για παρόμοια μοντέλα.

https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/the-sir-model-for-spread-of-disease-the-differential-equation-model

https://youtu.be/Qrp40ck3WpI

Η δυσκολία του μοντέλου SIR, έγκειται στο ότι εμπλέκει μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Παρόλα αυτά, ακριβείς παραμετρικές λύσεις έχουν βρεθεί και δημοσιευθεί:

https://arxiv.org/abs/1403.2160

Στην ανάρτηση αυτή, χάριν ευκολίας θα παρουσιάσουμε ένα απλούστερο μοντέλο, η λύση του οποίου όμως δεν διαφέρει σημαντικά από τη λύση του SIR στην αρχή της εξέλιξης της επιδημίας. Το μοντέλο που θα χρησιμοποιήσουμε εμπίπτει στο πρότυπο πρόβλημα της εξάπλωσης επιδημίας του μαθηματικού κλάδου των διαφορικών εξισώσεων [1]. Στο μοντέλο αυτό, θεωρούμε ότι ο ρυθμός μετάδοσης της επιδημίας είναι ανάλογος τόσο του μέρους του πληθυσμού που φέρει τον ιό, όσο και του υπόλοιπου μέρους του πληθυσμού που δεν νοσεί, αλλά είναι ευάλωτο στον ιό. Αυτό διαισθητικά μπορεί να γίνει αντιληπτό ως εξής: Ασφαλώς όσο περισσότεροι άνθρωποι φέρουν τον ιό, τόσο αυξάνονται οι πιθανότητες αυτός να μεταδοθεί σε άλλους. Όμως, ταυτόχρονα τόσο λιγότεροι είναι και οι πιθανοί καινούργιοι φορείς. Προφανώς κανείς δεν μεταδίδει τον ιό σε κάποιον που ήδη νοσεί. Συνεπώς, όσο εξαπλώνεται η επιδημία, τόσο συρρικνώνεται το σύνολο των δυνάμει νοσούντων. Αυτός είναι και ο λόγος που τελικά η εξάπλωση δεν ακολουθεί εκθετικό ρυθμό, καθώς η ίδια η εξάπλωση τελικά εμποδίζει τον εαυτό της στη διαδικασία της περαιτέρω εξάπλωσης. 


Η παραπάνω διπλή σχέση αναλογίας μπορεί να γραφεί μαθηματικά ως εξής:

$$\frac{dP(t)}{dt}=\alpha P(t)(1-P(t))(1)$$

όπου $P(t)$ συμβολίζει το ποσοστό του πληθυσμού που έχει νοσήσει και είναι κανονικοποιημένο στο διάστημα $[0,1]$, όπου το 0 σημαίνει ότι δεν νοσεί κανείς, ενώ το 1 σημαίνει ότι νοσεί το σύνολο του πληθυσμού και φυσικά κάθε τιμή ανάμεσα στο 0 και το 1 δηλώνει το ποσοστό επί τις εκατό των ανθρώπων που νοσούν. Ασφαλώς το $P(t)$ είναι συνάρτηση του χρόνου που συμβολίζεται με $t$. Επιπλέον, $\frac{dP(t)}{dt}$ είναι η παράγωγος της συνάρτησης $P(t)$ και εκφράζει το ρυθμό μεταβολής (αύξησης) του ποσοστού των νοσούντων με την πάροδο του χρόνου $t$. Τέλος, $\alpha$ είναι ο συντελεστής αναλογίας που καθορίζει πόσο απότομα ξεκινάει η αύξηση των κρουσμάτων, αλλά και πόσο απότομα τελικά μειώνεται.


Προτού προχωρήσουμε στην παρουσίαση της λύσης, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι το πραγματικό πρόβλημα είναι ένα διακριτό πρόβλημα που λύνεται με τη βοήθεια εξισώσεων διαφορών. Ωστόσο, χάριν απλότητας, το μετασχηματίσαμε στο αντίστοιχο συνεχές πρόβλημα.

