Φαντασία εις τον κύβο

Στη Μελίνα, που με τον ερχομό της έλυσε το μυστήριο του σκοπού της ύπαρξής μου

Πάντα υπερασπιζόμουν την άποψη ότι τα παιδιά έχουν αστείρευτη φαντασία. Πριν λίγες μέρες, η 15 μηνών κόρη μου Μελίνα, μού αφαίρεσε και την παραμικρή αμφιβολία.

Η Μελίνα, τον τελευταίο καιρό, περνάει αρκετό από το χρόνο της με ένα παιχνίδι που αποτελείται από δέκα κύβους με μέγεθος που αυξάνεται κλιμακωτά. Η πιο συνηθισμένη της δραστηριότητα είναι να χτίζει πύργο τοποθετώντας τους κύβους τον έναν πάνω στον άλλο, από το μεγαλύτερο στο μικρότερο, όπως φαίνεται στην Εικόνα 1. 

Εικόνα 1. Ένα τμήμα του πύργου.

Με μεγάλο ενδιαφέρον την παρακολουθώ καθώς τοποθετεί τους κύβους, άλλοτε με τη σωστή και άλλοτε με τη λάθος σειρά και βρίσκω αξιοθαύμαστο το πώς διορθώνει μόνη της τον εαυτό της. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται διαρκώς, κάθε φορά και περισσότερο βελτιωμένη. Αφού παίξει για αρκετή ώρα, στο τέλος μαζεύω τους κύβους και τους βάζω μέσα στο κουτί τους, ώσπου να έρθει η επόμενη μέρα και να κάνουμε το ίδιο. 

Σε μια προσπάθεια να εξελίξω τις δεξιότητες της Μελίνας, αλλά και να σφυρηλατήσω τους «καλούς της τρόπους», αποφάσισα εκτός από το παιχνίδι, να της αναθέσω και τη διαδικασία της τακτοποίησης. Έτσι, μια μέρα, ζήτησα από εκείνη να προσπαθήσει να μαζέψει τους κύβους μόνη της και να τους χωρέσει όλους μέσα στο κουτί, με την πρόθεση να τη βοηθήσω μόλις δυσκολευτεί. Προς μεγάλη μου έκπληξη όμως, έγινα μάρτυρας μιας περίεργης εξέλιξης που με έβαλε σε σκέψεις. Αν και δεν κατάφερε να ολοκληρώσει το πακετάρισμα, ξεκίνησε να το κάνει με έναν τρόπο που σε καμία από τις προηγούμενες φορές που το είχα αναλάβει εγώ δεν τον είχα σκεφτεί. Ξαφνικά, διαπίστωσα ότι σε αντίθεση με την αρχική μου εντύπωση, η πιο δημιουργική φάση του παιχνιδιού δεν ήταν τελικά η κατασκευή του πύργου, αλλά η κατεδάφισή του!

Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την αρχή και ας δούμε πώς τακτοποιούσα εγώ τους κύβους κάθε φορά και πώς προσπάθησε να το κάνει η Μελίνα. Αρχικά, χάριν ευκολίας, ας ονομάσουμε τους κύβους με τους αριθμούς από το 1 έως το 10, όπου 1 είναι ο μικρότερος και 10 ο μεγαλύτερος. Κάθε κύβος έχει τη μία από τις έξι έδρες του ανοιχτή, ώστε να μπορεί να ενσωματώσει τους κύβους που είναι μικρότεροι από αυτόν (βλ. Εικόνα 2).

Εικόνα 2. Ο κάθε κύβος έχει τη μία από τις έξι έδρες ανοιχτή, όπως είναι για παράδειγμα η δεξιά έδρα αυτού του κύβου.

