Οι περιττοί αριθμοί δεν είναι καθόλου περιττοί

Η ανάρτηση αυτή έχει σκοπό να καταγγείλει τη μαθηματική κοινότητα για μια κατάφωρη αδικία που έχει διαπράξει στο παρελθόν και εξακολουθεί να συντηρεί ανά τους αιώνες εις βάρος των μισών ακεραίων αριθμών. Ο λόγος για τους καλούμενους «περιττούς αριθμούς», τους αριθμούς δηλαδή που γράφονται στη μορφή $2n+1$, με $n$ φυσικό. Μη απαραίτητοι (περιττοί) στα ελληνικά, παράξενοι (odd) στα αγγλικά, οι αριθμοί αυτοί συνιστούν τη γνωστή σε όλους μας ακολουθία: 1, 3, 5, 7, κτλ. Στα επόμενα θα φανεί ότι οι αριθμοί αυτοί δεν είναι καθόλου περιττοί. Αντιθέτως, συγκεντρώνουν κάποιες εντυπωσιακές ιδιότητες, οι οποίες τους καθιστούν χρησιμότατους.

Οι αριθμοί αυτοί συμμετέχουν ήδη σε διάφορες γνωστές στους μαθηματικούς κύκλους ακολουθιακές σχέσεις όπως οι δύο παρακάτω:

$1^2=1$

$2^2=1+3$

$3^2=1+3+5$

$4^2=1+3+5+7$

$5^2=1+3+5+7+9$

$6^2=1+3+5+7+9+11$

κτλ.

$1^3=1$

$2^3=3+5$

$3^3=7+9+11$

$4^3=13+15+17+19$

$5^3=21+23+25+27+29$

$6^3=31+33+35+37+39+41$

κτλ.

Στην πρώτη ακολουθία (των τετραγώνων) είναι φανερό ότι το $k^2$ ισούται με το άθροισμα των πρώτων $k$ διαδοχικών περιττών αριθμών. Αντίστοιχα, στη δεύτερη ακολουθία (των κύβων), το $k^3$ ισούται με το άθροισμα των $k$ διαδοχικών περιττών αριθμών, ξεκινώντας όμως αυτή τη φορά από εκεί που σταμάτησε ο προηγούμενος όρος της ακολουθίας. Σχηματικά, η ακολουθία των κύβων κατασκευάζεται ως εξής:

$$\underset{1^3}{\underbrace{1}},\underset{2^3}{\underbrace{3,5}},\underset{3^3}{\underbrace{7,9,11}},\underset{4^3}{\underbrace{13,15,17,19}},\underset{5^3}{\underbrace{21,23,25,27,29}},\dots$$
Πριν από λίγες μέρες σε μια προσπάθεια να γενικεύσω τα αποτελέσματα αυτά, ανακάλυψα τους επόμενους τύπους οι οποίοι όπως θα δούμε καταρρίπτουν αναντίλεκτα την «περιττότητα» των περιττών αριθμών. 

$$k^n=(2\omega +1)+(2\omega +3)+\cdots +(2\omega +2k^{\frac{n-1}{2}}-1),$$ για $k$ φυσικό και $n$ περιττό, όπου 

$$\omega =k^{\frac{n-3}{2}}\sum _{i=0}^{k-1}i$$

και 

$$k^n=1+3+\cdots +(2k^{\frac{n}{2}}-1),$$ για $k$ φυσικό και $n$ άρτιο.

Οι εκ πρώτης όψεως άχαροι αυτοί τύποι αναπτύσσονται κομψότερα στον Πίνακα 1. Στη διασταύρωση της $n$ γραμμής με την $k$ στήλη αντιστοιχεί η δύναμη $k^n$. Τα σύμβολα $\alpha \to \beta$ σε κάθε κελί υποδηλώνουν τα εξής: 

$\alpha$: το πλήθος του συνόλου των διαδοχικών περιττών που πρέπει να παραλείψουμε, ξεκινώντας από το 1.