Η (1) γράφεται και ως 

$$\frac{dP(t)}{P(t)(1-P(t))}=\alpha dt$$ 

και αποτελεί μια διαφορική εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών. Ολοκληρώνοντας κατά μέλη λαμβάνουμε 

$$\int \frac{dP(t)}{P(t)(1-P(t))}=\int \alpha dt(2)$$

και καθώς ισχύει 

$$\frac{1}{P(t)(1-P(t))}=\frac{1}{P(t)}+\frac{1}{1-P(t)}$$

η (2) γίνεται 

$$\int \frac{1}{P(t)}dP(t)+\int \frac{1}{1-P(t)}dP(t)=\int \alpha dt\iff$$ 
$$ln(P(t))-ln(1-P(t))=\alpha t+c$$

όπου $c$ η σταθερά ολοκλήρωσης και $ln$ ο λογάριθμος με βάση το $e$. Συνεχίζοντας, από τη βασική ιδιότητα του αθροίσματος λογαρίθμων έχουμε

$$ln\frac{P(t)}{1-P(t)}=\alpha t+c\iff$$

$$\frac{P(t)}{1-P(t)}=e^{\alpha t+c}\iff$$

$$P(t)=(1-P(t))e^{\alpha t+c}\iff$$

$$P(t)+P(t)e^{\alpha t+c}=e^{\alpha t+c}\iff$$

$$P(t)(1+e^{\alpha t+c})=e^{\alpha t+c}\iff$$

$$P(t)=\frac{e^{\alpha t+c}}{1+e^{\alpha t+c}}\iff$$

$$P(t)=\frac{1}{1+e^{-(\alpha t+c)}}$$

Η προκύπτουσα συνάρτηση αποτελεί τη λογιστική καμπύλη που αναφέρθηκε παραπάνω. Η γενική μορφή της γραφικής της παράστασης φαίνεται στο Διάγραμμα 1, εξ ου και η ονομασία σιγμοειδής, αφού μοιάζει με το τελικό «σίγμα». Από το διάγραμμα είναι φανερό ότι αρχικά το πλήθος των ασθενών παρουσιάζει προσεγγιστικά εκθετική αύξηση. Ωστόσο, καθώς τα κρούσματα αυξάνονται, ο ρυθμός μετάδοσης μειώνεται μέχρι ένα σημείο, στο οποίο η καμπύλη στιγμιαία παίρνει γραμμική μορφή. Έπειτα από αυτό το σημείο η κατάσταση αντιστρέφεται. Αν και το πλήθος των νοσούντων εξακολουθεί να αυξάνεται, ο ρυθμός μετάδοσης αρχίζει να μειώνεται μέχρι το πλήθος να φτάσει στη μέγιστη τιμή που αντιστοιχεί στο σύνολο του πληθυσμού. 


Διάγραμμα 1. Η λογιστική ή σιγμοειδής καμπύλη.

Φυσικά, το παραπάνω είναι ένα εξιδανικευμένο μαθηματικό μοντέλο, το οποίο δεν κάνει καμία άλλη υπόθεση πέρα από την απλή υπόθεση της αναλογίας του ρυθμού μετάδοσης που αναφέρθηκε στην αρχή. Στην πραγματικότητα, η κατάσταση διαφέρει καθώς με την εφαρμογή περιοριστικών μέτρων, αλλά και με την προφύλαξη που απορρέει από την ατομική ευθύνη του καθενός, η κατάσταση δεν αφήνεται στο έλεος της. Σε πρώτο στάδιο, μεγάλη επιτυχία προς την καταπολέμηση της εξάπλωσης θεωρείται αν ο ρυθμός μετάδοσης σταθεροποιηθεί, οπότε έχουμε τη γραμμικοποίηση της καμπύλης. Στην περίπτωση αυτή, σε κάθε συγκεκριμένη χρονική περίοδο, π.χ., κάθε μέρα, προστίθεται ο ίδιος αριθμός νέων κρουσμάτων στο σύνολο των ήδη υπαρχόντων. Ο επόμενος στόχος που σηματοδοτεί τη νίκη απέναντι στην επιδημία είναι να μηδενιστεί ο ρυθμός εξάπλωσης. Εφόσον συμβεί αυτό, κανένα νέο κρούσμα δεν θα προστεθεί και αφού κλείσουν όλες οι τρέχουσες υποθέσεις ασθενών, θα εξαλειφθεί οριστικά η επιδημία.