Αυτό που έκανα εγώ εντελώς μηχανικά ήταν το εξής: Έπαιρνα τον κύβο 9 και τον τοποθετούσα μέσα στον κύβο 10, έτσι ώστε οι ανοιχτές τους έδρες να βρίσκονται στην ίδια κατεύθυνση, για να μπορούν να χωρέσουν και οι υπόλοιποι κύβοι. Συνεχίζοντας, έπαιρνα τον κύβο 8 και τον τοποθετούσα μέσα στον κύβο 9, που βρισκόταν ήδη μέσα στον κύβο 10, κ.ο.κ., μέχρι να φτάσω στον κύβο 1, τον οποίο τοποθετούσα μέσα στον κύβο 2, που βρισκόταν μέσα στον κύβο 3, κτλ. (βλ. Εικόνα 3). Τέλος έπαιρνα τον κύβο 10, ο οποίος πλέον περιείχε όλους τους άλλους κύβους, τον έβαζα στο κουτί και αυτό ήταν όλο!

Εικόνα 3. Ο τρόπος με τον οποίο συνήθιζα να τοποθετώ τον έναν κύβο μέσα στον άλλο.

Με άλλα λόγια, ξεκινούσα από τον κύβο 10 και έφτανα μέχρι τον κύβο 1, τοποθετώντας κάθε φορά στον εκάστοτε κύβο τον αμέσως μικρότερό του. Ένα εύλογο ερώτημα τώρα είναι το εξής: 

- Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι να μπουν οι δέκα κύβοι ο ένας μέσα στον άλλο¹; 

Αρχικά, παρατηρούμε ότι ξεκινώντας από τον κύβο 10, αν βάλουμε μέσα του τον κύβο 8 ή κάποιον μικρότερο, τότε ο κύβος 9 είναι αδύνατον να χωρέσει κάπου στα επόμενα βήματα της διαδικασίας. Ο μόνος τρόπος για να μην μείνει κάποιος κύβος εκτός είναι κάθε φορά να συνεχίζουμε με τον αμέσως μικρότερο κύβο, ώστε να μην προσπεράσουμε κανένα. Συνεπώς, χωρίς αμφιβολία, η σειρά των κύβων θα πρέπει να ακολουθεί την αντίστροφη σειρά των φυσικών αριθμών από το 10 έως το 1. Επιπλέον, είναι φανερό ότι ο κύβος 9 δεν θα μπορούσε να μπει με οποιονδήποτε προσανατολισμό μέσα στον κύβο 10. Ο μόνος προσανατολισμός που επιτρέπει τη συνέχιση της διαδικασίας είναι αυτός που περιέγραψα πριν με τη βοήθεια της Εικόνας 3. Θα πρέπει δηλαδή οι ανοιχτές έδρες των κύβων να βρίσκονται στην ίδια κατεύθυνση και το ίδιο ισχύει για όλα τα ζευγάρια διαδοχικών κύβων. Δημιουργείται έτσι η εντύπωση ότι υπάρχει ακριβώς ένας τρόπος να μπει ο ένας κύβος μέσα στον άλλο. 

Η πραγματικότητα διαφέρει πολύ από αυτό και αν δεν το έχετε σκεφτεί καλά, μάλλον θα εκπλαγείτε από την απάντηση. Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων να μπουν οι δέκα κύβοι ο ένας μέσα στον άλλο είναι \( 10.077.696 \)! όπου για να προλάβω πιθανούς ιλίγγους σπεύδω να σημειώσω ότι το θαυμαστικό χρησιμοποιείται ως γραμματικό σημείο στίξης και όχι ως το μαθηματικό σύμβολο του παραγοντικού... Πώς γίνεται όμως να είναι αυτή η σωστή απάντηση μετά από την προηγούμενη λογικοφανή ανάλυση; 

Ό,τι αναφέραμε παραπάνω όντως ισχύει, αρκεί όμως να λάβουμε υπόψιν μια πολύ σημαντική προϋπόθεση: Ξεκινάμε από το μεγαλύτερο κύβο (νούμερο 10) και καταλήγουμε στο μικρότερο (νούμερο 1). Τι γίνεται όμως αν ξεκινήσουμε τη διαδικασία αντίστροφα, από το μικρότερο κύβο δηλαδή στο μεγαλύτερο; Αυτό ακριβώς έκανε η Μελίνα! Τότε, η κατάσταση μεταβάλλεται δραματικά. Συγκεκριμένα, υπάρχουν 6 τρόποι να μπει ο κύβος 1 στον κύβο 2, όσες είναι δηλαδή οι έδρες του κύβου. Αυτό φαίνεται καλύτερα στην Εικόνα 4. Ομοίως, υπάρχουν 6 τρόποι να μπει ο κύβος 2, που περιέχει ήδη τον κύβο 1, μέσα στον κύβο 3, κ.ο.κ., υπάρχουν 6 τρόποι να μπει ο κύβος 9, που περιέχει όλους τους προηγούμενους, μέσα στον κύβο 10. Καθώς τα βήματα της παραπάνω διαδικασίας είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, το συνολικό πλήθος των διαφορετικών τρόπων να μπουν οι κύβοι ο ένας μέσα στον άλλο ισούται με \( 6^9 = 10.077.696 \).