$\beta$: το πλήθος των διαδοχικών περιττών που πρέπει να προσθέσουμε, ξεκινώντας από τον περιττό που ακολουθεί τον τελευταίο περιττό του συνόλου των παραλειπόμενων που αναφέρεται στο $\alpha$.

Πίνακας 1. Ανάπτυξη δυνάμεων ως αθροίσματα περιττών αριθμών.

Για παράδειγμα, το στοιχείο $4\to 2^3$ για $n=7$ και $k=2$, που αντιστοιχεί στη δύναμη $2^7$, υποδηλώνει ότι παραλείπουμε τους $4$ πρώτους περιττούς, δηλαδή τους $1,3,5$ και $7$ και προσθέτουμε τους επόμενους $2^3=8$, δηλαδή $9+11+13+15+17+19+21+23$. Αυτό μας κάνει $128$ που είναι όντως το αποτέλεσμα της δύναμης $2^7$. Φυσικά, όπου $\alpha =0$, αυτό σημαίνει ότι δεν παραλείπεται κανείς περιττός. Π.χ. το $0\to 2^3$ για $n=6$ και $k=2$ σημαίνει ότι αθροίζουμε τους $2^3=8$ διαδοχικούς περιττούς ξεκινώντας από το $1$, δηλαδή $1+3+5+7+9+11+13+15$. Και πάλι, αυτό μας κάνει $64$ το οποίο ισούται με $2^6$. Από τα παραπάνω, εύκολα φαίνεται ότι οι ακολουθίες των τετραγώνων και των κύβων που ανεφέρθηκαν στην αρχή του άρθρου, αποτελούν ειδικές περιπτώσεις αυτού του γενικευμένου πίνακα, για $n=2$ και $n=3$ αντίστοιχα.

Κοιτάζοντας τον Πίνακα 1 πιο προσεκτικά, παρατηρούμε ότι στις δυνάμεις με άρτιο εκθέτη $n$, δεν παραλείπεται ποτέ κάποιος περιττός ($\alpha =0$), ως εκ τούτου, τα αθροίσματα ξεκινούν πάντα με το $1$. Από την άλλη πλευρά, για $n$ περιττό κάνουμε τις εξής εντυπωσιακές παρατηρήσεις. Σαρώνοντας τον πίνακα οριζόντια, για $n=3$, οι περιττοί αριθμοί που παραλείπονται για τις διάφορες τιμές του $k$ συνιστούν την εξής ακολουθία: $0,1,3,6,10$, κτλ. Πιο συγκεκριμένα (βλ. Πίνακα 2): 

ο 1ος όρος είναι το $0$ 

ο 2ος όρος προκύπτει αν στον 1ο όρο προσθέσουμε το $1$ 

ο 3ος όρος προκύπτει αν στον 2ο όρο προσθέσουμε το $2$ 

ο 4ος όρος προκύπτει αν στον 3ο όρο προσθέσουμε το $3$ 

ο 5ος όρος προκύπτει αν στον 4ο όρο προσθέσουμε το $4$, 

κ.ο.κ. 

Πίνακας 2. Οριζόντια σάρωση του Πίνακα 1.

Στο αρχικό κομμάτι της ακολουθίας αυτής εμφανίζεται η γνωστή Πυθαγόρεια «τετρακτύς», το άθροισμα δηλαδή των πρώτων τεσσάρων φυσικών, $1+2+3+4$, το οποίο ισούται με $10$ (βλ. γραμμή $n=3$ στον Πίνακα 2). Για την ιστορία, η τετρακτύς αποτελούσε το ιερό σύμβολο της Πυθαγόρειας σχολής και είχε τεράστια σημασία για τα μέλη της. Για παράδειγμα, στη γεωμετρία, οι αριθμοί $1,2,3$ και $4$ της τετρακτύος αντιστοιχούν στις γεωμετρικές έννοιες σημείο, ευθεία, επίπεδο και χώρος, υπό την έννοια ότι ο αριθμός 1 παριστάνει το σημείο, 2 σημεία ορίζουν μια ευθεία, 3 σημεία ορίζουν ένα επίπεδο και 4 σημεία ορίζουν το χώρο. Επίσης, στη μουσική, οι αριθμοί της τετρακτύος ορίζουν τους θεμελιώδεις αρμονικούς λόγους της τετάρτης ($4:3$), της πέμπτης ($3:2$) και της οκτάβας ($2:1$) που λαμβάνουμε αν χωρίσουμε μια χορδή με χρήση των λόγων αυτών. Κλείνοντας αυτήν τη σύντομη ιστορική αναδρομή, αξίζει να σημειωθεί ότι μια μεγάλη μερίδα ανθρώπων πιστεύει ότι ακόμη και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης έχει τη βάση του ακριβώς στην τετρακτίδα!