Ας περάσουμε τώρα σε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα που θα ξεκαθαρίσει ακόμα περισσότερο το τοπίο. Θεωρούμε ότι η μονάδα μέτρησης του χρόνου $t$ είναι η ώρα. Έστω ότι την 5η μέρα τα κρούσματα είναι 7 και την 10η μέρα τα κρούσματα ανέρχονται σε 66, όπως έχει δηλαδή η κατάσταση στην Ελλάδα¹. Τότε έχουμε τις αρχικές συνθήκες $P(120)=7\times {10}^{-7}$ και $P(240)=66\times {10}^{-7}$. Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές αυτές στη γενική λύση που βρήκαμε παραπάνω, υπολογίζουμε ότι $c=-16.349$ και $\alpha =0.0193$, οπότε η λύση στο πρόβλημά μας παίρνει τη μορφή 
$P(t)=\frac{1}{1+e^{-0.0193t+16.349}}$.

Διάγραμμα 2. Η εξάπλωση της επιδημίας με βάση τις αρχικές συνθήκες που αναφέρονται παραπάνω.

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης απεικονίζεται στο Διάγραμμα 2. Στο διάγραμμα αυτό, για λόγους καλύτερης παρουσίασης, ως μονάδα μέτρησης του χρόνου (οριζόντιος άξονας) έχει χρησιμοποιηθεί η μία μέρα. 
Από το Διάγραμμα 2 παρατηρούμε ότι παρά τον σχετικά αργό ρυθμό αύξησης των κρουσμάτων τις πρώτες μέρες, κάποια στιγμή η εξάπλωση της επιδημίας εμφανίζει δραματική καμπή καθώς σε περίπου 38 μέρες θα έχει μολυνθεί ο μισός πληθυσμός. Το σημείο αυτό είναι γνωστό και με τον αγγλικό όρο «midpoint». Η ραγδαία αύξηση μάλιστα συνεχίζεται για μερικές ακόμη ημέρες (περίπου μία εβδομάδα) ώσπου αρχίζει να χαλαρώνει γύρω στις 45 μέρες, όταν ήδη έχει νοσήσει σχεδόν το σύνολο του πληθυσμού! 
Υπενθυμίζουμε ότι στην πραγματικότητα τελικά δεν θα νοσήσει ο συνολικός πληθυσμός διότι με τη λήψη μέτρων σε ατομικό και συλλογικό επίπεδο οι άνθρωποι αντιστεκόμαστε στην εξάπλωση της επιδημίας.

Όλα καλά ως εδώ. Γιατί όμως εμφανίζεται ο αριθμός $e$ στη λύση της εξάπλωσης της επιδημίας; Ποια ιδιότητα έχει αυτός ο αριθμός που τον καθιστά ιδιαίτερο στο βασίλειο των πραγματικών αριθμών; Αν σας ενδιαφέρει η απάντηση ρωτήστε τον Occam!

Ο William του Ockham² (1287-1347) ήταν θεολόγος-φιλόσοφος και ανήκε στο τάγμα των Φραγκισκανών. Ασχολήθηκε εντατικά με τη Λογική και με την Φυσική και έμεινε γνωστός στην ιστορία για το περίφημο «ξυράφι» του. Το ξυράφι του Occam ή Occam's razor στα αγγλικά είναι η φιλοσοφική αρχή που υπαγορεύει ότι από όλες τις δυνατές εξηγήσεις ενός φαινομένου, προτιμότερη είναι εκείνη που βασίζεται στις λιγότερες υποθέσεις. Το ξυράφι του Occam θα λέγαμε ότι «ξυρίζει» τις περιττές υποθέσεις κρατώντας μόνο τις απολύτως απαραίτητες. Πράγματι, αυτός είναι και ο τρόπος με τον οποίο αντιμετωπίζουμε οι άνθρωποι τα καθημερινά μας προβλήματα. Ξεκινάμε από τις λιγότερες δυνατές υποθέσεις και μόνο αν αυτές δεν είναι ικανές να μας οδηγήσουν στη λύση προσθέτουμε επιπλέον υποθέσεις. 

