Τον τελευταίο μήνα διεξήχθη το 15ο ευρωπαϊκό πρωτάθλημα ποδοσφαίρου στη Γαλλία. Με αφορμή το γεγονός αυτό, μετά από περίπου 16 χρόνια από τότε που το ξανάκανα, είπα να δοκιμάσω την τύχη μου στο Πάμε Στοίχημα. Έκανα τις προβλέψεις μου για κάποια ματς, συμπλήρωσα και καταχώρησα το δελτίο μου στο πρακτορείο και περίμενα να δω την τύχη μου. Και στάθηκα πολύ τυχερός... Έχασα! Αυτό όμως δεν έχει καμία απολύτως σημασία. Η τύχη μου έγκειται στο ότι το Πάμε Στοίχημα μου 'δωσε την ευκαιρία να έρθω αντιμέτωπος με ένα πολύ ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα.
Πρόσφατα στη δουλειά μου είχα ακούσει από ένα συνάδελφο για ένα σύστημα σίγουρου πονταρίσματος το οποίο κυκλοφορεί στο χώρο του στοιχήματος με την προσωνυμία «sure bet». Κατά τη διάρκεια λοιπόν της ημέρας που έπαιξα κι ενώ περίμενα να δω τα αποτελέσματα, ένιωσα την περιέργειά μου εξημμένη. Έψαξα να βρω στο Internet πληροφορίες για αυτό το σύστημα, αλλά παρότι βρήκα μια στίβα λέξεις δε βρήκα και πολλούς αριθμούς και οι αριθμοί πάντα μου άρεσαν περισσότερο από τις λέξεις. Σκέφτηκα, «δεν τα βάζω μόνος μου κάτω να δω τι είναι αυτό το sure bet και πώς δουλεύει;». Αποφάσισα λοιπόν να ικανοποιήσω την περιέργειά μου και διαπίστωσα για άλλη μια φορά ότι το προς αποφυγήν παράδειγμα που λέγεται τζόγος θέτει ενίοτε διδακτικά μαθηματικά προβλήματα. Ας δούμε λοιπόν τι είναι το sure bet.
Πρόσφατα στη δουλειά μου είχα ακούσει από ένα συνάδελφο για ένα σύστημα σίγουρου πονταρίσματος το οποίο κυκλοφορεί στο χώρο του στοιχήματος με την προσωνυμία «sure bet». Κατά τη διάρκεια λοιπόν της ημέρας που έπαιξα κι ενώ περίμενα να δω τα αποτελέσματα, ένιωσα την περιέργειά μου εξημμένη. Έψαξα να βρω στο Internet πληροφορίες για αυτό το σύστημα, αλλά παρότι βρήκα μια στίβα λέξεις δε βρήκα και πολλούς αριθμούς και οι αριθμοί πάντα μου άρεσαν περισσότερο από τις λέξεις. Σκέφτηκα, «δεν τα βάζω μόνος μου κάτω να δω τι είναι αυτό το sure bet και πώς δουλεύει;». Αποφάσισα λοιπόν να ικανοποιήσω την περιέργειά μου και διαπίστωσα για άλλη μια φορά ότι το προς αποφυγήν παράδειγμα που λέγεται τζόγος θέτει ενίοτε διδακτικά μαθηματικά προβλήματα. Ας δούμε λοιπόν τι είναι το sure bet.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μπροστά μας ένα παιχνίδι στο οποίο υπάρχουν n πιθανά ενδεχόμενα. Για παράδειγμα, εάν αναφερόμαστε στο τελικό αποτέλεσμα ενός αγώνα ποδοσφαίρου, τότε υπάρχουν τρια ενδεχόμενα (1-Χ-2) και άρα στην περίπτωση αυτή n=3. Έστω επίσης ότι η απόδοση για το ενδεχόμενο i είναι pi, για i από 1 ως n. Θα θέλαμε να δούμε τι ποσό xi θα πρέπει να τοποθετήσουμε (ποντάρουμε) σε καθένα από τα n ενδεχόμενα σε ισάριθμα δελτία, ώστε να έχουμε σίγουρο κέρδος μια νομισματική μονάδα (π.