Εικόνα 4. Οι 6 διαφορετικοί τρόποι να μπει ο κύβος 1 μέσα στον κύβο 2.

Αφού εκτέλεσα τον παραπάνω υπολογισμό, προχώρησα σε ένα πείραμα. Έδωσα τους κύβους σε αρκετούς ενήλικες και τους ζήτησα να τους τοποθετήσουν μέσα στο κουτί. Για έναν περίεργο λόγο όλοι το έκαναν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που το έκανα κι εγώ, από το μεγαλύτερο δηλαδή στο μικρότερο κύβο! Μου προκαλεί μεγάλη εντύπωση ότι ανάμεσα από \( 10.077.696 \) τρόπους, όλοι επέλεξαν τον ίδιο και μάλιστα από πρακτική άποψη τον χειρότερο! Ο τρόπος αυτός είναι ο χειρότερος, για τον απλό λόγο ότι αν αναποδογυρίσουμε τον κύβο 10 θα σκορπιστούν στο πάτωμα και οι 9 κύβοι που περιέχει, ενώ σε οποιονδήποτε από τους υπόλοιπους \( 10.077.695 \) τρόπους, θα πέσει στο πάτωμα μόνο ο κύβος 9 καθώς ενδεχομένως και οι διαδοχικοί του κύβοι των οποίων η ανοικτή έδρα έχει προσανατολισμό προς τα κάτω!

Γιατί όμως οι μεγάλοι επιλέγουμε τον ίδιο τρόπο και αγνοούμε τους υπόλοιπους; Όσο το σκέφτομαι, μια πιθανή εξήγηση θα μπορούσε να είναι ότι πρόκειται απλώς για ένα ζήτημα οπτικής γωνίας. Ίσως, εμείς οι μεγάλοι, ακριβώς για το λόγο ότι είμαστε μεγάλοι, έχουμε μια υποσυνείδητη ροπή να ξεκινάμε από το μεγάλο και να πηγαίνουμε στο μικρό, από τις αδρές μορφές στα λεπτομερή χαρακτηριστικά, "from coarse to fine", όπως λένε και οι Άγγλοι. Αυτό κάνουμε άλλωστε σε ποικίλες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα όταν παρατηρούμε μια εικόνα. Βλέπουμε πρώτα τη συνολική εικόνα (big picture) και μετά εξετάζουμε τις λεπτομέρειες (minutiae). Καμιά φορά όμως, όπως φαίνεται, είναι χρησιμότερο να ακολουθούμε την αντίστροφη πορεία, από το μικρό στο μεγάλο. Ακόμη και σε κάποιες καθημερινές δραστηριότητες μπορεί η αντίστροφη πορεία να αποδειχτεί περισσότερο αποτελεσματική. Ένα παράδειγμα είναι όταν δίνουμε ρέστα. Ο πιο πρακτικός τρόπος είναι να ξεκινήσουμε από το κόστος του προϊόντος ή της υπηρεσίας που προσφέρουμε και να συμπληρώσουμε κλιμακωτά το ποσό που έχουμε εισπράξει χρησιμοποιώντας αρχικά νομίσματα μικρής αξίας και έπειτα νομίσματα μεγαλύτερης αξίας. Την πρακτική αυτή μέθοδο χρησιμοποιούν σχεδόν όλοι οι υπάλληλοι των εμπορικών καταστημάτων.