Λόγω της ιδιαίτερης αγάπης που τρέφει αυτή η αρχή προς τις λακωνικές εξηγήσεις, έγινε επίσης γνωστή και ως η αρχή της οικονομίας (lex parsimoniae στα λατινικά). Ποια είναι όμως η σχέση αυτής της αρχής με τον αριθμό $e$; Προηγουμένως, στην παρουσίαση του μοντέλου για την εξάπλωση της επιδημίας, εμφανίστηκε η σχέση διπλής αναλογίας

$$\frac{dP(t)}{dt}=\alpha P(t)(1-P(t))$$

η οποία γράφεται και ως

$$\frac{dP(t)}{dt}=\alpha (P(t)-P^2(t))(3)$$

Από τον ορισμό του $P(t)$, για κάθε τιμή του χρόνου $t$ ισχύει $P(t)\le 1$. Επιπλέον, στα πρώτα στάδια της εξάπλωσης της επιδημίας (για μικρά $t$ δηλαδή) η ποσότητα $P^2(t)$ μπορεί να θεωρηθεί πολύ μικρότερη της $P(t)$ και ως εκ τούτου να παραληφθεί χωρίς να προκαλέσει μεγάλη αλλοίωση στην ακριβή λύση του προβλήματος. Η εξίσωση (3) απλοποιείται τότε στην

$$\frac{dP(t)}{dt}=\alpha P(t)(4)$$

Έχουμε δηλαδή προσεγγιστικά μια γνήσια αναλογία του ρυθμού μεταβολής $\frac{dP(t)}{dt}$ με την συνάρτηση $P(t)$. Συνεπώς, στο διάστημα ισχύος της (4), αναζητούμε τη συνάρτηση εκείνη η οποία ταυτίζεται με το ρυθμό μεταβολής της (κατά προσέγγιση φυσικά της σταθεράς $\alpha$). 

Μία από τις σημάντικότερες ιδιότητες του αριθμού e είναι το γεγονός ότι όταν υψώνεται στη δύναμη $x$, όταν δηλαδή πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του $x$ φορές, δημιουργεί τη μοναδική συνάρτηση, εκτός φυσικά από τη μηδενική, της οποίας η παράγωγος συνάρτηση είναι ίδια με την αρχική. Όμως, καθώς η παράγωγος μιας συνάρτησης δηλώνει το ρυθμό μεταβολής της αρχικής συνάρτησης, η $e^x$ μας λέει από μόνη της σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της με ποιον ρυθμό μεταβάλλεται! Επειδή η μεταβολή της $e^x$ είναι αυξανόμενη, όσο αυξάνεται η τιμή της σε ένα σημείο, τόσο αυξάνεται και ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται η τιμή της στο ίδιο σημείο! Μάλιστα, η παράγωγος της παραγώγου της $e^x$ είναι και πάλι $e^x$. Συνεπώς με τον ίδιο ρυθμό μεταβάλλεται και ο ρυθμός μεταβολής της $e^x$. Συνεχίζοντας, με τον ίδιο ρυθμό μεταβάλλεται και ο ρυθμός μεταβολής του ρυθμού μεταβολής της $e^x$ και πάει λέγοντας! Με ένα σμπάρο άπειρα τριγώνια δηλαδή! Γιατί όμως αυτό συμβαίνει μόνο με την εκθετική συνάρτηση $e^x$;

