Επαγωγική vs παραγωγική μέθοδος ή μαύρα κοράκια, άσπρα πρόβατα και άγιος ο θεός

Στον αδερφό μου Δημήτρη, ο οποίος σε μικρή ηλικία μου δίδαξε μεταξύ άλλων την αξία του να σκέφτεται κανείς ορθά, αλλά και του να σκέφτεται κανείς, σκέτα!

Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την πρόταση «όλα τα κοράκια είναι μαύρα». Ο μόνος τρόπος για να το αποδείξουμε αυτό είναι να καταφέρουμε να δούμε όλα τα κοράκια του κόσμου και να εξετάσουμε το χρώμα τους. Αν έστω και ένα κοράκι δεν είναι μαύρο, τότε η πρόταση είναι ψευδής. Αν όλα τα κοράκια είναι μαύρα, τότε είναι αληθής. Επειδή στην πράξη είναι αδύνατο να εντοπίσουμε όλα τα κοράκια και να ελέγξουμε το χρώμα τους, αρκούμαστε στο εργαλείο που μας προσφέρει η λογική, την επαγωγική μέθοδο, τη μέθοδο δηλαδή που από ένα σύνολο επαληθευτικών στιγμιότυπων μιας πρότασης, επάγει την καθολική αλήθεια αυτής της πρότασης.

Την επαγωγική μέθοδο χρησιμοποιούμε πολύ συχνά, τις περισσότερες φορές υποσυνείδητα, ώστε να αποφαινόμαστε για προβλήματα που αφορούν στην καθημερινότητά μας και να παίρνουμε αποφάσεις που αν και περιέχουν ένα ρίσκο αβεβαιότητας, μας επιτρέπουν να πορευόμαστε στη ζωή μας. Χαρακτηριστικό είναι το επόμενο παράδειγμα. Στην ερώτηση «αύριο θα ανατείλει ο ήλιος;», μάλλον όλοι θα απαντούσαμε «φυσικά και θα ανατείλει». Τι μας κάνει όμως να είμαστε τόσο σίγουροι; Μάλλον το ότι αυτό συνέβαινε κάθε πρωί από τη μέρα που γεννηθήκαμε, αλλά και όλα τα χρόνια πριν γεννηθούμε, όπως μας διαβεβαιώνουν οι πρόγονοί μας. 

Όπως φαίνεται από το παραπάνω παράδειγμα, η αδυναμία της επαγωγικής μεθόδου είναι ότι πηγαίνει από το ειδικό στο γενικό. «Ο ήλιος μέχρι σήμερα κάθε πρωί ανέτελλε, άρα ο ήλιος κάθε πρωί ανατέλλει». Η αντίθετη μέθοδος είναι η παραγωγική, η οποία πηγαίνει από το γενικό στο ειδικό. Στην παραγωγική μέθοδο, η συμπερασματική πρόταση αποτελεί υποσύνολο μιας καθολικής αληθούς πρότασης και συνεπώς κληρονομεί την τιμή αληθείας της καθολικής πρότασης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της παραγωγικής μεθόδου αποτελεί το αρχετυπικό αριστοτελικό σχήμα, το οποίο από δύο προκείμενες προτάσεις και έναν κανόνα παραγωγής εξάγει ένα συμπέρασμα. Το κλασικό παράδειγμα εφαρμογής του αριστοτελικού σχήματος απεικονίζεται στην Εικόνα 1 και διατείνεται ότι ο Σωκράτης είναι θνητός, επειδή όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί και ο Σωκράτης αποτελεί ειδική περίπτωση του γενικού συνόλου όλων των ανθρώπων.

Εικόνα 1. Το κλασικό παράδειγμα εφαρμογής του αριστοτελικού σχήματος εξαγωγής συμπερασμάτων.

