Ο περίπατος του Abel

Στον λατρεμένο μου Abel

Το όνομα Abel για το μεγαλύτερο τμήμα του πληθυσμού παραπέμπει στο μεγάλο μαθηματικό του 19ου αιώνα Niels Henrik Abel (1802-1829). Για μένα, εδώ και τριάμισι χρόνια, στο όνομα Abel ακούει το αγαπημένο μου λαμπραντοράκι που απεικονίζεται στην Εικόνα 1. 

Εικόνα 1. Abel.

Ο Abel (ο δικός μου ευτυχώς...) αγαπάει τη γυναίκα μου δύο φορές όσο εμένα και δεν χάνει ευκαιρία να το αποδεικνύει με κάθε τρόπο. Ακόμη και στις βόλτες έχει έναν πολύ ιδιαίτερο τρόπο να το δείχνει. Όταν βγαίνουμε οι τρεις μας, φροντίζει πάντα να κρατάει διπλάσια απόσταση από εμένα σε σχέση με τη γυναίκα μου. Ένα μέτρο από τη γυναίκα μου; Δύο από μένα. Δύο μέτρα από τη γυναίκα μου; Τέσσερα από μένα. 

Στη χθεσινή μας απογευματινή βόλτα, κάποια στιγμή, εξαντλημένοι όλοι από τη ζέστη στεκόμαστε κάτω από ένα δέντρο για να πάρουμε μια ανάσα. Ο Abel λαχανιασμένος σωριάζεται ανάμεσά μας με τη γλώσσα έξω, κρατώντας όπως πάντα το γνωστό λόγο 2 προς 1 των αποστάσεων (βλ. Εικόνα 2). Ξαφνικά, ενώ ξαποσταίνουμε, σκάει μύτη μια γάτα στο απέναντι πεζοδρόμιο. Δεν περνάν πάνω από δύο δευτερόλεπτα ώσπου αντιλαμβάνεται ο Abel τη γατούλα. Στα επόμενα δύο, αφού έχει ήδη φερμάρει, ξεχνάει στη στιγμή τη ζέστη και την κούραση και αρχίζει να τρέχει σαν τρελός. Είναι εκείνη ακριβώς η στιγμή που μένω εμβρόντητος, αφού διαπιστώνω το μέγεθος της νοημοσύνης του σκύλου μου. Ο Abel, παραμερίζοντας το ένστικτο υπέρ της λογικής, καταφέρνει να διαγράψει τέτοια τροχιά ώστε να μην παραβιάσει ούτε στιγμή το λόγο των αποστάσεων ανάμεσα σε μένα και τη γυναίκα μου!

Εικόνα 2. Η στιγμή που αρχίζει να τρέχει ο Abel.

Τι τροχιά διέγραψε ο Abel;

Αν και υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να λύσουμε το πρόβλημα αυτό, εδώ θα παρουσιάσω τη λύση με χρήση διανυσματικού λογισμού που μου πρότεινε ο ίδιος ο Abel στη χθεσινοβραδινή μας κουβέντα, στην οποία του εξέθεσα την απορία μου πώς τα καταφέρνει τόσο καλά με τα μαθηματικά... 

Ας θεωρήσουμε ότι εγώ βρίσκομαι στο σημείο \( A \) και η γυναίκα μου στο σημείο \( O \), το οποίο και θέτουμε ως αρχή των αξόνων του καρτεσιανού επιπέδου που ταυτίζεται με το επίπεδο της γης. Έστω επίσης \( T \) το σημείο στο οποίο βρίσκεται το δέντρο, έτσι ώστε η απόσταση \( (OT) \) του δέντρου από τη γυναίκα μου να ισούται με το \( \frac{1}{3} \) της απόστασης \( (OA) \) της γυναίκας μου από μένα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 2. Για παράδειγμα, ας είναι \( (OA) = 3m \) και \( (OT) = 1m \). Αν συμβολίσουμε με \( K \) το σημείο στο οποίο βρίσκεται ο Abel, ουσιαστικά αναζητάμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει \( \| \vec{AK} \| = 2 \| \vec{OK} \| \). Τότε έχουμε:

\[ \| \vec{AK} \| = 2 \| \vec{OK} \| \Leftrightarrow \| \vec{AK} \|^2 = 4 \| \vec{OK} \|^2 \Leftrightarrow (\vec{AK})^2 = 4 (\vec{OK})^2 \]

\[ \Leftrightarrow (\vec{OK} - \vec{OA})^2 = 4 (\vec{OK})^2 \Leftrightarrow (\vec{OK})^2 - 2 \vec{OK} \vec{OA} + (\vec{OA})^2 = 4 (\vec{OK})^2 \]

\[ \Leftrightarrow 3 (\vec{OK})^2 + 2 \vec{OK} \vec{OA} - (\vec{OA})^2 = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{OK})^2 + \frac{2}{3} \vec{OK} \vec{OA} - \frac{1}{3} (\vec{OA})^2 = \vec{0} \]

\[ \Leftrightarrow (\vec{OK})^2 + 2 \vec{OK} \frac{1}{3} \vec{OA} + \left( \frac{1}{3} \vec{OA} \right)^2 = \frac{4}{9} (\vec{OA})^2 \]

\[ \Leftrightarrow \left( \vec{OK} + \frac{1}{3} \vec{OA} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \vec{OA} \right)^2 \]

\[ \Leftrightarrow \| \vec{OK} - \left( - \frac{1}{3} \vec{OA} \right) \| = \| \frac{2}{3} \vec{OA} \| \]