Επιστρέφοντας τώρα στην περιγραφή του πίνακα, οι παραλειπόμενοι περιττοί αριθμοί στη γραμμή που αντιστοιχεί στο $n=5$, προέρχονται από αυτούς που ανήκουν στην προαναφερθείσα ακολουθία (για $n=3$), με πολλαπλασιασμό επί $k$ (βλ. Πίνακα 3). Πιο συγκεκριμένα, σαρώνοντας αυτή τη φορά τον πίνακα κάθετα, π.χ. για $k=2$, οι αριθμοί που παραλείπονται για τις διάφορες τιμές του εκθέτη $n$, όπου $n$ περιττός, συνιστούν την εξής ακολουθία: $1,2,4,8$, κτλ. Ο πρώτος όρος δηλαδή είναι το $1$ και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί $2$. Όμοια, για $k=3$, ο πρώτος όρος είναι το $3$ και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί $3$. Γενικότερα, για οποιοδήποτε $k$, ο πρώτος όρος ταυτίζεται με τον $k$-οστό όρο της οριζόντιας ακολουθίας για $n=3$ και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί $k$. Φυσικά γενικεύοντας, για $k=1$, ο πρώτος όρος είναι το $0$ και κάθε επόμενος όρος προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου επί $1$, με άλλα λόγια, όλοι οι όροι ισούνται με $0$, όπως άλλωστε φαίνεται και από τη στήλη $k=1$ του Πίνακα 3.

Πίνακας 3. Κάθετη σάρωση του Πίνακα 1.

Το γενικό συμπέρασμα από τα παραπάνω είναι ότι με ένα μυστηριώδη τρόπο, οποιαδήποτε δύναμη φυσικού αριθμού με φυσικό εκθέτη μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα περιττών αριθμών. Θα μπορούσαμε λοιπόν με ασφάλεια να πούμε ότι οι περιττοί αριθμοί αποτελούν τα δομικά στοιχεία των δυνάμεων. Αριθμοί με μια τόσο σπουδαία ιδιότητα μόνο περιττοί δεν είναι...

Ένα καυτό ματ

Οι περισσότεροί, ακόμη κι αν δεν έχουμε καμία απολύτως σχέση με το σκάκι, θα έχουμε πιθανόν ακουστά το ματ του Ναπολέοντα ή όπως αλλιώς είναι γνωστό το «Ναπολεόντειο ματ»¹. 

Napoleon Bonaparte (15 Αυγούστου 1769 - 5 Μαΐου 1821).

Για το ματ αυτό χρειάζονται μόλις τέσσερις κινήσεις, ωστόσο για να επιτευχθεί στην πράξη, θα πρέπει να το επιτρέψει φιλότιμα ο αντίπαλος. Το ματ αυτό έχει ως εξής:

1. e4 e5, 2. Qh5, ο Λευκός βγάζει πρόωρα τη Βασίλισσα στο σεργιάνι, απειλώντας να πάρει αμέσως το πιόνι στο e5 με σαχ.