Το παραπάνω αριστοτελικό σχήμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι αποτελεί το εκμαγείο από το οποίο προήλθαν οι δύο παρακάτω κανόνες συμπερασματολογίας, γνωστοί στη σύγχρονη ορολογία του προτασιακού λογισμού ως modus ponens και modus tollens.

modus ponens: \( {p \rightarrow q, \,\, p \,\, \vdash q} \)

modus tollens: \( {p \rightarrow q, \,\, \neg q \,\, \vdash \neg p} \)

Ο modus ponens με απλά λόγια λέει ότι δοθείσης της πρότασης «\( p \) συνεπάγεται \( q \)», αν γνωρίζουμε ότι ισχύει η \( p \), τότε μπορούμε με ασφάλεια να συμπεράνουμε ότι ισχύει και η \( q \). Αν και το αποτέλεσμα αυτό δείχνει να είναι τετριμμένο, το αντίστοιχο αποτέλεσμα του modus tollens ενδέχεται κάποιους να τους ξενίσει. Ο modus tollens ουσιαστικά αποτελεί τη «δυϊκή» προσέγγιση του modus ponens και με απλά λόγια λέει ότι δοθείσης της πρότασης «\( p \) συνεπάγεται \( q \)», αν γνωρίζουμε ότι ισχύει η άρνηση της \( q \), τότε μπορούμε με ασφάλεια να συμπεράνουμε ότι ισχύει και η άρνηση της \( p \). Αυτό μπορεί να γίνει καλύτερα αντιληπτό μέσα από το επόμενο παράδειγμα το οποίο δανείζεται για λίγο το μούσι του Σωκράτη... 

Έστω η πρόταση «αν ο Σωκράτης είναι σπανός, τότε δεν έχει γένια», η οποία είναι προφανώς της μορφής «\( p \) συνεπάγεται \( q \)». Αν γνωρίζουμε λοιπόν ότι ο Σωκράτης είναι σπανός, τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι αποκλείεται να έχει γένια (modus ponens). Μπορούμε όμως να είμαστε το ίδιο σίγουροι και ότι αν ο Σωκράτης έχει γένια τότε δεν είναι σπανός, δηλαδή ότι «η άρνηση της \( q \) συνεπάγεται την άρνηση της \( p \)» (modus tollens). Τα αποτελέσματα αυτά βρίσκονται συγκεντρωμένα στην Εικόνα 2. 

Εικόνα 2. Εφαρμογή του modus ponens και του modus tollens στο μούσι του Σωκράτη.

Στο σημείο αυτό, αν και δεν θα μας απασχολήσει στα επόμενα, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι δεν ισχύει απαραίτητα και «η άρνηση του \( p \) συνεπάγεται την άρνηση του \( q \)», που στο παράδειγμά μας μεταφράζεται ως «αν ο Σωκράτης δεν είναι σπανός τότε έχει γένια». Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που δεν είναι σπανοί και παρόλα αυτά έχουν αποφασίσει να μην αφήσουν γένια. Εκτός κι αν η αρχική πρόταση μετατραπεί σε «αν ο Σωκράτης είναι σπανός, τότε δεν μπορεί να βγάλει γένια», οπότε η ιδιότητα «είμαι σπανός» ταυτίζεται με την ιδιότητα «δεν μπορώ να βγάλω γένια». Κατά συνέπεια σε αυτή την περίπτωση η πρόταση «η άρνηση του \( p \) συνεπάγεται την άρνηση του \( q \)» μεταφράζεται σε «αν ο Σωκράτης δεν είναι σπανός, τότε μπορεί να βγάλει γένια» και αποκτά και αυτή ισχύ.