Η τελευταία αποτελεί εξίσωση κύκλου με ακτίνα \( \rho = \frac{2}{3} \| \vec{OA} \| \) και κέντρο με διανυσματική ακτίνα \( - \frac{1}{3} \vec{OA} \). Παρατηρούμε ότι το κέντρο του κύκλου συμπίπτει με τη θέση του δέντρου. Με απλά λόγια, ο Abel διέγραψε τέλειο κύκλο γύρω από το δέντρο! Αυτό επαληθεύεται και εποπτικά από την Εικόνα 3, η οποία αποτελεί κάτοψη της Εικόνας 2. Πράγματι, όσο ο Abel κινείται επί του κύκλου, η απόστασή του από το \( A \) είναι διπλάσια της απόστασης από το \( O \). Για παράδειγμα, \( (AK_1) = 2 (OK_1) \) και \( (AK_2) = 2 (OK_2) \), όπου \( K_1 \) και \( K_2 \) είναι δύο τυχαία σημεία επί της τροχιάς του Abel. Φυσικά θα πρέπει να πούμε ότι η εξίσωση, όπως ήταν αναμενόμενο επαληθεύεται και από την αρχική θέση \( K \) του Abel.

Εικόνα 3. Κάτοψη της Εικόνας 2.

Με παρόμοιους συλλογισμούς, αποδεικνύεται γενικότερα ότι ανεξάρτητα από το λόγο μεταξύ των αποστάσεων \( (AK) \) και \( (OK) \), η τροχιά που θα διαγράψει ο Abel είναι πάντοτε κύκλος, δεδομένου ότι ο λόγος αυτός παραμένει σταθερός! Πιο συγκεκριμένα, έστω \( \rho = \frac{(AK)}{(OK)} \), με \( \rho \) οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό. Τότε χρησιμοποιώντας ακριβώς τα ίδια μαθηματικά τεχνάσματα καταλήγουμε στη σχέση:

\[ \| \vec{OK} - (- \frac{1}{\rho^2 - 1} \vec{OA} ) \| = | \frac{\rho}{\rho^2 - 1} | \cdot \| \vec{OA} \| \]

η οποία εκφράζει κύκλο με κέντρο \( - \frac{1}{\rho^2 - 1} \vec{OA} \) και ακτίνα \( | \frac{\rho}{\rho^2 - 1} | \cdot \| \vec{OA} \| \). Εύκολα μάλιστα διαπιστώνουμε ότι αν θέσουμε \( \rho = 2 \) στη γενική έκφραση, λαμβάνουμε τη λύση του αρχικού προβλήματος. Παρατηρούμε ότι ενώ για \( \rho>1 \) το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στα αριστερά του σημείου \( O \), όταν \( 0<\rho<1 \) το κέντρο μετακινείται στα δεξιά του σημείου \( A \). Πάντως, σε κάθε περίπτωση ο κύκλος διέρχεται από το σημείο \( K \). Τέλος, σημειώνουμε ότι αν \( \rho = 1 \), αν δηλαδή \( (AK) = (OK) \), τότε ο Abel κινείται επί της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος \( OA \). Εναλλακτικά, με χρήση της γενικής έκφρασης μπορούμε να θεωρήσουμε ότι στην οριακή αυτή περίπτωση παίρνουμε ως λύση τον κοινό τόπο των δύο κύκλων με άπειρη ακτίνα, εκ των οποίων ο ένας έχει κέντρο στο \( -\infty \) (όταν \( \rho \rightarrow 1^+ \)) και ο άλλος στο \( +\infty \) (όταν \(\rho \rightarrow 1^- \)) του άξονα \( OA \).

Ο κύκλος στην αρχαιότητα, λόγω απόλυτης συμμετρίας, υπήρξε το σύμβολο της τελειότητας. Αρκεί να θυμηθούμε την ξεχωριστή θέση που καταλάμβανε στον πλατωνικό κόσμο των ιδεών. Επιπλέον, με τη μεταφορική έννοια, για τους πυθαγόρειους συμβόλιζε τη διηνεκή επανάληψη των μετενσαρκώσεων. Παράλληλα, κάποια ζώα μεταξύ των οποίων η γάτα, η αγελάδα αλλά και ο σκύλος υπήρξαν ανά τους αιώνες αντικείμενα λατρείας. Διόλου άδικα αν αναλογιστεί κανείς τις αρετές - και δεν αναφέρομαι στη λογική, αλλά στην ηθική - που συγκεντρώνουν τα ζώα σε αντίθεση με το φαύλο ανθρώπινο είδος. Φανταστείτε τώρα, λαμβάνοντας υπόψιν συλλήβδην τα παραπάνω, τι μπορεί να σημαίνει για μένα ένας σκύλος που διαγράφει κύκλους...!