Ας αναζητήσουμε τη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με παραγώγους κάθε τάξης, για την οποία ισχύει ότι σε κάθε σημείο $x$ του πεδίου ορισμού της, $f^{\prime }(x)=f(x)$. Από τον Διαφορικό Λογισμό, ισχύει στοιχειωδώς ότι αν γνωρίζουμε την τιμή της $f$ σε κάποιο σημείο $t_0$, τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε την τιμή της $f$ σε κάποιο «γειτονικό» σημείο $t$ με τον τύπο 

$$f(t)=f(t_0)+f^{\prime }(t_0)(t-t_0)(5)$$

Δηλαδή για να φτάσουμε στο $f(t)$, ξεκινάμε από το $f(t_0)$ και «μετακινούμαστε» στο διάστημα $t-t_0$ κατά το ρυθμό μεταβολής $f^{\prime }(t_0)$. Αυτό θυμίζει το ανάλογο συμπέρασμα της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης στη φυσική, σύμφωνα με το οποίο αν τη χρονική στιγμή $t_0$ βρισκόμαστε στη θέση $x(t_0)$, τότε τη χρονική στιγμή $t$ η νέα μας θέση θα είναι $x(t)=x(t_0)+u(t_0)(t-t_0)$, όπου $u(t_0)$ είναι η ταχύτητά μας τη χρονική στιγμή $t_0$. Χωρίς περιορισμο της γενικότητας, στα επόμενα θεωρούμε ότι $t>t_0$. Για να πετύχουμε ακριβέστερη εκτίμηση, χρησιμοποιούμε την εξής διαμέριση του διαστήματος $[t_0,t]$: 

$$[t_0,t_0+\frac{t-t_0}{n}],[t_0+\frac{t-t_0}{n},t_0+\frac{2(t-t_0)}{n}],\dots ,[t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n},t]$$

Χωρίζουμε δηλαδή το διάστημα $[t_0,t]$ σε $n$ ίσα τμήματα και εφαρμόζουμε την (5) σε κάθε τμήμα. Προφανώς, όσο μεγαλύτερο είναι το $n$, τόσο ακριβέστερη είναι και η προσέγγιση της τιμής $f(t)$. Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζουμε μια ακολουθία συναρτήσεων $f_n$, η οποία σε καθένα από τα $n$ υποδιαστήματα του $[t_0,t]$ ορίζεται ως εξής:

$$[t_0,t_0+\frac{t-t_0}{n}]:f_n(t_0+\frac{t-t_0}{n})=$$ 
$$f(t_0)+f^{\prime }(t_0)\frac{t-t_0}{n}=f(t_0)+f(t_0)\frac{t-t_0}{n}=$$ 
$$f(t_0)(1+\frac{t-t_0}{n})$$

$$[t_0+\frac{t-t_0}{n},t_0+\frac{2(t-t_0)}{n}]:f_n(t_0+\frac{2(t-t_0)}{n})=$$
$$f(t_0+\frac{t-t_0}{n})+f^{\prime }(t_0+\frac{t-t_0}{n})\frac{t-t_0}{n}=$$
$$f(t_0+\frac{t-t_0}{n})+f(t_0+\frac{t-t_0}{n})\frac{t-t_0}{n}=$$ 
$$f(t_0+\frac{t-t_0}{n})(1+\frac{t-t_0}{n})=f(t_0){(1+\frac{t-t_0}{n})}^2$$

$$⋮$$

$$[t_0+\frac{(n-2)(t-t_0)}{n},t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n}]:f_n(t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n})=$$
$$f(t_0+\frac{(n-2)(t-t_0)}{n})+f^{\prime }(t_0+\frac{(n-2)(t-t_0)}{n})\frac{t-t_0}{n}=$$
$$f(t_0+\frac{(n-2)(t-t_0)}{n})+f(t_0+\frac{(n-2)(t-t_0)}{n})\frac{t-t_0}{n}=$$
$$f(t_0+\frac{(n-2)(t-t_0)}{n})(1+\frac{t-t_0}{n})=f(t_0){(1+\frac{t-t_0}{n})}^{n-1}$$

$$[t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n},t]:f_n(t)=$$ 
$$f(t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n})+f^{\prime }(t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n})\frac{t}{n}=$$ 
$$f(t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n})+f(t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n})\frac{t-t_0}{n}=$$
$$f(t_0+\frac{(n-1)(t-t_0)}{n})(1+\frac{t-t_0}{n})=f(t_0){(1+\frac{t-t_0}{n})}^n(6)$$