Η παραγωγική μέθοδος λόγω της αυστηρότητας και ακρίβειας της στην εξαγωγή συμπερασμάτων είναι το αδιαμφισβήτητο μαθηματικό εργαλείο. Αντιθέτως, η επαγωγική μέθοδος - εδώ δεν θα πρέπει να γίνει σύγχυση με τη μαθηματική επαγωγή, η οποία είναι επίσης μια αυστηρή αποδεικτική μέθοδος - αποτελεί μια πιθανοκρατική αποδεικτική προσέγγιση η οποία δεν είναι ικανή να αποδείξει αυστηρά προτάσεις όπως «κάθε πρωί ο ήλιος ανατέλλει». Από πρακτική άποψη όμως, ορισμένες φορές είναι ανούσιο να μπούμε στη διαδικασία αμφισβήτησης μιας πρότασης, όπως η προηγούμενη, δεδομένης της απειροελάχιστης πιθανότητας να μην ισχύει. Στις περιπτώσεις αυτές, η παραγωγική μέθοδος μπορεί να αποδειχτεί εντελώς... αντιπαραγωγική. Σχετικά με αυτό παραθέτω μια γνωστή παραβολή που διακωμωδεί την εμμονή κάποιων μαθηματικών στην παραγωγική μέθοδο¹.

Ένας μηχανικός, ένας φυσικός και ένας μαθηματικός έκαναν περίπατο στην ύπαιθρο κομπάζοντας ο καθένας για την επιστήμη του. Κάποια στιγμή, καθώς περπατούσαν σε ένα λιβάδι εμφανίζεται μπροστά τους ένα λευκό πρόβατο. Μόλις το βλέπει ο μηχανικός αναφωνεί:

- Ένα λευκό πρόβατο! Αγαπητοί συνάδελφοι, θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι τα πρόβατα αυτής της περιοχής είναι λευκά!

Αμέσως τον διακόπτει ο φυσικός λέγοντας:

- Αγαπητέ συνάδελφε θα διαφωνήσω μαζί σου! Το μόνο που μπορούμε να συμπεράνουμε είναι ότι αυτό το πρόβατο είναι λευκό!

Γυρίζουν τότε και οι δυο στο μαθηματικό και τον ρωτάνε:

- Εσύ συνάδελφε τι λες; 

Και τότε, ο μαθηματικός που τους ακούει όλη αυτή την ώρα στωικά αποκρίνεται:

- Αγαπητοί συνάδελφοι θα διαφωνήσω εντελώς και με τους δυο σας! Το μόνο που μπορούμε να συμπεράνουμε είναι ότι αυτή η πλευρά του προβάτου είναι λευκή!

Στην παραβολή αυτή βλέπουμε ότι αρχικά, στη θέα ενός λευκού προβάτου, ο μηχανικός κάνει ένα ακραίο επαγωγικό άλμα που τον οδηγεί στο πολύ γενικό συμπέρασμα ότι η περιοχή έχει λευκά πρόβατα. Ο φυσικός, χρησιμοποιώντας με μεγαλύτερη μετριοπάθεια την επαγωγική μέθοδο, συμπεραίνει ότι και η έτερη πλευρά είναι λευκή και αποφαίνεται ότι το συγκεκριμένο πρόβατο είναι λευκό. Τέλος, ο μαθηματικός, δείχνοντας την εμμονή του στην παραγωγική μέθοδο αρνείται να μετέλθει οποιονδήποτε επαγωγικό συλλογισμό και αρκείται στο συμπέρασμα ότι μόνο η συγκεκριμένη πλευρά του προβάτου, αυτή δηλαδή που βλέπει μπροστά του, είναι λευκή. Από πρακτική άποψη, το συμπέρασμα του μηχανικού είναι σαφέστατα λάθος και θα πρέπει να απορριφθεί. Από την άλλη, το συμπέρασμα του μαθηματικού είναι επιστημονικά το μόνο απόλυτα ορθό με βάση τα δεδομένα. Ωστόσο, με όρους της καθημερινότητας, το πιο χρήσιμο συμπέρασμα μάλλον ανήκει στο φυσικό.

