Thursday, 13 April 2017

0-100km/h vs 0-400m

Δύο αυτοκίνητα Α και Β είναι στημένα στην αφετηρία ενός αγώνα δρόμου 400 μέτρων. Το αυτοκίνητο Α πιάνει τα 100km/h από στάση σε 9,29sec και το Β σε 10,34sec. Είναι δυνατόν το Β να διανύσει την απόσταση των 400 μέτρων γρηγορότερα από το Α; Με άλλα λόγια, είναι δυνατόν το Β να έχει καλύτερο 0-400m από το Α;

Το 0-100km/h και το 0-400m είναι τα δύο συνηθέστερα μέτρα που χρησιμοποιούνται στις εργοστασιακές προδιαγραφές ενός αυτοκινήτου. Ποιο από τα δύο όμως είναι «καλύτερο»; Η απάντηση είναι κανένα. Τα δύο αυτά μέτρα δεν είναι συγκρίσιμα. Το 0-100km/h εκτιμά τη μέση επιτάχυνση ενός αυτοκινήτου, ενώ το 0-400m εκτιμά τη μέση ταχύτητά του. Συνεπώς, το ποιο από τα δύο αυτά μέτρα είναι πιο χρήσιμο εξαρτάται από το τι ακριβώς επιδιώκουμε να μετρήσουμε. 

Επιστρέφοντας στο αρχικό ερώτημα, ουσιαστικά μας ενδιαφέρει να μάθουμε εάν το αυτοκίνητο Β το οποίο έχει μικρότερη μέση επιτάχυνση στο εύρος τιμών της ταχύτητας από 0 έως 100km/h, μπορεί να αποκτήσει μεγαλύτερη μέση ταχύτητα στα πρώτα 400m. Το επόμενο παράδειγμα θα μας πείσει ότι κάτι τέτοιο είναι όντως δυνατόν. Ο λόγος είναι ότι δεν έχει σημασία μόνο ο χρόνος που χρειάζεται για να πιάσει ένα αυτοκίνητο τα 100km/h, αλλά και ο τρόπος με τον οποίο το πετυχαίνει αυτό. 

Έστω ότι οι τύποι που δίνουν την ταχύτητα των Α και Β ως συνάρτηση του χρόνου είναι οι $v_A(t) = 18 \cdot t^{0,77}$ και $v_B(t) = 59,5 \cdot t^{0,22}$, αντίστοιχα και ας θεωρήσουμε το επόμενο διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου για τα δύο αυτοκίνητα (βλ. Διάγραμμα 1). Είναι φανερό ότι τα Α και Β αγγίζουν τα 100km/h σε 9,29sec και 10,34sec, αντίστοιχα. Το Α δηλαδή έχει καλύτερο 0-100km/h. Είναι όμως επίσης φανερό ότι στα πρώτα δευτερόλεπτα, το αυτοκίνητο Β επιταχύνει πολύ πιο γρήγορα από το Α. Για παράδειγμα, στο πρώτο δευτερόλεπτο μετά την εκκίνηση, το Β τρέχει ήδη με 60km/h, ενώ την ίδια στιγμή το Α τρέχει με μόλις 20km/h κατά προσέγγιση, δηλαδή έχει ταχύτητα περίπου το 1/3 του Β. 
Διάγραμμα 1.
Ας δούμε τώρα ποιο αυτοκίνητο διανύει πρώτο τα 400 μέτρα. Η απόσταση που διανύει το κάθε αυτοκίνητο δίνεται από το εμβαδόν του χωρίου κάτω από τη γραφική παράσταση της αντίστοιχης συνάρτησης-ταχύτητας (βλ. Διάγραμμα 1) και βρίσκεται υπολογίζοντας τα παρακάτω ολοκληρώματα αφού μετατρέψουμε τις μονάδες από km/h σε m/sec:

$x_A(t) = \int_0^t {\frac{10}{36} \cdot u_A(w) \cdot dw} = 2,83 \cdot t^{1,77}$ 

$x_B(t) = \int_0^t {\frac{10}{36} \cdot u_B(w) \cdot dw} = 13,52 \cdot t^{1,22}$

Το διάγραμμα θέσης-χρόνου για τα Α και Β με βάση τους παραπάνω τύπους δίνεται στο Διάγραμμα 2. 
Διάγραμμα 2.
Παρότι, όπως προέκυψε από το Διάγραμμα 1, το αυτοκίνητο Α έχει καλύτερο 0-100km/h, από το Διάγραμμα 2 φαίνεται ότι αυτοκίνητο Β κερδίζει τον αγώνα, αφού διανύει τα 400m σε 15,98sec, ενώ το αυτοκίνητο Α τερματίζει δεύτερο με χρόνο 16,43sec, δηλαδή περίπου μισό δευτερόλεπτο αργότερα. Επίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι το Β προηγείται σε όλη τη διάρκεια του αγώνα, αφού η καμπύλη του $x_B(t)$ βρίσκεται επάνω από την αντίστοιχη του $x_A(t)$. Για παράδειγμα, είναι εντυπωσιακό ότι τη στιγμή που το Β έχει διανύσει τα πρώτα 100m, το Α βρίσκεται ακόμη περίπου στα 50m. Ωστόσο, θα πρέπει να τονιστεί ότι αν ο αγώνας συνεχιζόταν για μερικά επιπλέον μέτρα, το Β θα κατάφερνε τελικά να προσπεράσει το Α και να κερδίσει, καθώς τη στιγμή του τερματισμού (στα 400m ακριβώς δηλαδή), όπως προκύπτει από τους τύπους της ταχύτητας, το Α έχει στιγμιαία ταχύτητα γύρω στα 155km/h, ενώ το Β έχει περίπου 110km/h και από το σημείο εκείνο κι έπειτα η ταχύτητα του Α παραμένει μεγαλύτερη του Β. Πιο συγκεκριμένα, από το Διάγραμμα 2, το Α θα έφτανε και θα προσπερνούσε το Β περίπου στα 450m κι ενώ το χρονόμετρο θα έδειχνε 17,6sec.

Το παραπάνω είναι ένα παράδειγμα που δείχνει ότι η μέση τιμή αν και είναι ένα ωραίο και συχνά χρήσιμο στατιστικό μέτρο θέσης, αγνοεί σημαντική πληροφορία οδηγώντας ενίοτε σε λανθασμένα συμπεράσματα. 

No comments:

Post a Comment