Ας πάρουμε για παράδειγμα $n=2$. Επίσης, χάριν απλότητας θέτουμε $t_0=0$. Αυτό σημαίνει ότι χωρίζουμε το διάστημα $[0,t]$ στα δύο ίσα μέρη $[0,\frac{t}{2}]$ και $[\frac{t}{2},t]$. Στην περίπτωση αυτή, με μια αδρή προσέγγιση παίρνουμε:

$$f_2(t)=f(0){(1+\frac{t}{2})}^2$$

Φυσικά όσο μεγαλύτερο είναι το πλήθος $n$ των υποδιαστημάτων, τόσο καλύτερη γίνεται και η προσέγγιση της τιμής $f(t)$. Μάλιστα στο όριο, καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο, θα λάβουμε την ακριβή τιμή του $f(t)$. Δηλαδή:

$$f(t)=f_{\mathrm{\infty }}(t)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(0){(1+\frac{t}{n})}^n]=f(0)\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{t}{n})}^n$$

Όμως, για δεδομένο $t$, ισχύει: 

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{t}{n})}^n=\underset{u\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{t}{ut})}^{ut}=[\underset{u\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{u})}^u{]}^t=e^t$$

αφού εξ ορισμού 

$$e=\underset{u\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{u})}^u$$

και ιδού γιατί εμφανίζεται ο αριθμός $e$! Συνοψίζοντας, υπό μία έννοια η εκθετική συνάρτηση $e^t$ είναι η οικονομικότερη συνάρτηση, καθώς για την περιγραφή της δεν χρειαζόμαστε καμία επιπλέον πληροφορία για τις παραγώγους της. Η πληροφορία αυτή περικλέιεται μέσα στην ίδια τη συνάρτηση. Κατά κάποιον τρόπο θα λέγαμε ότι η επιδημία δείχνει να ενστερνίζεται την αρχή της οικονομίας που πρότεινε ο William του Occam!

Η αρχή της οικονομικότερης εκδοχής άλλωστε απαντάται σε πληθώρα από φυσικά φαινόμενα. Παράδειγμα αποτελεί το σφαιρικό σχήμα της σταγόνας. Με βάση τη γενίκευση ενός θεωρήματος της Διαφορικής Γεωμετρίας, που φέρει το όνομα «ισοπεριμετρική ανισότητα», δεδομένου του όγκου μιας ποσότητας νερού, η σφαίρα είναι το σχήμα με τη μικρότερη επιφάνεια που φέρει την ποσότητα αυτή. Έτσι, θα λέγαμε ότι η φύση κουβαλάει το δικό της «ξυράφι» δείχνοντας την προτίμησή της στις σφαίρες έναντι των άλλων σχημάτων.

Η αρχή της οικονομίας όμως κάνει την εμφάνισή της και μέσω της εφαρμογής των ίδιων μαθηματικών εργαλείων σε εντελώς διαφορετικά προβλήματα. Εξηγώ.

Ας επιστρέψουμε στον τύπο (6), ο οποίος εκφράζει την $n$-οστή προσέγγιση της $f(t)$, τον οποίο για ευκολία ξαναγράφουμε παρακάτω, για $t_0=0$: 

$$f_n(t)=(1+\frac{t}{n}{)}^n$$

Χρησιμοποιώντας τον διωνυμικό τύπο, το παραπάνω άθροισμα αναλύεται ως εξής:

$$f_n(t)=1+n\frac{t}{n}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})\frac{t^2}{n^2}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})\frac{t^3}{n^3}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})\frac{t^{t-1}}{n^{t-1}}+\frac{t^n}{n^n}=$$