2... Nc6 κρατώντας το πιόνι, 3. Bc4

3... Nf6 απειλώντας τη Βασίλισσα, ωστόσο... 4. Qxf7#

Παρά την ονομασία του, η πατρότητα του ματ αυτού δεν είναι εξακριβωμένο ότι ανήκει στον ίδιο τον Ναπολέοντα, καθώς μόνο τρεις παρτίδες του σώζονται μέχρι σήμερα και σε καμία από τις τρεις δεν παρουσιάζεται το εν λόγω ματ². Το πιο πιθανό είναι ότι πρόκειται για μια απλή σύγχυση με το Ναπολεόντειο άνοιγμα που όντως υιοθέτησε ο Ναπολέων και που ουσιαστικά στηρίζεται στην ίδια ιδέα: άμεση επίθεση στον αντίπαλο Βασιλιά με γρήγορη έξοδο της Βασίλισσας.

1. e4 e5, 2. Qf3

Η γρήγορη έξοδος της Βασίλισσας στο άνοιγμα θεωρείται γενικά κακή από στρατηγική άποψη, καθώς θέτει σε κίνδυνο το ισχυρότερο κομμάτι και δίνει τη δυνατότητα στον αντίπαλο να αναπτύξει τα κομμάτια του με «τέμπο» απειλώντας την εκτεθειμένη Βασίλισσα. Ωστόσο, ο Ναπολέων φαίνεται να μην έδινε μεγάλη σημασία σε αυτό, όπως άλλωστε δεν έδινε σημασία ούτε στις φήμες για τις σκανδαλώδεις απιστίες που έκανε στο γάμο τους η σύζυγός του Josephine. Φημολογείται μάλιστα ότι το όνομα αυτού του ανοίγματος είναι ουσιαστικά έμμεση αναφορά στην αδυναμία του Ναπολέοντα να κρατήσει τη Βασίλισσά του στο σπίτι!

Josephine de Beauharnais (23 Ιουνίου 1763 - 29 Μαΐου 1814).

¹Αξίζει να σημειωθεί ότι το ματ αυτό, τουλάχιστον εξ όσων γνωρίζω, είναι το ματ με τα περισσότερα ονόματα. Μερικά από αυτά παρατίθενται στην επόμενη λίστα [1]:

• ματ του λόγιου
• ματ του βοσκού
• ματ του τσαγκάρη
• ματ των παιδιών ή παιδικό
• ματ του σχολείου ή σχολικό
• ματ του τρελού
• ματ του μπαρμπέρη
• ματ του σχολιαρόπαιδου

²Οι τρεις παρτίδες του Ναπολέοντα που σώζονται είναι εναντίον των εξής παικτών: Madame de Remusat, The Turk και General Bertrand. Για την ιστορία, η πιο ενδιαφέρουσα παρτίδα από τις τρεις, είναι η δεύτερη, στην οποία ο Ναπολέων έπεξε εναντίον του The Turk, μιας αυτόματης σκακιστικής μηχανής «μούφα», πίσω από την οποία βρισκόταν ο Johann Allgaier.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Scholar%27s_mate

2ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές»

Για δεύτερη συνεχόμενη χρονιά διεξήχθη με επιτυχία ο μαθηματικός διαγωνισμός για παιδιά δημοτικού με τίτλο «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές», ο οποίος πλέον τείνει να καθιερωθεί ως θεσμός στο πλαίσιο του παιδικού τουρνουά σκακιού Σ.Α. Συκεών-Νεάπολης και του ομαδικού πρωταθλήματος ακαδημιών «Θεοφάνης Δρόσος». Όμοια με πέρσι, ο διαγωνισμός φιλοξενήθηκε στις εγκαταστάσεις του ξενοδοχείου «Φιλίππειο», την Κυριακή 30 Απριλίου 2017. Σχεδόν όλα τα παιδιά που έλαβαν μέρος στον 1^ο διαγωνισμό έδωσαν ξανά το παρόν τους, ενώ αρκετές ήταν και οι νέες συμμετοχές που ήρθαν να προστεθούν στο φετινό διαγωνισμό.