χ. ευρώ) και φυσικά εάν και πότε κάτι τέτοιο είναι δυνατό. Αν υποθέσουμε ότι το άθροισμα των xi (το συνολικό μας ποντάρισμα δηλαδή στα n δελτία) ισούται με N μονάδες, τότε, δεδομένου οτι θα συμβεί ακριβώς ένα από τα n ενδεχόμενα, το κέρδος μας σε περίπτωση που πραγματοποιηθεί το i ενδεχόμενο θα είναι pixi - N κι εφόσον θέλουμε αυτό το κέρδος να είναι 1 θα πρέπει pixi - N = 1. Συνεπώς το πρόβλημα που έχουμε να λύσουμε μεταφράζεται στην επίλυση του επόμενου συστήματος γραμμικών εξισώσεων:
το οποίο έχει n+1 αγνώστους και n+1 εξισώσεις. Ένα τέτοιο σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο Cramer. Με βάση αυτήν τη μέθοδο θα πρέπει να υπολογιστεί η ορίζουσα των συντελεστών του συστήματος
καθώς και για κάθε i οι ορίζουσες
Για τον υπολογισμό της ορίζουσας D, ορίζουμε τις βοηθητικές υποορίζουσες Rk και Sk με τον εξής τρόπο:
Για τα Rk και Sk ισχύουν οι αναγωγικοί τύποι:
και επιπλέον
Αναλύοντας λοιπόν την ορίζουσα D κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής και συνεχίζοντας επαγωγικά με αυτόν τον τρόπο λαμβάνουμε:
Για την ορίζουσα Di με πρόσθεση της πρώτης στήλης στην i στήλη προκύπτει αρκετά εύκολα ότι
Συνδυάζοντας λοιπόν το Di με το D έχουμε:
Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής του παραπάνω κλάσματος είναι σταθερός και ανεξάρτητος του i και ουσιαστικά παίζει το ρόλο του κανονικοποιητή. Επειδή ο αριθμητής του κλάσματος είναι πάντα θετικός, για να υπάρχει η δυνατότητα σίγουρου κέρδους θα πρέπει και ο παρονομαστής να είναι θετικός, καθώς δε νοείται αρνητικό ποντάρισμα:
το οποίο έχει n+1 αγνώστους και n+1 εξισώσεις. Ένα τέτοιο σύστημα επιλύεται με τη μέθοδο Cramer. Με βάση αυτήν τη μέθοδο θα πρέπει να υπολογιστεί η ορίζουσα των συντελεστών του συστήματος
Συνδυάζοντας λοιπόν το Di με το D έχουμε:
Το προηγούμενο ουσιαστικά αποτελεί κριτήριο που αποφαίνεται εάν ένα παιχνίδι επιτρέπει το sure bet: «Το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων θα πρέπει να είναι μικρότερο του ένα». Εάν ισχύει κάτι τέτοιο τότε είμαστε σε θέση με 100% βεβαιότητα να κερδίσουμε μία νομισματική μονάδα ποντάροντας απλά xi μονάδες στο i αποτέλεσμα, όπου για κάθε i, το xi δίνεται από τον παραπάνω τύπο. Επιπλέον, αν θέλουμε να αποκτήσουμε K νομισματικές μονάδες, πάλι με απόλυτη βεβαιότητα αρκεί να ποντάρουμε Kxi μονάδες στο i αποτέλεσμα, για κάθε i.