Ας αφήσουμε όμως τώρα ήσυχα τα πρόβατα και ας γυρίσουμε στα κοράκια. «Όλα τα κοράκια είναι μαύρα». Όπως είδαμε, η επαγωγική μέθοδος, όταν στηρίζεται σε πληθώρα επιμέρους τεκμηρίων, μπορεί να αποτελέσει μια ισχυρή αποδεικτική μέθοδο. Εφαρμόζοντας λοιπόν την επαγωγική μέθοδο βγαίνουμε στο σεργιάνι και κάθε φορά που συναντάμε ένα μαύρο κοράκι, το καταγράφουμε και νοιώθουμε περισσότερο βέβαιοι για το αληθές της πρότασης που πάμε να αποδείξουμε. Ασφαλώς με αυτόν τον τρόπο δεν θα καταφέρουμε ποτέ να αποδείξουμε αυστηρά την πρότασή μας. Όσα μαύρα κοράκια κι αν έχουμε συναντήσει, κανείς δεν μπορεί να μας διαβεβαιώσει ότι και το επόμενο κοράκι που θα δούμε θα είναι μαύρο. Ωστόσο, κάθε επιπλέον μαύρο κοράκι που προστίθεται στη λίστα μας, απομακρύνει  περισσότερο την αμφιβολία μας.

Μέχρι εδώ, όλα καλά. Ας αναλύσουμε τώρα λίγο περισσότερο την κατάσταση. Αρχικά, η πρόταση «όλα τα κοράκια είναι μαύρα» είναι φανερά ταυτόσημη με την πρόταση «οτιδήποτε είναι κοράκι, είναι μαύρο». Η τελευταία αυτή όμως πρόταση είναι της μορφής «\( p \) συνεπάγεται \( q \)», όπου \( p \): «το x είναι κοράκι» και \( q \): «το x είναι μαύρο». Σύμφωνα όμως με τον κανόνα modus tollens, η πρόταση «\( p \) συνεπάγεται \( q \)» είναι ισοδύναμη με την πρόταση «η άρνηση του \( q \) συνεπάγεται την άρνηση του \( p \)», δηλαδή με την πρόταση «οτιδήποτε δεν είναι μαύρο, δεν είναι κοράκι». Και δεν φαίνεται να υπάρχει τίποτα το περίεργο σε αυτό, ώσπου να σκεφτούμε ότι αυτή η ισοδυναμία μας επιτρέπει να κάνουμε το εξής εκπληκτικό. Αντί να βγούμε έξω να ψάχνουμε κοράκια για να αποδείξουμε ότι είναι μαύρα, καθόμαστε στο δωμάτιό μας, παρατηρούμε γύρω μας αντικείμενα τα οποία δεν είναι μαύρα και απλώς διαπιστώνουμε ότι δεν είναι κοράκια! Για παράδειγμα, η παρατήρηση ότι το στυλό που έχω στο γραφείο μου είναι μπλε και φυσικά δεν είναι κοράκι ενισχύει την πρόταση «οτιδήποτε δεν είναι μαύρο, δεν είναι κοράκι» η οποία αυτόματα ενισχύει και την πρόταση «οτιδήποτε είναι κοράκι είναι μαύρο»! 

Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό και ως «το παράδοξο του Hempel»² ή ως «Raven paradox». Πώς είναι δυνατόν να αποδείξει κανείς κάτι για τα κοράκια, χωρίς να παρατηρήσει ούτε ένα κοράκι; Στο πλαίσιο του modus ponens, για να καταρριφθεί η πρόταση θα πρέπει να αναζητήσουμε τουλάχιστον ένα κοράκι το οποίο δεν είναι μαύρο. Όμοια, στο πλαίσιο του modus tollens, θα πρέπει να αναζητήσουμε ένα τουλάχιστον αντικείμενο που δεν είναι μαύρο και παρόλα αυτά είναι κοράκι. Φανερά όμως η δεύτερη αναζήτηση είναι μακράν πιο κοπιαστική, αφού μας υπαγορεύει να παρατηρήσουμε όλα τα αντικείμενα του σύμπαντος που δεν είναι μαύρου χρώματος. Αυτό που συμβαίνει στην πραγματικότητα είναι ότι το δωμάτιό μας αποτελεί ένα εντελώς ασήμαντο ποσοστό του παρατηρήσιμου σύμπαντος και κατά συνέπεια οι παρατηρήσεις μας δεν είναι αρκετές για να στηρίξουν την επαγωγική μας διαδικασία. Μάλιστα, ακόμη κι αν επεκτείνουμε τον χώρο των παρατηρήσεών μας έξω από το δωμάτιό μας, π.χ. στη γειτονιά μας, στην πόλη μας ή στη χώρα μας, ούτε τότε θα μπορούμε να στηρίξουμε επαρκώς το συμπέρασμά μας.

Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, όσο προκλητικό κι αν ακούγεται, είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε με σιγουριά αν όντως όλα τα κοράκια είναι μαύρα! Η ακριβής διατύπωση της πρότασης που ισχύει είναι «όλα τα κοράκια που έχουμε συναντήσει όλοι οι άνθρωποι μέχρι σήμερα είναι μαύρα». Εκτός κι αν η ιδιότητα «μαύρος» περιέχεται στον ορισμό του κορακιού. Στην περίπτωση αυτή, με όρους της καντιανής φιλοσοφικής γλώσσας, έχουμε να κάνουμε με μία αναλυτική πρόταση, οπότε είμαστε αυτόματα βέβαιοι ότι όλα τα κοράκια είναι μαύρα, εξ ορισμού! Σε κάθε περίπτωση πάντως, αν σας προκαλέσουν να στοιχηματίσετε για το χρώμα του επόμενου κορακιού που θα συναντήσετε, θα σύστηνα ανεπιφύλακτα να στοιχηματίσετε υπέρ του μαύρου.

Χρησιμοποιώντας τώρα τη μέθοδο του Hempel προχωρούμε να αποδείξουμε την περίφημη αντιρατσιστική φράση «God, she is black» που μεταφράζεται ως «ο Θεός είναι μαύρη», μεταφέροντας την υπόρρητη δήλωση ότι ο Θεός είναι μαύρου χρώματος και θηλυκού γένους. Ισοδύναμη αυτής της πρότασης είναι η «οτιδήποτε δεν είναι μαύρο ή θηλυκού γένους δεν είναι Θεός». Πολύ απλά λοιπόν, παρατηρούμε γύρω μας τα έμψυχα και άψυχα αντικείμενα που είτε είναι αρσενικού γένους είτε δεν είναι μαύρα. Αυτή τη στιγμή που γράφω για παράδειγμα, κοιτάζοντας έξω από το παράθυρό μου παρατηρώ έναν παππού που με εξαίρεση το λευκό του μούσι σε τίποτα άλλο δεν μου κάνει για Θεός... Το ίδιο συνέβη και χθες που σουλατσάριζαν απ' έξω διάφοροι άνδρες, αλλά και προχθές και αντιπροχθές, κ.ο.κ. Αυτό, με βάση την παραπάνω επαγωγική προσέγγιση συνηγορεί ότι ο θεός δεν είναι αρσενικού και άρα είναι θηλυκού γένους. Επίσης, αυτή τη στιγμή δίπλα μου βρίσκονται πεταμένα στο πάτωμα τα πολύχρωμα τουβλάκια της κόρης μου. Κόκκινα, κίτρινα, πράσινα, μπλε, πάντως όχι μαύρα. Παρά τη δημιουργική τους χρήση από την κόρη μου, ούτε σε αυτά μου είναι δυνατό να διακρίνω κάποια θεία φύση. Συνεπώς, καθένα από αυτά τα «μη μαύρα» αντικείμενα αποτελεί τεκμήριο ότι ο Θεός είναι μαύρος. Συνοψίζοντας, ο θεός είναι θηλυκού γένους και μαύρος, συνεπώς «God, she is black»! 

¹Την παραβολή αυτή άκουσα για πρώτη φορά από τα χείλη του αδερφού μου Δημήτρη. 

²Hempel, Carl Gustav (8 Ιανουαρίου 1905 - 9 Νοεμβρίου 1997): Γερμανός συγγραφέας και φιλόσοφος, κύριος εκφραστής του λογικού εμπειρισμού, του φιλοσοφικού κινήματος του 20ού αιώνα που αναζητούσε τη λογική ανάλυση της έγκυρης γνώσης και την εμπειρική θεμελίωση της επιστήμης.