Επιστρέφοντας στο πρόβλημα με τους κύβους, αν με ρωτούσε κάποιος με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να μπουν ο ένας μέσα στον άλλο, μάλλον μετά από λίγη σκέψη θα έβρισκα την απάντηση σχετικά εύκολα. Ωστόσο, στην καθημερινή μου πρακτική, βασισμένος στο παραπάνω «μεγαλίστικο» στερεότυπο, κάθε φορά επέλεγα μηχανικά τον έναν και μοναδικό «από το μεγάλο στο μικρό» τρόπο. Το μυαλό ενός παιδιού όμως είναι tabula rasa, απαλλαγμένο από στερεότυπα που περιορίζουν τους βαθμούς ελευθερίας της σκέψης, με αποτέλεσμα να μπορούν να ξεδιπλώσουν τη φαντασία τους στο έπακρο. 

Φαντασία ή μήπως τύχη, μπορεί εύκολα να ισχυριστεί κάποιος. Με άλλα λόγια, μήπως η μέθοδος που προσπάθησε να εφαρμόσει η Μελίνα ήταν καθαρά αποτέλεσμα τύχης και όχι φαντασίας; Εκτός και αν η φαντασία έχει την αφετηρία της στην τυχαιότητα θα αντιτείνω εγώ. Προσωπικά, είμαι σχεδόν βέβαιος ότι πολλές καινοτομίες στην τεχνολογία και σπουδαία αποτελέσματα στην επιστήμη, τα οποία θαυμάζουμε ως προϊόντα της ανθρώπινης φαντασίας, προήλθαν με τη βοήθεια της τύχης. Η σημασία της τύχης άλλωστε μπορεί να φανεί σε διαφορετικά στάδια της δημιουργίας. Από τη διαδικασία της σκέψης που λαμβάνει χώρα στις συνάψεις των νευρώνων του ανθρώπινου εγκεφάλου ως τα πιθανά εξαγόμενα ενός πειράματος. Ας μην ξεχνάμε για παράδειγμα τον Alexander Fleming με τη σπουδαία πλην τυχαία ανακάλυψη της πενικιλίνης.

Μάλιστα, υπό το πρίσμα της τυχαιότητας, η φαντασία δεν είναι καν υποχρεωτικό να προέρχεται από συγκεκριμένο πρόσωπο. Μπορεί να είναι ακόμη και απρόσωπη. Κατά τη γνώμη μου, η μεγαλύτερη απόδειξη δημιουργικής απρόσωπης φαντασίας, είναι η ίδια η μορφή των ειδών που προέκυψε μέσω της διαδικασίας της φυσικής επιλογής που απέδειξε μέσα από τη μελέτη του ο Δαρβίνος. Εδώ, η τύχη κάνει την εμφάνισή της μέσω της μετάλλαξης των γονιδίων που οδηγεί ένα είδος σε εξελιγμένες μορφές. Στην περίπτωση αυτή, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η φαντασία δεν αποδίδεται σε συγκεκριμένο πρόσωπο, αλλά στον ίδιο τον εξελικτικό μηχανισμό της φυσικής επιλογής. 

Από όπου κι αν προέρχεται, η φαντασία είναι αδιαμφισβήτητα συνυφασμένη με το απροσδόκητο. Οποιοδήποτε δημιούργημα της φαντασίας, τουλάχιστον σε πρώτο στάδιο «φαντάζει» μη αναμενόμενο. Υπό αυτή την έννοια, η μέθοδος της Μελίνας ήταν για μένα εντελώς απροσδόκητη. Αν παρόλα αυτά κάποιοι επιμένουν ότι αυτό δεν είναι δείγμα φαντασίας, θα το δεχτώ. Εδώ όμως δεν μιλάμε για φαντασία, μιλάμε για φαντασία εις τον κύβο...

¹Στη μέτρηση των διαφορετικών τρόπων δεν υπολογίζουμε τις περιστροφές περί τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ανοικτής έδρας και είναι κάθετος σε αυτή. Αυτό που στην πραγματικότητα μας ενδιαφέρει σε κάθε ζευγάρι κύβων είναι απλώς ποια έδρα του μικρότερου εκ των δύο βρίσκεται απέναντι από την ανοικτή έδρα του μεγαλύτερου.