Saturday, 13 August 2016

Ο γρίφος του Σταύρου Σκόνδρα

Μπαίνει ένας πελάτης σε ένα φούρνο.

- Καλημέρα σας! Θα ήθελα να αγοράσω τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί.

Ο φούρναρης κάνει τους υπολογισμούς του, ρίχνει μια ματιά στο ράφι και τον εξυπηρετεί. Μετά από λίγο μπαίνει ένας δεύτερος πελάτης:

- Καλημέρα σας! Θα ήθελα να αγοράσω τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί.

Ο φούρναρης ξανακάνει τους υπολογισμούς του και τον εξυπηρετεί και αυτόν. Τέλος, μπαίνει και τρίτος πελάτης και ζητάει ακριβώς το ίδιο:

- Καλημέρα σας! Θα ήθελα να αγοράσω τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί.

Ο φούρναρης αυτή τη φορά φανερά ανήσυχος κοιτάζει το ράφι και για καλή του τύχη διαπιστώνει ότι του έχει απομείνει ακριβώς αυτό που του ζήτησε ο τρίτος πελάτης. Του το δίνει λοιπόν και κλείνει το φούρνο μιας και εξαντλήθηκαν όλα τα ψωμιά του.

Πόσα ψωμιά είχε ο φούρνος στην αρχή; (προτού δηλαδή μπει ο πρώτος πελάτης).

Το εύλογο ερώτημα που δημιουργείται στο σημείο αυτό είναι -για όσους δε γνωρίζουν- ποιος είναι αυτός ο Σταύρος Σκόνδρας και που κολλάει στο γρίφο... Πριν προχωρήσουμε στη λύση ας ανοίξουμε λοιπόν μια μικρή παρένθεση. 

Ο Σταύρος Σκόνδρας είναι ένας από τους σπουδαιότερους Έλληνες σκακιστές, που μας άφησε για πάντα σαν σήμερα στις 13 Αυγούστου 2014. Το όνομά του είναι συνυφασμένο με τη σκακιστική μου ομάδα του "Φοίβου" Συκεών, όπου είχα την τύχη και την τιμή να είμαι συμπαίκτης του. Η προσφορά του στο ελληνικό σκάκι, τόσο με το σκακιστικό του ταλέντο όσο και με το σπάνιο χαρακτήρα του ήταν τεράστια. Ο Σταύρος υπήρξε σήμα κατατεθέν της αγωνιστικότητας και παράλληλα της ευγενούς άμιλλας. Η συμπεριφορά του επάνω αλλά και μακριά από τη σκακιέρα υπήρξε υποδειγματική. Δεν γνώριζε τι σημαίνει υπεροψία, τον διέκρινε πάντα η ταπεινότητα, η καλοσύνη, η ευγένεια κι ένα μόνιμο χαμόγελο στα χείλη κάνοντάς τον αγαπητό στους πάντες. Η ζωή του αποτέλεσε παράδειγμα του τι σημαίνει αφοσίωση σε κάτι που αγαπάμε. Το πάθος του για το σκάκι παρέμεινε ασίγαστο μέχρι την τελευταία στιγμή της ζωής του. Ανέπνεε από το σκάκι και ζούσε για αυτό. Όσοι γνώρισαν τον Σταύρο ξέρουν ότι τα παραπάνω είναι πολύ λίγα για να τον χαρακτηρίσουν. 

Σταύρος Σκόνδρας (1938-2014).
Ο Σταύρος είναι εκείνος που μου έθεσε τον παραπάνω γρίφο. Μάλιστα, αν και ήταν σε θέση να δώσει την απάντηση με διαισθητικό τρόπο, ζήτησε από εμένα να του δείξω την αυστηρά μαθηματική λύση με «εξισώσεις», όπως μου είπε χαρακτηριστικά. Για να δείτε τη λύση του γρίφου πατήστε «Read more».



Λύση: 

Έστω $x_{\nu}$ τα ψωμιά που είχε ο φούρνος πριν έρθει ο $\nu$-οστός πελάτης.

Το κλειδί της επίλυσης αυτού του γρίφου είναι να δούμε το πρόβλημα αντίστροφα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν από το τέλος. Για να έχουν εξαντληθεί όλα τα ψωμιά μετά τον τρίτο πελάτη θα πρέπει τα μισά ψωμιά που είχε διαθέσιμα ο φούρνος συν το μισό ψωμί να είναι όλα τα ψωμιά του φούρνου, κάτι που γίνεται μόνο αν ο φούρνος είχε ακριβώς ένα ψωμί. 
$$\frac{x_3}{2} + \frac{1}{2} = x_3 \Leftrightarrow x_3 = 1$$
Τώρα, για να έχει μείνει ένα ψωμί μετά το δεύτερο πελάτη, θα πρέπει αν προσθέσουμε σε αυτό το ένα ψωμί τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί, αυτό να ισούται με όλα τα ψωμιά του φούρνου, κάτι που γίνεται μόνο αν ο φούρνος είχε 3 ψωμιά.
$$\frac{x_2}{2} + \frac{1}{2} + x_3 = x_2 \Leftrightarrow x_2 = 3$$
Τέλος (ή μάλλον αρχή...), με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό, για να έχουν μείνει τρία ψωμιά μετά τον πρώτο πελάτη, θα πρέπει αν προσθέσουμε σε αυτά τα τρια ψωμιά τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί, αυτό να ισούται με όλα τα ψωμιά του φούρνου, κάτι που γίνεται μόνο αν ο φούρνος είχε 7 ψωμιά.
$$\frac{x_1}{2} + \frac{1}{2} + x_2 = x_1 \Leftrightarrow x_1 = 7$$
Άρα ο φούρνος στην αρχή είχε 7 ψωμιά.


Μιας και θα ήθελα να θυμάμαι τον Σταύρο με χαρά, κι επειδή ξέρω ότι θα γελούσε και ο ίδιος αν με άκουγε, θα ήθελα να του πω αστειευόμενος ότι μας άφησε πρόωρα, πριν φάει τα δικά του ψωμιά...

No comments:

Post a Comment