Sunday, 21 August 2016

Περισσότερα ψωμιά

Μια από τις αγαπημένες συνήθειες των μαθηματικών - κάποιες φορές σε εκνευριστικό βαθμό για τους άλλους - είναι να γενικεύουν ένα συμπέρασμα. Έχει κυκλοφορήσει άλλωστε και το επόμενο ανέκδοτο. 

Ένας μηχανικός και ένας μαθηματικός παρακολουθούσαν ένα συνέδριο φυσικής με θέμα τη θεωρία χορδών και τους χώρους 5 διαστάσεων. Ο μαθηματικός άκουγε με μεγάλο ενδιαφέρον τη διάλεξη, ενώ ο μηχανικός παρακολουθούσε αποσβολωμένος και έδειχνε να μην καταλαβαίνει τίποτα. Κάποια στιγμή όταν τελείωσε η διάλεξη ρωτάει απορημένος ο μηχανικός τον μαθηματικό:
- Μα πώς μπορείς και αντιλαμβάνεσαι ένα χώρο 5 διαστάσεων;
- Είναι απλό! Σκέφτομαι ένα ν-διάστατο χώρο και μετά θέτω όπου ν ίσον 5...

Μια τέτοια γενίκευση θα επιχειρήσουμε κι εμείς εδώ. Στο τελευταίο post, είδαμε το γρίφο του Σταύρου Σκόνδρα. Στο γρίφο αυτό υπενθυμίζουμε ότι μπήκαν διαδοχικά 3 πελάτες στο φούρνο με κοινή απαίτηση να αγοράσουν τα μισά ψωμιά συν μισό ψωμί. Είδαμε ότι για να εξυπηρετήσει ο φούρνος «ακριβώς» και τους 3 πελάτες θα πρέπει να έχει αρχικά 7 ψωμιά. Το ερώτημα τώρα είναι πόσα ψωμιά πρέπει να έχει ο φούρνος για να εξυπηρετήσει 4, 5, 10 και γενικότερα ν πελάτες, με τις ίδιες προϋποθέσεις του προβλήματος;



Για να δείτε τη λύση πατήστε «Read more».


Στο βασικό γρίφο είχαμε δει ότι εάν θέσουμε $x_{\nu}$ το πλήθος των ψωμιών του φούρνου προτού μπει ο $\nu$-οστός πελάτης, τότε
$$x_1 - \left( \frac{x_1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0 \Leftrightarrow  x_1 = 1 = 2^0$$
$$x_2 - \left( \frac{x_2}{2} + \frac{1}{2} \right) = x_1 \Leftrightarrow x_2 = 2x_1 + 1 = 2 + 1 = 2^1 + 2^0$$
$$x_3 - \left( \frac{x_3}{2} + \frac{1}{2} \right) = x_2 = 2x_1 + 1 \Leftrightarrow \frac{x_3}{2} = 2x_1 + 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow x_3 = 4x_1 + 2 + 1 = 2^2 + 2^1 + 2^0$$
Συνεχίζοντας αυτήν τη διαδικασία προκύπτει ότι
$$x_{\nu} - \left( \frac{x_{\nu}}{2} + \frac{1}{2} \right) = x_{\nu-1} \Leftrightarrow \frac{x_{\nu}}{2} = x_{\nu-1} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow x_{\nu} = 2x_{\nu-1} + 1 = 2^{\nu-1} + 2^{\nu-2} + \dots + 2^1 + 2^0$$
Έχουμε δηλαδή ότι
$$x_{\nu} = 2^{\nu-1} + 2^{\nu-2} + \dots + 2 + 1$$
που είναι το άθροισμα των όρων γεωμετρικής προόδου. Πολλαπλασιάζοντας την προηγούμενη σχέση κατά μέλη με 2 παίρνουμε
$$2x_{\nu} = 2^{\nu} + \left( 2^{\nu-1} + \dots + 2 \right) = 2^{\nu} + x_{\nu} -1$$
από όπου προκύπτει
$$x_{\nu} = 2^{\nu} - 1$$
Εύκολα επαληθεύονται με τη χρήση του τύπου αυτού τα ήδη γνωστά σε εμάς
$$x_1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$$
$$x_2 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$$
$$x_3 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$$
Θέτοντας λοιπόν όπου $\nu=4, 5$ και $10$ λαμβάνουμε
$$x_4 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$$
$$x_5 = 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$$
$$x_{10} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$$
Κλείνοντας, έχει ενδιαφέρον να πούμε ότι το ερώτημα θα μπορούσε να διατυπωθεί και αντιστρόφως. Για παράδειγμα, πόσοι πελάτες μπήκαν στο φούρνο δεδομένου ότι αυτός είχε στην αρχή 2047 ψωμιά και εξαντλήθηκαν στο τέλος όλα; Πάλι, με χρήση του βασικού μας τύπου
$$x_{\nu} = 2^{\nu} - 1$$
αλλά με άγνωστο αυτή τη φορά το πλήθος $\nu$ των πελατών έχουμε 
$$2047 = 2^{\nu} - 1$$
$$\Leftrightarrow 2^{\nu} = 2047 + 1 = 2048 = 2^{11}$$
$$\Leftrightarrow \nu=11$$

No comments:

Post a Comment