Πληροφορίες σχετικά με τους κανόνες, τον τρόπο διεξαγωγής, καθώς και το σκοπό αυτού του διαγωνισμού υπάρχουν στον παρακάτω σύνδεσμο.

1^ος Μαθηματικός διαγωνισμός «Μαθηματικά για μικρούς σκακιστές».

Επίσης, για όσους ενδιαφέρονται, όλα τα θέματα μαζί με τις λύσεις τους βρίσκονται στους παρακάτω συνδέσμους:

ΘΕΜΑΤΑ Α' & Β' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ Α' & Β' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ Γ' & Δ' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ Γ' & Δ' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ Ε' & ΣΤ' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ Ε' & ΣΤ' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Αναφορικά με το αγωνιστικό κομμάτι του διαγωνισμού, οι διακριθέντες από κάθε τάξη είναι οι εξής:

Α' Δημοτικού: Πεχλιβανίδης Αστέριος

Β' Δημοτικού: Αλευρίδης Γεώργιος

Γ' Δημοτικού: Αλευρίδης Ιωάννης

Δ' Δημοτικού: Χειλαδάκης Βασίλειος

Ε' Δημοτικού: Καλογρίδης Αντώνιος

ΣΤ' Δημοτικού: Τσουχνικάς Ορέστης

Οι επίσημες βραβεύσεις θα γίνουν στο Φιλίππειο την Κυριακή 7 Μαΐου 2017 παράλληλα με τις βραβεύσεις του σκακιστικού τουρνουά. Θερμές ευχαριστίες σε όλα τα παιδιά που έλαβαν μέρος, αλλά και στους γονείς, οι οποίοι με τη συναίνεσή τους συμβάλλουν στη διεξαγωγή παρόμοιων εκδηλώσεων πολιτισμού.

0-100km/h vs 0-400m

Δύο αυτοκίνητα Α και Β είναι στημένα στην αφετηρία ενός αγώνα δρόμου 400 μέτρων. Το αυτοκίνητο Α πιάνει τα 100km/h από στάση σε 9,29sec και το Β σε 10,34sec. Είναι δυνατόν το Β να διανύσει την απόσταση των 400 μέτρων γρηγορότερα από το Α; Με άλλα λόγια, είναι δυνατόν το Β να έχει καλύτερο 0-400m από το Α;

Το 0-100km/h και το 0-400m είναι τα δύο συνηθέστερα μέτρα που χρησιμοποιούνται στις εργοστασιακές προδιαγραφές ενός αυτοκινήτου. Ποιο από τα δύο όμως είναι «καλύτερο»; Η απάντηση είναι κανένα. Τα δύο αυτά μέτρα δεν είναι συγκρίσιμα. Το 0-100km/h εκτιμά τη μέση επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου, ενώ το 0-400m εκτιμά τη μέση ταχύτητά του. Συνεπώς, το ποιο από τα δύο αυτά μέτρα είναι πιο χρήσιμο εξαρτάται από το τι ακριβώς επιδιώκουμε να μετρήσουμε. 

Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, ουσιαστικά μας ενδιαφέρει να μάθουμε εάν το αυτοκίνητο Β το οποίο έχει μικρότερη μέση επιτάχυνση στο εύρος τιμών της ταχύτητας από 0 έως 100km/h, μπορεί να αποκτήσει μεγαλύτερη μέση ταχύτητα στα πρώτα 400m. Το επόμενο παράδειγμα θα μας πείσει ότι κάτι τέτοιο είναι όντως δυνατόν. Ο λόγος είναι ότι δεν έχει σημασία μόνο ο χρόνος που χρειάζεται για να πιάσει ένα αυτοκίνητο τα 100km/h, αλλά και ο τρόπος με τον οποίο το πετυχαίνει αυτό. 