$$1+t+\frac{n!}{(n-2)!n^2}\frac{t^2}{2!}+\frac{n!}{(n-3)!n^3}\frac{t^3}{3!}+\cdots +\frac{n!}{2!n^{n-1}}\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{n!}{n^n}\frac{t^n}{n!}=$$

$${\alpha }_0\frac{t^0}{0!}+{\alpha }_1\frac{t^1}{1!}+{\alpha }_2\frac{t^2}{2!}+\cdots +{\alpha }_{n-1}\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+{\alpha }_n\frac{t^n}{n!}=\sum _{k=0}^n{\alpha }_k\frac{t^k}{k!}(7)$$

όπου θέσαμε

$${\alpha }_k=\frac{n!}{(n-k)!n^k}(8)$$

Η σχέση (7) ουσιαστικά αποτελεί το ανάπτυγμα Taylor της $f_n(t)$ με συντελεστές ${\alpha }_k$. Από τη σχέση (8) όμως, για κάθε $k$, ο συντελεστής ${\alpha }_k$ εκφράζει την πιθανότητα σε ένα πλήθος $n$ διαφορετικών αντικειμένων να επιλέξουμε με επανάθεση $k$ από αυτά και όλα τα αντικείμενα που θα επιλέξουμε να είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Η πρόταση αυτή μπορεί να μην βγάζει ιδιαίτερο νόημα, αν όμως θέσουμε $n=365$, τότε το ${\alpha }_k$ μας δίνει την πιθανότητα ανάμεσα σε $k$ τυχαίους ανθρώπους, όλοι να έχουν τα γενέθλιά τους σε διαφορετικές μέρες. Ισοδύναμα, το $1-{\alpha }_k$ μας δίνει την πιθανότητα ανάμεσα σε $k$ τυχαίους ανθρώπους, δύο τουλάχιστον να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα. Καταλήγουμε δηλαδή στο γνωστό πρόβλημα των γενεθλίων. Καθώς το πρόβλημα των γενεθλίων θα μπορούσε να είναι από μόνο του το θέμα μιας άλλης ανάρτησης, να αναφέρουμε απλώς ότι ανάμεσα σε 23 άτομα, η πιθανότητα δύο τουλάχιστον από αυτά να έχουν την ίδια μέρα γενέθλια είναι λίγο πάνω από $50\mathrm{\%}$! Επειδή το αποτέλεσμα αυτό πηγαίνει κόντρα στη διαίσθηση, το πρόβλημα των γενεθλίων καλείται συχνά και παράδοξο.

Κλείνοντας, αξίζει να τονίσουμε ότι αν στη σχέση (7) πάρουμε το όριο για $n\to \mathrm{\infty }$, επειδή για κάθε $k$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n!}{(n-k)!n^k}=1$$

λαμβάνουμε το γνωστό από την ανάλυση ανάπτυγμα του Taylor της $e^t$:

$$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots$$

Στο άρθρο αυτό είδαμε κάποιες συγκεκριμένες ενδιαφέρουσες περιπτώσεις εφαρμογής του ξυραφιού του Occam. Η λίστα ωστόσο είναι ατελείωτη. Μάλιστα, εγώ έχω βρει έναν ιδιαίτερο τρόπο να εφαρμόζω το ξυράφι του Occam στο πρόσωπό μου. Τα τελευταία χρόνια έχω κόψει το ξύρισμα και με αυτόν τον τρόπο κάνω οικονομία στα ξυράφια μου.

¹ https://el.wikipedia.org/wiki/Πανδημία_του_κορονοϊού_στην_Ελλάδα_το_2020

² Το Ockham είναι ένα μικρό χωριό στην κομητεία του Surray στην νοτιοανατολική Αγγλιά, το οποίο στο προσωνύμιο του William εκλατινίστηκε σε Occam.

[1] Διαφορικές Εξισώσεις, Θωμάς Κυβεντίδης, 2004, ISBN: 960-8183-40-5