Ως ένα απλό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι οι τρεις αποδόσεις ενός παιχνιδιού για τα αντίστοιχα αποτελέσματα (1-Χ-2) είναι 2.7, 3.8 και 2.8. Τότε έχουμε ότι το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων ισούται με 0.99, πράγμα που σημαίνει ότι εντοπίστηκε ένα sure bet. Με χρήση των ως άνω τύπων λαμβάνουμε ότι θα πρέπει να ποντάρουμε 39.7 στο 1, 28.2 στο Χ και 38.3 στο 2. Έτσι θα έχουμε ποντάρει συνολικά 39.7+28.2+38.3=106.2. Σε κάθε περίπτωση, όποιο αποτέλεσμα δηλαδή κι αν βγει, το κέρδος μας αφού αφαιρεθεί το ποσό που ποντάραμε, πολύ ευκολά υπολογίζεται ότι θα είναι 1.
Φυσικά οι άνθρωποι που βγάζουν τις αποδόσεις των παιχνιδιών έχουν την παραπάνω γνώση και επιμελώς αποφεύγουν να ορίσουν αποδόσεις που επιτρέπουν το sure bet. Πράγματι πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να διαπιστώσει ότι σε όλα τα παιχνίδια του στοιχήματος, το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων είναι πάντοτε μεγαλύτερο κατάτι από τη μονάδα. Συνεπώς είναι ουτοπικό να προσπαθεί κάποιος να εντοπίσει κάποιο παιχνίδι που δίνει τη δυνατότητα του sure bet. Ωστόσο, συνοψίζοντας την παραπάνω εκτεθείσα ανάλυση μπορεί να εξαχθεί ένα χρήσιμο συμπέρασμα. Όσο πιο κοντά βρίσκεται το παραπάνω άθροισμα στη μονάδα, τόσο πιο συμφέρον είναι κατά μέσο όρο το ποντάρισμα στο συγκεκριμένο παιχνίδι. Μάλιστα, αν το άθροισμα αυτό γίνει ίσο με τη μονάδα, τότε οι αποδόσεις του παιχνιδιού είναι απόλυτα δίκαιες.
Ως ένα απλό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι οι τρεις αποδόσεις ενός παιχνιδιού για τα αντίστοιχα αποτελέσματα (1-Χ-2) είναι 2.7, 3.8 και 2.8. Τότε έχουμε ότι το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων ισούται με 0.99, πράγμα που σημαίνει ότι εντοπίστηκε ένα sure bet. Με χρήση των ως άνω τύπων λαμβάνουμε ότι θα πρέπει να ποντάρουμε 39.7 στο 1, 28.2 στο Χ και 38.3 στο 2. Έτσι θα έχουμε ποντάρει συνολικά 39.7+28.2+38.3=106.2. Σε κάθε περίπτωση, όποιο αποτέλεσμα δηλαδή κι αν βγει, το κέρδος μας αφού αφαιρεθεί το ποσό που ποντάραμε, πολύ ευκολά υπολογίζεται ότι θα είναι 1.
Φυσικά οι άνθρωποι που βγάζουν τις αποδόσεις των παιχνιδιών έχουν την παραπάνω γνώση και επιμελώς αποφεύγουν να ορίσουν αποδόσεις που επιτρέπουν το sure bet. Πράγματι πολύ εύκολα μπορεί κάποιος να διαπιστώσει ότι σε όλα τα παιχνίδια του στοιχήματος, το άθροισμα των αντιστρόφων των αποδόσεων είναι πάντοτε μεγαλύτερο κατάτι από τη μονάδα. Συνεπώς είναι ουτοπικό να προσπαθεί κάποιος να εντοπίσει κάποιο παιχνίδι που δίνει τη δυνατότητα του sure bet. Ωστόσο, συνοψίζοντας την παραπάνω εκτεθείσα ανάλυση μπορεί να εξαχθεί ένα χρήσιμο συμπέρασμα. Όσο πιο κοντά βρίσκεται το παραπάνω άθροισμα στη μονάδα, τόσο πιο συμφέρον είναι κατά μέσο όρο το ποντάρισμα στο συγκεκριμένο παιχνίδι. Μάλιστα, αν το άθροισμα αυτό γίνει ίσο με τη μονάδα, τότε οι αποδόσεις του παιχνιδιού είναι απόλυτα δίκαιες.
No comments:
Post a Comment