Έστω ότι οι τύποι που δίνουν την ταχύτητα των Α και Β ως συνάρτηση του χρόνου είναι οι $v_A(t)=18\cdot t^{0,77}$ και $v_B(t)=59,5\cdot t^{0,22}$, αντίστοιχα και ας θεωρήσουμε το επόμενο διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου για τα δύο αυτοκίνητα (βλ. Διάγραμμα 1). Είναι φανερό ότι τα Α και Β αγγίζουν τα 100km/h σε 9,29sec και 10,34sec, αντίστοιχα. Το Α δηλαδή έχει καλύτερο 0-100km/h. Είναι όμως επίσης φανερό ότι στα πρώτα δευτερόλεπτα, το αυτοκίνητο Β επιταχύνει πολύ πιο γρήγορα από το Α. Για παράδειγμα, στο πρώτο δευτερόλεπτο μετά την εκκίνηση, το Β τρέχει ήδη με 60km/h, ενώ την ίδια στιγμή το Α τρέχει με μόλις 20km/h κατά προσέγγιση, δηλαδή έχει ταχύτητα περίπου το 1/3 του Β. 

Διάγραμμα 1.

Ας δούμε τώρα ποιο αυτοκίνητο διανύει πρώτο τα 400 μέτρα. Η απόσταση που διανύει το κάθε αυτοκίνητο δίνεται από το εμβαδόν του χωρίου κάτω από τη γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης-ταχύτητας (βλ. Διάγραμμα 1) και βρίσκεται υπολογίζοντας τα παρακάτω ολοκληρώματα αφού μετατρέψουμε τις μονάδες από km/h σε m/sec:

$$x_A(t)={\int }_0^t\frac{10}{36}\cdot u_A(w)\cdot dw=2,83\cdot t^{1,77}$$

$$x_B(t)={\int }_0^t\frac{10}{36}\cdot u_B(w)\cdot dw=13,52\cdot t^{1,22}$$

Το διάγραμμα θέσης-χρόνου για τα Α και Β με βάση τους παραπάνω τύπους δίνεται στο Διάγραμμα 2. 

Διάγραμμα 2.

Παρότι, όπως προέκυψε από το Διάγραμμα 1, το αυτοκίνητο Α έχει καλύτερο 0-100km/h, από το Διάγραμμα 2 φαίνεται ότι αυτοκίνητο Β κερδίζει τον αγώνα, αφού διανύει τα 400m σε 15,98sec, ενώ το αυτοκίνητο Α τερματίζει δεύτερο με χρόνο 16,43sec, δηλαδή περίπου μισό δευτερόλεπτο αργότερα. Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι το Β προηγείται σε όλη τη διάρκεια του αγώνα, αφού η καμπύλη του $x_B(t)$ βρίσκεται επάνω από την αντίστοιχη του $x_A(t)$. Για παράδειγμα, είναι εντυπωσιακό ότι τη στιγμή που το Β έχει διανύσει τα πρώτα 100m, το Α βρίσκεται ακόμη περίπου στα 50m. Ωστόσο, θα πρέπει να τονιστεί ότι αν ο αγώνας συνεχιζόταν για μερικά επιπλέον μέτρα, το Β θα κατάφερνε τελικά να προσπεράσει το Α και να κερδίσει, καθώς τη στιγμή του τερματισμού (στα 400m ακριβώς δηλαδή), όπως προκύπτει από τους τύπους της ταχύτητας, το Α έχει στιγμιαία ταχύτητα γύρω στα 155km/h, ενώ το Β έχει περίπου 110km/h και από το σημείο εκείνο κι έπειτα η ταχύτητα του Α παραμένει μεγαλύτερη του Β. Πιο συγκεκριμένα, από το Διάγραμμα 2, το Α θα έφτανε και θα προσπερνούσε το Β περίπου στα 450m κι ενώ το χρονόμετρο θα έδειχνε 17,6sec.

Το παραπάνω είναι ένα παράδειγμα που δείχνει ότι η μέση τιμή αν και είναι ένα ωραίο και συχνά χρήσιμο στατιστικό μέτρο θέσης, αγνοεί σημαντική πληροφορία οδηγώντας ενίοτε σε λανθασμένα συμπεράσματα.